imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Det følgende er skrevet i forventning om at læseren er bekendt med vektorrum
over de reelle tal, alts˚a vektorrum hvor man kan danne skalarproduktet af et
reelt tal og en vektor. I den følgende definition indg˚ar et legeme L og læseren
forventes derfor at genkende følgende definition i det tilfælde hvor L er de reelle
tals legeme.
6. Definition: Vektorrum over vilk˚arligt legeme
Lad V være en mængde og L et legeme. Vi siger at V er et vektorrum over L,
hvis der findes operationer +, −, · og et udpeget element 0 i V , s˚aledes at
1) u + v, u − v er defineret for alle u, v ∈ V
2) au er defineret for alle u ∈ V og alle a ∈ L
3) u + v = v + u for alle u, v ∈ V
4) u + 0 = 0 for alle u ∈ V
5) a(u + v) = au + av og (a + b)u = au + bu for alle a, b ∈ L, u, v ∈ V
6) a(bu) = (ab)u for alle a, b ∈ L, u ∈ V
7) Ligningen u + x = v i den ubekendte x har netop en løsning, nemlig
x = v − u for ethvert u, v ∈ V
Elementerne i V kaldes vektorer og elementerne i L kaldes skalarer.
Følgende definitioner fra reelle vektorrum er formuleret alene vha addition og
skalarmultiplikation og kan derfor anvendes i den samme formulering ogs˚a i den
generelle situation:
Idet A, B ⊂ V , v, v1, . . . , vk ∈ V , a, a1, . . . , an ∈ L har vi defineret hvad det vil
sige at
1) v er linearkombination af v1, . . . , vk med koefficientsæt (a1, . . . , ak)
2) A er det lineære hylster af B (eller B udspænder A), skrevet A =
spanB
3) A er et underrum af V
4) A er lineært uafhængig
5) A er en basis for B
6) A har dimensionen n
Det kan med oplagte modifikationer af beviserne ses at følgende resultater ogs˚a
gælder for generelle legemer:
7) spanA, er et underrum
6