imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

29. Sætning: Formel for ordenen
Ordenen af en permutation er det mindste tal, der har den egenskab at enhver
længde af en cykel der indg˚ar i faktoriseringen i disjunkte cykler, g˚ar op i
det, kort sagt mindste fælles multiplum af indg˚aende cykellængder. Og med
symboler: hvis p = p1 · · · pm er faktorisering i disjunkte cykler og hvis li er
længden af pi da er ordenen af p lig med mfm(l1, . . . , lm)
Ø12 Ø13 Ø14 Ø15
5: Epilog
Vi har set to eksempler p˚a faktoriseringer af permutationer i særlig simple
permutationer, hvor de simple permutationer er de cykliske. Der er to nyttige
faktoriseringer:
1) Faktorisering i disjunkte cykler. Denne faktorisering er i det væsentlige
entydig og har lighed med primfaktorisering for hele tal.
2) Faktorisering i 2-cykler. Denne faktorisering er langt fra entydig og
cyklerne er ikke disjunkte. Det er denne faktorisering som er grundlaget
for inddelingen i lige og ulige cykler. Selvom faktoriseringen
ikke er entydig, s˚a er der en egenskab ved den som er entydig, nemlig
pariteten af antallet af faktorer.
Definitionen af pariteten af en permutation bygger direkte p˚a faktoriseringen
i 2-cykler og udtrykkes ogs˚a i tildelingen af et fortegn til enhver permutation.
Dette fortegn har mange anvendelser. Der er simple regler for beregning af
fortegnet for en sammensætning af permutationer ud fra fortegnene for de
indg˚aende permutationer.
Disse regler best˚ar i p˚a at permutationernw erstattes af deres fortegn og sammensætning
erstattes af multiplikation. Derved er den afbildning der til en
permutation knytter dens fortegn et eksempel p˚a det, der i abstrakt algebra
kaldes en homomorfi.
Mange af de anvendte begreber har ogs˚a mening for vilk˚arlige bijektive afbildninger.
Det der er specielt knyttet til kravet om endelig definitionsmængde er
resultaterne knyttet til faktorisering.
16