Bachelorarbeit - Desy

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h [Skt.] FWHM(847 keV) [keV] FWHM(1238 keV) [keV]
4000 2,212(69) 2,304(97)
2500 2,103(48) 2,230(77)
2000 1,998(46) 2,235(94)
1600 2,058(53) 2,190(87)
1500 1,939(65) 2,116(94)
1400 1,914(65) 2,15(10)
1000 1,953(69) 2,165(94)
800 2,102(67) 2,360(78)
Tabelle 4.2: Energieauflösung der beiden intensivsten Linien von 56 Co in Abhängigkeit der Länge
h der Trace für die Flächenabgleich-Methode.
beschreiben:
⎧
⎪⎨
0 , t < 0
ν(t) = z(t) = a3 + b3t
⎪⎩
, 0 ≤ t < x0
f(t) = a1e −t/τ , t ≥ x0
(4.7)
Die Datenpunkte streuen gaußverteilt um die Funktionswerte. Für die Funktionen z(t) und
f(t) sind also wie oben die besten Schätzer für die Parameter über eine Regressionsanalyse
zu ermitteln.
Wie im letzten Abschnitt gesehen, ergibt die lineare Regression für die Anstiegsflanke eine
Funktion g(t) mit endlicher Steigung b2. Wird ein Sprung im Signal ν(t) am Punkt x0
gefordert, so muss die Funktion g(t) im Intervall [α, x0] der Baseline z(t) und im Intervall
[x0, β] der Exponentialfunktion f(t) entsprechen (vgl. Abb. 4.2). Anders ausgedrückt ist
z(t) die Hypothese für g(t) im Intervall [α, x0] und f(t) die Hypothese für g(t) im Intervall
[x0, β]. Durch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate lässt sich die Bedingung an den
Sprung bei x0 wie folgt schreiben:
Q(x0) =
x0
α
2 β
g(t) − z(t) dt +
x0
2 g(t) − f(t) dt = minimal (4.8)
Die Integrale entsprechen den kontinuierlichen Summen der Fehlerquadrate. Es muss nun
also Q(x0) nach x0 abgeleitet und gleich Null gesetzt werden. Weil
folgt also
x
d
u(x
dx a
′ )dx ′
= u(x), (4.9)
2
2 g(x0) − z(x0) − g(x0) − f(x0) = 0. (4.10)