imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Vi regner nu i legemet Z3, hvor følgende række af matrixomformninger
viser at
⎛
1
⎝ 1
1
−1
1
1
1
0
0
1
⎞ ⎛
0 1
0 ⎠ → ⎝ 0
1
1
1
0
1
−1
0
1
⎞
0
0 ⎠ →
1
⎛
1
⎝ 0
1
1
1
−1 0 0 1 0
⎞ ⎛
0 −1 0 −1 1
0 −1 1 0 ⎠ → ⎝ 0
0
0
1
1
0
0
−1
0
−1
0 1
⎞
−1 −1
1 0 ⎠ →
0 0 1 −1 0 1 0 0 1 −1 0 1
⎛
1
⎝ 1
1
−1
1
1
⎞
⎠
1 1 −1
−1
⎛
0
= ⎝ −1
−1
1
⎞
−1
0 ⎠ .
−1 0 1
Undervejs har vi gjort flittigt brug af at −2 = 1 og −1 = 2.
Eksempel 9: Der findes flere endelige legemer
Lad L være en mængde best˚aende af fire elementer 0, 1, i, j og lad operationerne
være givet ved tabellerne
+ 0 1 i j
0 0 1 i j
1 1 0 j i
i i j 0 1
j j i 1 0
Vis at i op j er løsninger til ligningen x 2 + x + 1 = 0.
· 0 1 i j
0 0 0 0 0
1 0 1 i j
i 0 i j 1
j 0 j 1 i
Øvelse 10: Legeme som vektorrum over sig selv
Ethvert legeme er et vektorrum over sig selv. Fortolk denne p˚astand og eftervis
den.
Eksempel 11: Legeme som vektorrum over dellegeme
1) De komplekse tal C er med oplagte definitioner af vektorrumsoperationer
et vektorrum over de relle tal R. Parret (1, i) giver anledning
til en basis. Koordinatsættet for det komplekse tal x + iy mht denne
basis er (x, y).
2) De reelle tal R udgør med oplagte definitioner et vektorrum over de
rationale tals legeme Q. Det kan vises, men det er overordentlig kompliceret
(og involverer udvalgsaksiomet) at dette vektorrum har en
basis og at det er uendeligdimensionalt.
17