imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Zn fremkommer et algebraisk udtryk i Zn som vi kalder den principale reduktion
af u.
26. Sætning: Restdannelse respekterer algebraiske operationer.
Lad u være algebraisk frembragt af a1, . . . , ap og lad u ′ være den principale
reduktion af u. Da vil u ′ være den pricipale rest af u.
Bevis : Lad os begynde med u = a + b. Vi skal da vise at (a + b) mod n =
(a mod n) ⊕ (b mod n), alts˚a at (a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n.
Men i følge ovenst˚aende regel for regning med restklasser (S22), s˚a har vi at
(a+b) og (a mod n)+(b mod n) tilhører samme restklasse og derfor har samme
principale rest. Samme argument kan anvendes p˚a differenser og produkter.
Og da ethvert algebraisk udtryk kan tænkes fremkommet ved successiv benyttelse
af disse operationer enkeltvis f˚as sætningen. Vi illustrerer med følgende
eksempel:
(3 · 5) + 5(4 · 6) = 135 og 135 mod 7 = 2, mens (3 ⊙ 5) ⊕ 5 ⊙ (4 ⊙ 6) = 1 ⊕ 5 ⊙ 3 =
1 ⊕ 1 = 2.
Vi reformulerer lige et par af de tidligere eksempler:
(31 · 49) mod 24 = (31 mod 24) ⊙ (49 mod 24) = 7 ⊙ 1 = 7.
(xy) mod 9 = (x mod 9) ⊙ (y mod 9).
og et nyt eksempel:
Beregn 5 117 mod 7. Vi benytter a ≡ b til at notere at a og b har samme
principale rest modulo 7.
Først beregnes en række potenser successivt:
5 2 ≡ 4, 5 4 ≡ 4 2 ≡ 2, 5 8 ≡ 4, 5 16 ≡ 2, 5 32 ≡ 4 ,5 64 ≡ 2.
Da 117 = 64 + 32 + 16 + 4 + 1 f˚as da at 5 117 ≡ 5 64 5 32 5 16 5 4 5 1 ≡ 2 · 4 · 2 · 2 · 5 ≡
16 · 10 ≡ 2 · 3 = 6
Bemærk at
5 117 =6018531076210112040799931070577897870431567650673088
110124808736145496368408203125
20