imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Ø10 Ø11
Vi kommer nu til en vigtig anvendelse af faktorisering af permutationer i faktorer
som er cykliske permutationer, nemlig inddelingen af permutationerne i
lige og ulige permutationer, en inddeling som har stor betydning ved udregningen
af determinanter og ved regning med orienteringer.
3.4: Faktorisering i 2-cykler
20. Sætning: Faktorisering i 2-cykler
Enhver permutation er produkt af 2-cykliske permutationer
Bevis : Da enhver permutation er et produkt af cykliske permutationer er det
nok at vise at enhver cyklisk permutation er produkt af 2-cykliske permutationer.
Dette ses direkte af formlen
(a1 · · · ak) = (a1 a2)(a2 a3) · · · (ak−1 ak),
som eftervises ved inspektion af virkningen p˚a hvert enkelt element.
Ethvert helt tal er jo lige eller ulige. Denne egenskab ved tallet kaldes dets
paritet.
21. Sætning: Pariteten af antal 2-cykler
Antallet af faktorer i alle produkter af 2-cykler som som har et givet produkt
har samme paritet
Bevis : Lad os starte med at vise at den identiske permutation, ( ), ikke kan
skrives som et produkt af et ulige antal 2-cykler. Vi gør dette ved at vise at
antallet af faktorer i et s˚adant produkt altid kan reduceres med to, hvis det da
ikke kun best˚ar af en enkelt faktor. S˚a lad p1, . . . pk være 2-cykler s˚aledes at
( ) = p1 · · · pk, hvor k > 1. Lad x og y være de to elementer som bestemmer p1,
alts˚a p1 = (x y). Vi vil se p˚a hvordan vi kan flytte en 2-cykel som indeholder x
fremad i rækkefølgen af faktorer. Lad derfor pi være en 2-cykel af formen (x z)
og antag at pi−1 har formen (u v) hvor b˚ade u og v er forskellige fra x. Vi har
da at
⎧
⎨ (x v)(u v) for z = u
pi−1pi = (u v)(x z) = (x u)(u v) for z = v
⎩
(x z)(u v) for z = u, z = v
12