imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

More documents

Recommendations

Info

Antag s˚aledes at v∈B avv = 0. Vi skal da blot vise at av = 0 for alle v ∈ B. Lad µ ∈ Λ. Vi har da at 0 =(A − µE) avv = av(A − µE)v = av(A − µE)v = λ∈Λ v∈Bλ v∈B v∈B av(λ − µ)v = λ∈Λ,λ=µ v∈Bλ λ∈Λ v∈Bλ av(λ − µ)v Af induktionsantagelsen følger da at av = 0 n˚ar v /∈ Bµ. N˚ar dette indsættes i den første antagelse f˚as at v∈Bµ avv = 0 og da Bµ er en basis f˚as da at av = 0 for v ∈ Bµ. Dermed har vi vist at av = 0 for alle v ∈ B og det viser at B er lineært uafhængig. Hvis vi benytter dette resultat for Λ = σ(A) f˚as resultatet i sætningen. Denne sætning fører umiddelbart til 13. Sætning: Diagonaliserbarhed og geometrisk multiplicitet En n × n matrix A er diagonaliserbar hvis og kun hvis summen af dens geometriske multipliciteter er n 14. Sætning: Den geometriske multiplicitet overstiger aldrig den algebraiske Lad λ være en egenværdi for A. Da er geo(λ) ≤ alg(λ) 15. Sætning: Diagonaliserbarhed kræver fuld algebraisk multiplicitet En nødvendig betingelse for at en n × n matrix A er diagonaliserbar er at summen af dens algebraiske multipliciteter er n. 16. Sætning: Diagonaliserbarhed for de komplekse tal Hvis L = C, s˚a er en matrix diagonaliserbar hvis og kun hvis dens geometriske og den algebraiske multipliciteter er ens for enhver egenværdi 12 .
4: Epilog Du skulle efter læsningen vide at mange resultater fra teorien om reelle vektorrum har mening og gyldighed for vilk˚arlige legemer, men godt kan fremtræde væsentlig forskelligt fra mønstereksemplet. Du skulle ogs˚a vide at nogle resultater ikke kan overføres. Det gælder først og fremmest det som er knyttet til et indre produkt. Det gælder ogs˚a de ting som er knyttet til at algebraens fundamentalsætning kun gælder i de komplekse tal, hvilket har betydning, n˚ar det drejer sig om diagonalisering af matricer. Til perspektivering: Vektorrum tjener selv som eksempel p˚a en algebraisk struktur, hvis man udvider dette begreb til at omfatte mere end en slags objekter og operationer p˚a mere end en slags objekter. De to slags objekter er vektorer og skalarer og den ekstra operation er multiplikation af vektor med skalar. 13
Page 1: - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK K
Page 4 and 5: Dette nummer af IMFUFAtekster omfat
Page 6 and 7: Dette er et hæfte i en serie med t
Page 8 and 9: 1: Prolog I dette hæfte skal du m
Page 10 and 11: Bemærk at med disse definitioner,
Page 12 and 13: 7. Definition: Heltalskvotient Lad
Page 14 and 15: Alle informationerne er i øvrigt i
Page 16 and 17: Primtal. Vi vil nu koncentrere os o
Page 18 and 19: Bevis : Induktion efter a. Sagen er
Page 20 and 21: Bemærk at disse regler blot sammen
Page 22 and 23: Det er alts˚a meningsfuldt at tæn
Page 24 and 25: Zn fremkommer et algebraisk udtryk
Page 26 and 27: Eksempel: Da 33 ⊓ 65 = 1 = 2 · 3
Page 28 and 29: Ved i denne formel at addere ϕ(1)
Page 30 and 31: Disse metoder har interesse i sig s
Page 32 and 33: vil rekrut nr i skulle st˚a i ræk
Page 35 and 36: Anders Madsen LEGEMER OG VEKTORRUM
Page 37 and 38: 1: Prolog I dette hæfte skal du m
Page 39 and 40: findes x s˚a bx = a. Og da hvert a
Page 41 and 42: Idet V og W er vektorrum over det s
Page 43 and 44: Betingelsen x · y = 0, som i det r
Page 45: 2) Der findes en invertibel matrix
Page 49 and 50: Der er givet koefficientmatricen A
Page 51 and 52: Vi regner nu i legemet Z3, hvor fø
Page 53: Nulrummene er fremhævet i de diagr
Page 56 and 57: Dette er et hæfte i en serie med t
Page 58 and 59: 1: Prolog I dette hæfte skal du (g
Page 60 and 61: ekvemmelighed) skriver gf. Ofte vil
Page 62 and 63: 10. Bemærkning : Samme cykliske pe
Page 64 and 65: Vi kan udføre punkt 1 fordi A per
Page 66 and 67: Ø10 Ø11 Vi kommer nu til en vigti
Page 68 and 69: Vi bemærker at faktoriseringen i 2
Page 70 and 71: 29. Sætning: Formel for ordenen Or
Page 72 and 73: og vi ønsker at skrive pqr som pro

imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?