307 KB - Universität Bremen

Kanalcodierung I
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben
Universität Bremen
Fachbereich 1, ANT
bestehend aus n Symbolen umgesetzt. Ferner bezeichnet y die empfangene Symbolfolge, ˆx die durch den Decodierer
geschätzte codierte Folge und a∈Γ eine beliebige codierte Sequenz.
Bei der Decodierung unterscheidet man prinzipiell zwischen Verfahren, die komplette Codeworte (Blockcodes)
bzw. Codesequenzen (Faltungscodes) schätzen und solchen, die symbolweise arbeiten. Letztere bestimmen
Schätzwerte für jedes Codebit, wobei ein Codierer-Inverses dann die Abbildung auf das zugehörige Informationswort
realisiert. Da symbolweise entschieden wird, kann es vorkommen, dass die Codesequenz / das Codewort
nicht Element des Coderaums ist und der Decodiervorgang versagt. Wir betrachten in diesem Abschnitt
die sequenzweise Decodierung, wobei wiederum zwischen 2 Kriterien unterschieden werden muss.
MAP-Kriterium
Das MAP-Kriterium (Maximum A-posteriori Probability) ist bereits von den Blockcodes bekannt
und stellt die optimale Decodierung dar. Dabei wird die Sequenz ˆx bestimmt, die die a-posteriori-
Wahrscheinlichkeit P(ˆx|y) maximiert.
P(ˆx|y)≥P(a|y)
p(y| ˆx)·
(4.13)
P(ˆx)
P(a)
≥ p(y|a)·
p(y) p(y)
p(y| ˆx)·P(ˆx)≥ p(y|a)·P(a) (4.14)
Die Decodierung erfolgt über ˆx = arg max(p(y|a)P(a))
und berücksichtigt durch P(ˆx) eine a-
priori-Information der Quellenstatistik.
Maximum Likelihood-Kriterium
a
Treten alle codierten Sequenzen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit P(ˆx)=P(a)=2 −k auf bzw. ist
die Quellenstatistik dem Empfänger nicht bekannt, so kann keine a-priori-Information bei der Decodierung
berücksichtigt werden. Dann gilt
p(y| ˆx)≥ p(y|a). (4.15)
Die Decodierung erfolgt über ˆx = argmax p(y|a). Für gleichverteilte Eingangssequenzen liefern
a
MAP- und Maximum-Likelihood-Kriterium identische (optimale) Ergebnisse. Sind die Eingangssequenzen
nicht gleichverteilt und P(a) dem Empfänger nicht bekannt, so ist das Maximum-Likelihood-
Kriterium suboptimal.
Im Folgenden werden wir die Maximum Likelihood-Decodierung weiter verfolgen, eine Erweiterung auf die
Decodierung mit dem MAP-Kriterium ist dann einfach möglich. Für diskreten gedächtnislosen Kanal (DMC)
können die Verbundwahrscheinlichkeiten faktorisiert werden und es gilt
N−1
p(y|a)=
∏
ℓ=0
n
∏ ∏
ℓ=0 i=1
N−1
p(y(ℓ)|a(ℓ))=
Da ferner der ln eine streng monoton steigende Funktion ist, gilt auch
N−1
ln p(y|a) = ln
=
=
n
∏ ∏
ℓ=0 i=1
N−1 n
∑ ∑
ℓ=0 i=1
N−1 n
∑ ∑
ℓ=0 i=1
p(yi(ℓ)|ai(ℓ)) . (4.16)
p(yi(ℓ)|ai(ℓ))
ln p(yi(ℓ)|ai(ℓ))
γ ′ (yi(ℓ)|ai(ℓ)) . (4.17)
4.3. OPTIMALE DECODIERUNG MIT VITERBI-ALGORITHMUS 90