imfufa 455 - Institut for Natur, Systemer og Modeller (NSM)

starte i den tredjenederste række. Her har vi at a ⊓ b = r = a − qb og vi skal
derfor blot vælge x = 1 og y = −q.
Herefter fortsættes opad gennem rækkerne.
Antag at vi er n˚aet til en bestemt række, hvor alle underliggende rækker er
ordnede. Vi kalder denne for den aktuelle. Vi lader x ′ , y ′ betegne værdierne i
rækken under den aktuelle og sætter x = y ′ og y = x ′ − qy ′ , hvor q aflæses i
den aktuelle række. N˚ar vi er n˚aet til første række er vi færdige og kan aflæse
resultatet som (x, y).
Alle informationerne i forbindelse med den udvidede algoritme er indeholdt i
den sidste søjle og man kan derfor nøjes med at udføre denne. Bemærk at
lighedstegnet i slutningen af hver række peger p˚a rækken ovenover. De andre
kolonner tjener her mere til at understrege systemet.
Ø14
Denne sætning, som har mange anvendelser, sætter lyset p˚a tallene af formen
xa + yb, hvor a og b er konstante og x og y gennemløber alle hele tal. Vi kan
kort skrive mængden som aZ + bZ, alts˚a summen af to tabeller. Vi kan nu give
en overraskende karakterisering af denne mængde.
11. Sætning: Sum af tabeller er en tabel
aZ + bZ = (a ⊓ b)Z
Bevis : Per definition er b˚ade a og b multipla af a ⊓ b, hvilket xa + yb s˚a ogs˚a
er. Dermed ses at aZ + bZ ⊆ (a ⊓ b)Z
Vi kan vælge x, y s˚a (a ⊓ b) = xa + yb. For ethvert k ∈ Z har vi da at
k(a ⊓ b) = kxa + kyb ∈ aZ + bZ. Dette giver den modsatte inklusion.
Tænk over om dette resultat virker indlysende. Det bygger i hvert fald p˚a en
sætning (S10) som synes knapt s˚a indlysende. Af sætningen følger f.eks. at
ethvert tal kan skrives som sum af et tal fra 5-tabellen og et fra 12-tabellen.
Hvordan ville du argumentere direkte for det. Det kunne du godt lige tænke
over.
3: Primtal og primtalfaktorisering.
3.1: Primtal, definition og simple egenskaber
11