imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

More documents

Recommendations

Info

Ved i denne formel at addere ϕ(1) = 1 p˚a begge sider f˚as den postulerede formel. Beviset er illustreret for n = 12 i følgende skema, som det er meget illustrativt at gennemg˚a d d ′ Gd Φ(d) ϕ(d) 1 1 12 {12} {1} 1 2 2 6 {6} {1} 1 3 3 4 {4, 8} {1, 2} 2 4 4 3 {3, 9} {1, 3} 2 5 6 2 {2, 10} {1, 5} 2 6 12 1 {1, 5, 7, 11} {1, 5, 7, 11} 4 Ø20 E21 Til brug i næste afsnint om kryptering tager vi ogs˚a lige 35. Sætning: Fermats lille sætning Lad p være et primtal og lad a og p være indbyrdes primiske. Da er a p−1 mod p = 1. Bevis : For elementer af Zp vil vi lade det fremg˚a af sammenhængen om operationerne skal forst˚as som de sædvanlige eller de modulære. Vi sætter b = a mod p, da er a p−1 mod p = b p−1 . Da a og p er indbyrdes primiske vil b være et invertibelt element i Zp. Afbildningen Zp ∋ x ↦→ bx ∈ Zp er derfor en bijektion. Vi har alts˚a at {bx : x ∈ Z p } = Zp og derfor er = (1 · · · (p − 1)) = (1 · b) · · · ((p − 1) · b) = (1 · · · (p − 1))b p−1 . Det første lighedstegn begrundes af at der p˚a hver side er et produkt med de samme faktorer (men i forskellig rækkefølge). Det andet ved simple regneregler. Af den resulterende ligning mellem de yderste udtryk f˚as ved forkortning at b p−1 = 1, som postuleret i sætningen. Kryptering. Lad p og q være primtal; sæt n = pq. Vha Eulers formel f˚as at ϕ(n) = n − ϕ(p) − ϕ(q) − ϕ(1) = pq − (p − 1) − (q − 1) − 1 = (p − 1)(q − 1). Lad c ∈ Z ϕ(n) være invertibel og sæt d = c −1 . Vi har da at der findes r s˚aledes at cd = 1 + ϕ(n)r. 24
Vi definerer for x < n funktionerne F og G ved F (x) = x c mod n og G(x) = x d mod n. Vi vil vise at de er hinandens inverse. Vi ser at G(F (x)) = x cd mod n = x 1+ϕ(n)r mod n = x(x (p−1)(q−1) ) r = x(x p−1 ) (q−1)r . Hvis nu x og p er indbyrdes primiske, da er x p−1 = 1 ifølge S 35. S˚a i dette tilfælde er F (G(x)) = x. Ellers vil x og q være indbyrdes primiske og et symmetrisk argument med p og q ombyttet giver da at formlen ogs˚a gælder i dette tilfælde. Derfor er G den inverse af F . Dette benyttes i kryptering p˚a følgende m˚ade: Du oplyser helt offentligt at folk der vil sende dig noget krypteret blot skal bruge F som krypteringsfunktion. Du skal oplyse n og c, som kaldes din offentlige nøgle. Du kan da dekryptere ved at benytte G, hvilket du jo kan fordi du kender d, som du ikke m˚a oplyse andre om. Pointen i dette er at det er meget vanskeligt for andre at finde dekrypteringsfunktionen, alts˚a finde d, selvom d jo er entydigt fastlagt ud fra de kendte størrelser. Hvis n indeholder mange hundrede cifre er det umuligt at bestemme φ(n) selv ved brug af formlen ovenfor. Verdens for øjeblikket hurtigste computer kan ikke gøre det inden for universets levetid. Hvis man kunne finde primfaktoropspaltningen n = pq ville det ikke være nogen sag. Men primfaktorisering af meget store tal hører til de mest tidskrævende opgaver. Man har dog ikke kunnet bevise at der ikke findes en smart effektiv metode til primtalsfaktorisering. Der findes meget tilgængelig literatur om denne krypteringsmetode. 5: Epilog Der har været to hovedtemaer: 1) samspillet mellem to primære binære operationer, addition og multiplikation, i forskellige sammenhænge. 2) overførsel af en struktur af denne type fra en mængde til en anden ved hjælp af en ækvivalensrelation. Ækvivalensklasserne bliver de nye objekter og addition og multiplikation overføres hertil. At overføre de primære operationer addition og multiplikation g˚ar ganske let. N˚ar vi vil undersøge muligheden for at overføre division m˚a der imidlertid inddrages raffinerede om end velprøvede redskaber nemlig den enkle og den udvidede euklidiske algoritme. 25
Page 1: - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK K
Page 4 and 5: Dette nummer af IMFUFAtekster omfat
Page 6 and 7: Dette er et hæfte i en serie med t
Page 8 and 9: 1: Prolog I dette hæfte skal du m
Page 10 and 11: Bemærk at med disse definitioner,
Page 12 and 13: 7. Definition: Heltalskvotient Lad
Page 14 and 15: Alle informationerne er i øvrigt i
Page 16 and 17: Primtal. Vi vil nu koncentrere os o
Page 18 and 19: Bevis : Induktion efter a. Sagen er
Page 20 and 21: Bemærk at disse regler blot sammen
Page 22 and 23: Det er alts˚a meningsfuldt at tæn
Page 24 and 25: Zn fremkommer et algebraisk udtryk
Page 26 and 27: Eksempel: Da 33 ⊓ 65 = 1 = 2 · 3
Page 30 and 31: Disse metoder har interesse i sig s
Page 32 and 33: vil rekrut nr i skulle st˚a i ræk
Page 35 and 36: Anders Madsen LEGEMER OG VEKTORRUM
Page 37 and 38: 1: Prolog I dette hæfte skal du m
Page 39 and 40: findes x s˚a bx = a. Og da hvert a
Page 41 and 42: Idet V og W er vektorrum over det s
Page 43 and 44: Betingelsen x · y = 0, som i det r
Page 45 and 46: 2) Der findes en invertibel matrix
Page 47 and 48: 4: Epilog Du skulle efter læsninge
Page 49 and 50: Der er givet koefficientmatricen A
Page 51 and 52: Vi regner nu i legemet Z3, hvor fø
Page 53: Nulrummene er fremhævet i de diagr
Page 56 and 57: Dette er et hæfte i en serie med t
Page 58 and 59: 1: Prolog I dette hæfte skal du (g
Page 60 and 61: ekvemmelighed) skriver gf. Ofte vil
Page 62 and 63: 10. Bemærkning : Samme cykliske pe
Page 64 and 65: Vi kan udføre punkt 1 fordi A per
Page 66 and 67: Ø10 Ø11 Vi kommer nu til en vigti
Page 68 and 69: Vi bemærker at faktoriseringen i 2
Page 70 and 71: 29. Sætning: Formel for ordenen Or
Page 72 and 73: og vi ønsker at skrive pqr som pro

imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?