imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Der findes et største indeks n for hvilket en > 0, kaldet det sidste betydende
index.
For alle indeks n som er større end det sidste betydende indeks gælder det at
a = p e1
1
· · · pen
n
Bevis : Hvis a = 1 lader vi alle eksponenter være 0. Antag nu at a > 1. For
de primtal p der forekommer i primfaktoriseringen af a lader vi den tilhørende
eksponent være det antal gange som faktoren forekommer. For alle andre lader
vi eksponenten være 0.
19. Definition: Primpektrum
Den i sætningen nævnte følge kalder vi for primspektret for a og betegner med
σ(a).
Betegnelsen primspektrum har jeg været nødt til selv at finde p˚a, da jeg ikke
kender nogen standardbetegnelse. Primspektret er ikke andet end et kompakt
udtryk for primfaktoriseringen. At vi ønsker at arbejde med en uendelig følge af
eksponenter synes m˚aske i første omgang overflødigt, men gør det bekvemmere
at formulere nogle af de følgende definitioner og sætninger. E15 Ø16
Berettigelsen af primspektret er følgende regneregler. Vi benytter x∨y for maximum
og x∧y for minimum. Vi benytter addition og subtraktion af følger, foretaget
komponentvis. Vi benytter størrelsesrelationerne < og > og tilsvarende
ved komponentvis sammenligning. Vi har alts˚a at
(e 1 , . . . , e i , . . .) + (f 1 , . . . , f i , . . .) = (e 1 + f 1 , . . . , e i + f i , . . .)
(e 1 , . . . , e i , . . .) < (f 1 , . . . , f i , . . .) ⇔ e 1 < f 1 , . . . , e i < f i , . . .
20. Sætning: Regneregler for primspektret.
σ(ab) = σ(a) + σ(b)
a|b ⇔ σ(a) ≤ σ(b)
a|b ⇒ σ(b/a) = σ(b) − σ(a)
σ(a ⊓ b) = σ(a) ∧ σ(b)
σ(a ⊔ b) = σ(a) ∨ σ(b)
15