imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Vi bemærker at faktoriseringen i 2-cykler p˚a ingen m˚ade i sig selv er entydig,
men som vi lige har vist s˚a har denne faktorisering dog en entydig egenskab,
nemlig pariteten af antallet af faktorer, alts˚a om dette antal er lige eller ulige.
Dette er baggrunden for at tildele permutationer paritet og fortegn.
4: Lige eller ulige
P˚a baggrund af sætning S21
4.1: Definition og beregning af fortegn
Med sætning S21 har vi da gjort klar til
22. Definition: Paritet, fortegn
En permutation kaldes lige, n˚ar den er produkt af et lige antal 2-cykliske permutationer
og den siges at have fortegnet 1. I modsat fald kaldes den ulige og
dens fortegn defineres til at være −1. Vi skriver sgn(p) for fortegnet af p.
Ved beregning af pariteten for en permutation er det ofte smart at bryde den
ned i faktorer som man kan bestemme fortegnet for. Man har nemlig følgende
bekvemme hjælpemiddel
23. Sætning: Regning med fortegn
For permutationerne p og q af A gælder regnereglen
sgn(pq) = sgn(p)sgn(q),
hvilket ogs˚a betyder at man regner med pariteter p˚a samme m˚ade som hos hele
tal.
Bevis : Hvis p = p1 · · · pr og q = q1 · · · qs er faktoriseringer i 2-cykliske permutationer
da har vi at pq = p1 · · · prq1 · · · qs og dermed at
sgn(p) = (−1) r
sgn(q) = (−1) s
sgn(pq) = (−1) r+s
hvoraf p˚astanden fremg˚ar.
Beregningen af de enkelte faktorers fortegn foretages ved hjælp af
14