Appendix

G CST- og LST-elementopbygning Del III Numeriske modeller
T
Da matricen [ B] [ D][ B ] afhænger af x1 og x2 skal fladeintegralet løses ved først at integrere over x2
som det indre integral og dernæst over x1 som det ydre integral. Ved at betragte figur 40 ses det, at
når der integreres over trekanten, skal den nedre grænse for x2 være en funktion af x1. Dermed kan
fladeintegralet (G.1) for LST-modellen opstilles som
[ ]
T
k = [ B] [ D][ B] dA
[ ]
∫
A
b a
N N
∫∫
T
k = [ B] [ D][ B] dx dx
0 xa 1
b
2 1
(G.23)
Udregning af [k] ved (G.23) er foretaget i maple, fil vedlagt på cd-rom som kned.mw. Da [k] er en
12x12 matrice er den i det følgende delt i 4 delmatricer for at lette overskueligheden, jf. (G.24) -
(G.28).
[ k1] [ k2]
[ k ] [ k ]
⎡ ⎤
[ k]
= ⎢ ⎥
⎣ 3 4 ⎦
⎡ 3b b
−1
1 ⎤
⎢ 0 0
4( ν + 1) a 4( ν + 1) a
4( ν + 1) 4( ν + 1)
⎥
⎢ ⎥
⎢ −3b ν −b −ν
⎥
⎢ 0 0
2 ( ) ( 2) 2 ( ) ( 2)
⎥
⎢ 2 − 1+ ν a 2 − 1+ ν 2 − 1+
ν a 2 − 1+
ν
⎥
⎢ 2 2 2
⎥
⎢ b ν − 32 ( a + b −bν) 3 −a −1
⎥
⎢ ( ) ( 2 )
2 ( ) ( ) 2
4 1 2 1 4 1 4 1 2 ( 1 ) 4( 1)
Et ν + a − + ν b − + ν a − + ν b − + ν ν +
⎥
k1
=
⎢ ⎥
2 2 2
3 ⎢
1 b 3 3( − a + aν−2b ⎥
⎢ − −
) ν
a ⎥
⎢ ( ) 2 ( ) ( )
2 ( ) ( 2
4 ν + 1 2 − 1+ ν a 4 − 1+ ν 4b − 1+ ν a 2 − 1+
ν ) 4( ν + 1)
b⎥
⎢ ⎥
⎢ −ν −a
ν
−3a
⎥
⎢ 0
0
( 2 ) 2
2 − 1+ ν 2b( − 1+
ν ) 2( 2
− 1+
ν ) 2
⎥
⎢ 2b( − 1+
ν ) ⎥
⎢
1 1 a 3a
⎥
⎢
−
0 0
⎥
⎣⎢ 4( ν + 1) 4( ν + 1) 4( ν + 1) b 4( ν + 1)
b⎥⎦
⎡ −b1 −1
⎤
⎢ 0 0 0
( ν + 1) a ( ν + 1) ( ν + 1)
⎥
⎢ ⎥
⎢ −2ν
2b2ν ⎥
⎢ 0 0 0
( 2) 2 ( ) ( 2)
⎥
⎢ − 1+ ν − 1 + ν a − 1+
ν
⎥
⎢
b 2ν2a 1
⎥
⎢
− −
0 0
⎥
( ) ( 2 ) 2
Et ⎢ ν + 1 a − 1 + ν
b(
− 1 + ν ) ( ν + 1)
⎥
k2
= ⎢ ⎥
3 ⎢ 1 2b −2ν−a ⎥
⎢ 0 0
( ) 2 ( ) ( 2
ν + 1 1 ν a
1 ν ) ( ν + 1)
b
⎥
⎢
− + − +
⎥
⎢ 2ν 2a−2ν ⎥
⎢ 0 0 0
⎥
( 2) 2 ( ) ( 2
⎢ − 1+ ν b − 1 + ν − 1+
ν ) ⎥
⎢ ⎥
⎢ −1 1 −a
0 0 0
⎥
⎢ ( ν + 1) ( ν + 1) ( ν + 1)
b ⎥
⎣ ⎦
⎡ −b −2ν−b 1
⎤
⎢
0 0
( ) ( 2
ν + 1 a − 1 + ν ) ( ν + 1) a ( ν + 1)
⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 2b −2ν
2b
⎥
⎢ 0 0
( ) 2 ( ) ( 2 ) 2
⎥
⎢ ν + 1 − 1+ ν a − 1 + ν ( − 1+
ν ) a
⎥
⎢
2ν1 ⎥
⎢
−
0 0 0 0
⎥
( 2
Et ⎢ − 1 + ν ) ( ν + 1)
⎥
k3
=
3
⎢
1 2ν
⎥
⎢
−
0 0 0 0 ⎥
( ) ( 2
⎢ ν + 1 − 1 + ν ) ⎥
⎢
2a 2ν2a 1
⎥
⎢
−
0 0
⎥
2 ( ) ( 2 ) 2
⎢ b − 1+ ν − 1 + ν b(
− 1+
ν ) ( ν + 1)
⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 −a −2ν−a ⎥
⎢ 0 0
( ) ( ) ( 2
ν + 1 ν + 1 b − 1 + ν ) ( ν + 1)
b
⎥
⎣ ⎦
(G.24)
(G.25)
(G.26)
(G.27)
69