307 KB - Universität Bremen
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Kanalcodierung I<br />
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben<br />
<strong>Universität</strong> <strong>Bremen</strong><br />
Fachbereich 1, ANT<br />
Unter Verwendung der Gleichungen (4.17) und (4.19) und Anwendung der Union Bound erhalten wir folgende<br />
Wahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung<br />
<br />
Pw = P(ln p(y|x)0<br />
∑<br />
ℓ=0<br />
γ(y(ℓ)|a(ℓ))<br />
N−1 n<br />
yi(ℓ)xi(ℓ)< ∑ ∑<br />
ℓ=0 i=1<br />
yi(ℓ)ai(ℓ)<br />
<br />
(4.29)<br />
Unter der Annahme, dass die Nullsequenz gesendet wurde, nehmen die Codesymbole nur den Wert xi(ℓ) ≡<br />
− √ Es an. Außerdem sollen sich a und x in genau d Stellen unterscheiden, d.h. die Hamming-Distanz beträgt<br />
dH(a,x) = wH(a) = d. Dann gibt es in Gl. (4.29) nur d Summanden ungleich Null und die paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit<br />
Pd für zwei Sequenzen mit der Distanz d lautet<br />
Pd = P( ∑∑ l i<br />
<br />
xi(ℓ)=ai(ℓ)<br />
<br />
Y<br />
yi(ℓ) > 0) (4.30)<br />
Die Summe über d Empfangswerte yi ist eine gaußverteilte Zufallsgröße Y (zentraler Grenzwertsatz) mit<br />
Mittelwert: ¯Y =−d· Es/Ts<br />
Varianz: σ 2 Y = d· N0/2/Ts .<br />
Die Wahrscheinlichkeit für ein Verwechseln zweier Sequenzen mit der Hamming-Distanz d zueinander ergibt<br />
sich dann zu<br />
=⇒ Pd = 1<br />
<br />
· erfc d<br />
2 Es<br />
<br />
=<br />
N0<br />
1<br />
<br />
Eb<br />
· erfc dRc .<br />
2 N0<br />
(4.31)<br />
Abschätzung der Sequenzfehlerwahrscheinlichkeit<br />
Zur Berechnung der Auftrittswahrscheinlichkeit für einen Decodierfehler sind jetzt wie bei den Blockcodes alle<br />
Sequenzen zu betrachten. Hierzu kann das schon bekannte Distanzspektrum herangezogen werden, d.h. speziell<br />
den Koeffizienten ad aus Gl. (4.27). Wir erhalten den Ausdruck<br />
Pw ≤ ∑ d<br />
ad· Pd = 1<br />
2 ·∑ d<br />
<br />
ad· erfc dRc<br />
Eb<br />
N0<br />
<br />
. (4.32)<br />
Abschätzung der Bitfehlerwahrscheinlichkeit<br />
In der Praxis ist häufig auch die Bitfehlerrate Pb von Interesse. Zur Bestimmung von Pb ist jedoch noch die<br />
Anzahl der fehlerhaften uncodierten Informationsbit erforderlich. Die Annahme der gesendeten Nullsequenz<br />
erlaubt nun die ausschließliche Berücksichtigung der Einsen in der Informationssequenz. Diese Information<br />
steckt im Exponenten von W des Distanzspektrums und somit im Koeffizienten cd. Wir erhalten den Ausdruck<br />
Pb ≤ 1<br />
2 ·∑ d<br />
<br />
cd· erfc dRc<br />
Eb<br />
N0<br />
<br />
. (4.33)<br />
4.6. ABSCHÄTZUNG DER FEHLERWAHRSCHEINLICHKEIT 100
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