Bachelorarbeit - Desy

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Die Funktion p(t) (Gl. (5.6)) und r(t) (Gl. (5.5)) lassen sich in der diskreten Zeitdomäne
schreiben als
und
r(n) =
p(n) =
n
ν(i) − ν(i − l) (5.9)
i=1
n
n
ν(j) − ν(j − k) − ν(i − k)k . (5.10)
i=0
j=0
Aus der diskreten Schreibweise lässt sich ein rekursiver Ausdruck finden:
p(n) = p(n − 1) + ν(n) − ν(n − l) , n ≥ 0 (5.11)
r(n) = r(n − 1) + p(n) − ν(n − k)k , n ≥ 0 (5.12)
Dabei bezeichnet ν(n) das Signal zur Zeit n und ν(n − l) ein um l verzögertes Signal.
Setzt man p(n) und r(n) in s(n) ein, so ergibt sich
s(n) =τν(n) − τν(n − l) − ν(n − k)k + (k − τ)ν(n − k)
− (k − τ)ν(n − k − l) + ν(n − k − l)k + r(n − 1)
+ p(n) + (k − τ)p(n − k − 1) − r(n − l − 1) − p(n − l).
(5.13)
Die ν-Terme, die den Faktor k enthalten, heben sich gegenseitig weg. Die restlichen ν-
Terme werden zu einer Funktion d k,l (n) zusammengefasst:
Anschließend wird benutzt, dass
d k,l (j) := ν(j) − ν(j − k) − ν(j − l) + ν(j − k − l) (5.14)
s(n − 1) = r(n − 1) − r(n − l − 1) + (k − τ)p(n − k − 1) + τp(n − 1). (5.15)
Der Term p(n) − p(n − l) lässt sich schreiben als p ′ (n − 1) + d k,l (n). Somit erhält man
folgenden rekursiven Ausdruck für die Trapezfunktion s(n)
mit
s(n) = s(n − 1) + τ · d k,l (n) + p ′ (n) , n ≥ 0 (5.16)
p ′ (n) = p ′ (n − 1) + d k,l (n) , n ≥ 0. (5.17)
Da eine rekursive Formel in der Regel sehr laufzeitintensiv ist, wird der Algorithmus
iterativ formuliert (vgl. Anhang A.6). Die iterative Formulierung führt zu einer drastischen
Verkürzung der Laufzeit, da das Programm bei jedem Schleifendurchlauf nur das vorherige
Element und nicht alle Elemente aufs Neue aufrufen muss.