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Kanalcodierung I
Dr.-Ing. Volker Kühn, Dr.-Ing. Dirk Wübben
4.1.3 Algebraische Beschreibung
Universität Bremen
Fachbereich 1, ANT
Faltungscodes lassen sich über ihre Generatoren g j beschreiben, welche in der Regel in oktaler Form dargestellt
werden. Der Faltungscode mit Lc = 3 aus dem obigen Beispiel besitzt wegen Rc = 1/2 genau 2 Generatoren.
g1 = [g1,0 g1,1 g1,2]=[1 1 1] ˆ= 78 (4.1)
g2 = [g2,0 g2,1 g2,2]=[1 0 1] ˆ= 58 (4.2)
Soll die oktale Schreibweise auch für Lc = 3κ beibehalten werden, sind den Vektoren g j entsprechend viele
Nullen links voran zu stellen, so dass sie insgesamt als Länge ein Vielfaches von drei besitzen. Die Codierung
kann dann durch diskrete Faltung der Eingangssequenz u mit den Generatoren erfolgen
und es gilt allgemein
x1 = u∗g1 und x2 = u∗g2 . (4.3)
xν(ℓ)=
m
∑ gν,i· ul−i mod 2. (4.4)
i=0
Mit Hilfe der z-Transformation können die Signalfolgen wie auch die Generatoren im Spektralbereich dargestellt
werden. Allgemein gilt der Zusammenhang Z(x) = ∑ ∞ i=0 xi· z −i . In der Codierungstheorie hat sich
dabei die Vereinbarung durchgesetzt, den Verzögerungsoperator z −1 durch D zu ersetzen. Wir erhalten somit
X(D)=∑ ∞ i=0 xi· D i und die Generatoren lassen sich folgendermaßen beschreiben:
G1(D) = g10+ g11D+g12D 2 = 1+D+D 2
(4.5)
G2(D) = g20+ g21D+g22D 2 = 1+D 2 . (4.6)
Allgemein gilt für das ν-te Polynom und die zugehörige Ausgangsfolge Xν(D):
Gν(D)=
m
∑
i=0
gν i· D i
Die gesamte codierte Sequenz kann in der Polynomdarstellung durch
und Xν(D)= U(D)·Gν(D) (4.7)
X(D)=[X1(D) X2(D) ... Xn(D)]= U(D)·G(D) (4.8)
mit der Generatormatrix G(D)=[G1(D) G2(D) ... Gn(D)] dargestellt werden. Für den Coderaum gilt entsprechend
Γ={U(D)·G(D)| U(D),Ui ∈ GF2}. (4.9)
Beispiel: u=(1 0 0 1 1 ...)
ul Zustand Folgezustand Ausgang
1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 0 1 1
u( l-1)
u( l-2)
4.1. GRUNDLAGEN 84
u( l)
x l
1( )
x l
2( )