imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

1: Prolog
I dette hæfte skal du møde forskellige konkrete eksempler p˚a algebraiske strukturer.
Vi taler om en algebraisk struktur, n˚ar vi har en bestemt type objekter
og en eller flere operationer p˚a denne type objekter, der fører til et objekt af
samme type, samt nogle regneregler for disse operationer.
Det mest oplagte eksempel har som objekter de reelle tal, som operationer de
sædvanlige aritmetiske operationer med de sædvanlige regneregler.
Hæftet handler om legemer og vektorrum over legemer. Der er i grove træk tale
om et resume af s˚adanne begreber og resultater fra de reelle tals legeme og vektorrum
over de reelle tal, som umiddelbart ogs˚a gælder for vilk˚arlige legemer.
At resultaterne kan overføres med enslydende beviser — mutatis mutandis —
postuleres, men gennemføres ikke i detaljer. Det er tænkt som udgangspunkt
for en perspektiverende genlæsning af teorien for reelle vektorrum.
Legemer defineres helt abstrakt og der gives en del konkrete eksempler, herunder
visse endelige legemer, nemlig dem hvis orden er et primtal. De endelige
legemer præsenteres som konkrete mængder med konkret operationer uden bevis
for at de opfylder aksiomerne for legemer. Det vil derfor være kærkomment
hvis læseren i forvejen har stiftet bekendtskab med restklasseringen af de hele
tal modulo et primtal. Men det er meningen at man skal kunne læse og forst˚a
teksten her, blot man er indstillet p˚a at acceptere postulaterne.
Hovedform˚alet er at vise hvordan man kan regne i alle legemer p˚a samme m˚ade
som i mønsterlegemet de reelle tal med visse ekstra regneregler afhængigt af
legemet. Dette er fremhævet ved at resumere hvilke resultater der for de reelle
tal gælder for behandling af lineære ligningssystemer, herunder anvendelse af
matricer og postulere at disse resultater ogs˚a gælder for vilk˚arlige legemer.
Vektorrum over et vilk˚arligt legeme defineres. Definitioner og sætninger fra
de reelle tals tilfælde opsumeres. Enkelte beviser gives. Der vil være en
opsamling med tydeligørelse af den røde tr˚ad i epilogen.
2: Legemer
2.1: Definition
1. Definition: Legeme
3