Bachelorarbeit - Desy

Universität zu Köln
Institut für Kernphysik
Digitale Auswertung von Signalen
hochauflösender Germaniumdetektoren
Milan Zvolský
Bachelor-Arbeit
bei Professor Dr. Andreas Zilges
31. August 2009

Zusammenfassung
In der vorliegenden Bachelor-Arbeit werden Signale hochauflösender Germani-
umdetektoren mit digitalen Algorithmen bearbeitet, mit dem Ziel, die Energie der
detektieren γ-Quanten möglichst genau zu bestimmen, also eine möglichst gute Ener-
gieauflösung zu erhalten. Mit dem Digitalisierer DGF-4C der Firma XIA werden
zum einen online Energiespektren erzeugt. Zum anderen werden offline selbst ent-
wickelte Algorithmen zur Pulshöhenanalyse auf deren Energieauflösungsvermögen
hin untersucht. Es zeigt sich, dass sich mit Hilfe von simplen Algorithmen eine gute
Energieauflösung erreichen lässt. Zumindest bei niedrigen Zählraten liefert jedoch
die analoge Technik die beste Auflösung.
Abstract
In this Bachelor thesis signals of high resolution Germanium detectors are treated
with digital algorithms. The aim is to determine the energy of the detected γ rays
as accurate as possible, that is to achieve the best possible energy resolution. On the
one hand energy spectra are generated online by XIA’s digitizer DGF-4C. On the
other hand self-developed algorithms for pulse height analysis are tested with regard
to their energy resolution. It will be shown that by means of simple algorithms
a good energy resolution is achievable. However, for low count rates the analogue
technique leads to the best resolution.
i

Inhaltsverzeichnis
1 Motivation und Einleitung 1
2 Grundlagen 3
2.1 Wechselwirkung von γ-Strahlung mit Materie . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 HPGe-Detektoren, Signalerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Energieauflösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Totzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Digitale Elektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5.1 Nyquist-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5.2 Pipeline-ADC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.3 Real-Time Processing Unit (RTPU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.4 Digital Signal Processor (DSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Digitale Filter und Pile-up Unterdrückung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6.1 Trapezförmiger Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6.2 Pile-up-Erkennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Datenaufnahme 17
3.1 Aufnahme von Spektren mit analoger Technik . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Aufnahme von Spektren mit dem DGF-4C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Aufnahme von Traces mit dem DGF-4C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Algorithmen zur Pulshöhenanalyse 25
4.1 Allgemeines Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Flächen-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Schnittpunkt-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Flächenabgleich-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 Regressions-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Trapez-Algorithmus 35
5.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Zusammenfassung und Ausblick 45
A Ausgewählter C++-Code 51
A.1 Grundgerüst der Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
iii

iv
A.2 Anstiegsflanke und Baseline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A.3 Erzeugung von Spektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A.4 Schnittpunkt-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.5 Regressions-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A.6 Trapez-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1 Motivation und Einleitung
Ein Ziel der Verarbeitung von Signalen hochauflösender Germaniumdetektoren ist die
Energiespektroskopie von γ-Strahlung. Dabei wird, unter Optimierung des Durchsatzes
und des Signal/Rausch-Verhältnisses, eine Pulsformung des Vorverstärkersignals durch-
geführt, so dass ein Ausgangssignal erzeugt wird, dessen Höhe proportional zu der im
Halbleiterdetektor deponierten Energie ist. Bei der Verarbeitung müssen neben der Puls-
formung Effekte wie Pile-up berücksichtigt werden, da diese die Energieinformation, die
das Signal trägt, verfälschen.
Die Signalverarbeitung wird bislang weitgehend mit analoger Elektronik durchgeführt.
Diese zeigt jedoch mehrere Schwachpunkte. Dazu gehören die Verschlechterung der Auf-
lösung durch so genannte Ballistic Deficit- und Charge Trapping-Effekte (Abschnitt 2.3),
Verringerung des Durchsatzes durch lange Konversionszeiten des Analog/Digital-Wandlers
(ADC) und Empfindlichkeiten der Elektronik bezüglich Temperaturschwankungen.
Zudem führt jeder analoge Schritt in der konventionellen Signalverarbeitung zu irrever-
siblen Informationsverlusten. Ist das Signal einmal für die Zeitbestimmung verarbeitet,
enthält es keine Informationen über die Energie. Wird das Vorverstärker-Signal jedoch
digitalisiert, bleibt fast die gesamte Information des Signals erhalten [1].
Des Weiteren spielen die hohen Kosten sowie großer Platzbedarf aufgrund der vielen
Elektronik-Elemente eine Rolle, insbesondere in Hinblick auf Experimente wie ALICE
am CERN, bei dem mehr als 500 Einzeldetektoren zum Einsatz kommen.
Auch für Experimente am Institut für Kernphysik der Universität zu Köln ist die Umstel-
lung auf digitale Technik unumgänglich. So sollen beispielsweise für eine Erweiterung des
Horus-Spektrometers 14 HPGe- sowie bis zu 8 Silizium-Detektoren zum Einsatz kom-
men, so dass die Hardware 22 Kanäle simultan verarbeiten muss. Der aktuelle analoge
Analysator ist auf 16 Kanäle beschränkt.
Für die genannten Aspekte bietet die digitale Technik einen Ausweg. Ein Ziel der Umstel-
lung auf digitale Technik ist es zudem, bei höheren Zählraten operieren zu können, ohne
dass die Energieauflösung signifikant verschlechtert wird. Ob mit digitalen Techniken eine
vergleichbare Energieauflösung wie mit der analogen Technik erreicht werden kann, soll
in dieser Arbeit untersucht werden.
In dieser Arbeit soll das Energieauflösungsvermögen eines Digitalisierers, des Digital
Gamma Finder DGF-4C (Revision E) der Firma XIA, untersucht werden, sowohl onli-
ne mit Hilfe der integrierten Filter-Algorithmen, als auch offline mit eigens entwickelten
Algorithmen. Diese Arbeit beschränkt sich auf die Bestimmung und Optimierung der
Energieauflösung der einzelnen Verfahren. Eine Echtzeit-Auswertung ist definitiv das Ziel
einer digitalen Datenauswertung, in dieser Arbeit soll jedoch die prinzipielle Möglichkeit
1

2
und Qualität hinsichtlich der Energieauflösung einer digitalen Auswertung untersucht
werden. Dazu werden die digitalisierten Signale gespeichert und offline verarbeitet.
Nach einer Einführung in die Theorie der Wechselwirkung von γ-Strahlung mit Ma-
terie und deren Nachweis mit einem HPGe-Detektor wird die Wirkungsweise des Mo-
duls DGF-4C auf die Signale des Vorverstärkers beschreiben. Mit dem DGF-4C werden
zunächst Spektren in Echtzeit erzeugt. Um eine Aussage über die Güte der Messun-
gen zu ermöglichen, werden mit den üblichen analogen Methoden Spektren erzeugt und
durch Veränderung von Verstärkung und Shaping Time die bestmögliche analoge Ener-
gieauflösung für verschiedene Zählraten ermittelt.
Der Hauptteil dieser Arbeit wird dem Vorstellen verschiedener Algorithmen gewidmet
sein, mit deren Hilfe sich die Energieinformationen der Signale offline bestimmen lassen.
Die verschiedenen Methoden werden in Hinblick auf die resultierende Energieauflösung
untersucht.

2 Grundlagen
2.1 Wechselwirkung von γ-Strahlung mit Materie
Als Folge eines radioaktiven Zerfalls kann γ-Strahlung auftreten, bei dem der angeregte
Tochterkern unter Ausstrahlung eines γ-Quants in den Endzustand übergeht:
(Z, A) ∗ → (Z, A) + γ (2.1)
Aufgrund der quantenmechanischen Natur des Atomkerns kann dabei nur Strahlung einer
bestimmten Energie
Eγ = Ei − Ef − Er
3
(2.2)
abgegeben werden. Ei ist die Energie des Kerns im angeregten und Ef die des Kerns im
Endzustand. Er bezeichnet die Rückstoßenergie auf den Kern. Dies resultiert in einem dis-
kreten, für den Tochterkern charakteristischen Energiespektrum. Aus Konventionsgründen
werden jedoch die γ-Energien stets dem Mutterkern zugeordnet. Abbildung 2.1 zeigt die
Zerfallskaskade von 60 Co zu 60 Ni unter Aussendung von γ-Quanten der Energie 1173 keV
und 1332 keV [2]. Dieses Beispiel wurde gewählt, weil ein Großteil der Messungen mit
einer 60 Co-Quelle durchgeführt werden.
60 Co
❍
❍❍❍❍❍❍❍❥ 310 keV β− ❄
❄
1173 keV γ
1332 keV γ
Abbildung 2.1: Zerfallsschema von 60
27Co. Das Nuklid zerfällt nach einer Halbwertszeit von 5,26
Jahren über β−-Zerfall zu 60
28Ni. Der angeregte Tochterkern strahlt γ-Strahlung
in Form einer Kaskade zweier γ-Quanten mit Energien von 1173 keV und 1332
keV ab.
Trifft ein γ-Quant auf Materie, so tritt es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit mit
dieser in Wechselwirkung. Die Wechselwirkung ist im Wesentlichen durch drei vorherr-
schende Prozesse dominiert, den Photoeffekt, der Compton-Streuung und der Paarbil-
dung. All diese Prozesse führen zur vollständigen oder teilweisen Übertragung der Energie
der γ-Strahlung auf Elektronen.
60 Ni

4
Compton-Effekt
Wird ein γ-Quant an einem geladenen Teilchen, zum Beispiel einem Elektron gestreut,
so wird aufgrund der Energieerhaltung ein Teil der kinetischen Energie des γ-Quants auf
das Elektron übertragen. Dadurch erhöht sich seine Wellenlänge um
∆λ = h
(1 − cos Θ). (2.3)
mc
Dabei bezeichnet Θ den Streuwinkel. Dieser Prozess wird als Compton-Effekt bezeichnet.
Der Wirkungsquerschnitt der Compton-Steuung ist proportional zur Kernladungszahl Z.
Paarbildung
Unter der Paarbildung versteht man die Erzeugung eines Teilchen-Antiteilchen-Paares
aus einem γ-Quant. Die Energie des Photons muss dabei mindestens der Summe der
Ruhemassen der beiden erzeugten Teilchen entsprechen. Aufgrund von Energie- und Im-
pulserhaltung ist dies nur bei Anwesenheit eines Kernes möglich, so dass zusätzlich die
Rückstoßenergie auf den Kern betrachtet werden muss. Für die Bildung eines e − e + -Paares
muss das γ-Quant also eine Mindestenergie von
Eγ = 2mec 2
1 + me
M
(2.4)
tragen, wobei M die Masse des Kerns ist. Wird die Rückstoßenergie vernachlässigt, so
beträgt die Mindestenergie, die das Photon zur Bildung eines e − e + -Paares benötigt, 1022
keV. Der Wirkungsquerschnitt für die Annihilation des so erzeugten Positrons mit ei-
nem Elektron ist am größten, wenn das Positron fast völlig abgebremst ist, so dass als
Folge der Paarbildung zwei γ-Quanten mit einer Energie von 511 keV mit antiparalleler
Bewegungsrichtung erzeugt werden. Verlässt eines oder beide dieser Teilchen das Detek-
tormaterial undetektiert, so ist dies als Single oder Double Escape Peak im Spektrum
sichtbar. Bei der Paarbildung ist der Wirkungsquerschnitt proportional zu Z 2 . Er steigt
zusätzlich stark mit der Photonenenergie an; ab einer Energie von etwa 5 bis 10 MeV
dominiert die Paarbildung die anderen Wechselwirkungsprozesse [3].
Photoeffekt
Trifft ein γ-Quant auf ein Atomelektron, so ionisiert es dieses und überträgt seine gesamte
Energie auf das Photoelektron (Photoeffekt). Für γ-Strahlung genügend hoher Energie
stammt das Photoelektron bevorzugt aus der am stärksten gebundenen K-Schale. Das
Photoelektron trägt nach der Ionisation eine Energie von
Ee− = hν − Eb
(2.5)

wobei Eb die Bindungsenergie des Elektrons bezeichnet. Für γ-Strahlung niedriger Energie
ist der photoelektrische Effekt der vorherrschende Prozess, der Wirkungsquerschnitt ist
proportional zu E −3
γ . Zudem steigt der Wirkungsquerschnitt mit der vierten bzw. fünften
Potenz der Kernladungszahl Z, je nach Energie der γ-Strahlung [3].
Diese Wechselwirkungen beeinflussen die Intensität der γ-Strahlung gemäß des Lambert-
Beer-Gesetzes
I(x) = I0 exp(−µx) (2.6)
wobei I0 die Intensität des einfallenden Strahls, x die Dicke des Absorbers und µ der
Absorptionskoeffizient des Materials ist. Die Energie der Photonen, die das Material wie-
der verlassen, bleibt hingegen erhalten, anders als beispielsweise beim Durchgang von
α-Strahlung durch Materie.
2.2 HPGe-Detektoren, Signalerzeugung
Aufgrund ihres sehr guten Energieauflösungsvermögens haben sich für die hochauflösen-
de γ-Spektroskopie vornehmlich Germaniumdetektoren etabliert. Das Grundmodell eines
Germaniumdetektors, insbesondere das eines HPGe-Detektors (High Purity Germanium
Detector) ist eine in Sperrrichtung betriebene Halbleiterdiode mit einer hochohmigen
Sperrschicht. Trifft im ladungsträgerverarmten Bereich des Kristalls ein γ-Quant auf das
Halbleitermaterial, so kommt es durch den Photoeffekt zur Bildung eines Elektron-Loch-
Paares und zur Anhebung des Elektrons vom Valenz- ins Leitungsband. Aufgrund der
hohen Energie des γ-Quants, verglichen mit der Bandlücke, erhält das Elektron eine hohe
kinetische Energie, so dass es viele weitere Elektron-Loch-Paare erzeugt. Die Anzahl der
Elektron-Loch-Paare ist in sehr guter Näherung proportional zur Energie des γ-Quants.
Damit die erzeugten Elektron-Loch-Paare nicht wieder rekombinieren, wird ein äußeres
elektrisches Feld von typischerweise einigen 100 V/mm 2 an die Halbleiterdiode angelegt.
Die Diode wird in Sperrrichtung betrieben. Somit wandern die positiven Ladungsträger
in Richtung des p-dotierten und die negativen Ladungsträger in Richtung des n-dotierten
Bereichs. Die Ladungsträger induzieren beim Driften eine zusätzliche, messbare Spannung
an den Kontakten der Diode [4].
Die gute Energieauflösung des Germaniumdetektors rührt von der relativ kleinen
Bandlücke von 0,665 eV her [3]. Aufgrund dieser können durch thermische Anregung
gemäß der Boltzmann-Verteilung Elektronen leicht vom Valenz- ins Leitungsband ange-
hoben werden. Dieses thermische Rauschen kann minimiert werden, indem der Detektor-
kristall gekühlt wird. Die Kühlung erfolgt mit flüssigem Stickstoff, der eine Temperatur
von etwa 77 K besitzt. Der Stickstoff befindet sich in einem so genannten Dewar, der in
thermischem Kontakt mit dem Detektor steht.
Bei dem Detektor, der für Messungen dieser Arbeit verwendet wird, handelt es sich um
5

6
einen koaxialen GMX Series Gamma-X R○ HPGe-Detektor. Der Kristall besitzt einen
Durchmesser von 51,6 mm und eine Länge von 55,0 mm. Das Datenblatt des Detektors
gibt eine gemessene FWHM von 1,78 keV bei 1332 keV bei einer Shaping Time von 6 µs
an. Diese Messung wurde im Jahr 1988 durchgeführt.
Wird vom Detektormaterial ein γ-Quant der Energie Eγ absorbiert, so wird eine zu
dieser Energie proportionale Ladung Qx = Eγ
ε freigesetzt. ε ist eine Materialkonstante. In
einem ladungssensitiven Vorverstärker wird durch einen Kondensator der Kapazität C,
dem ein Widerstand R parallel geschaltet ist, die Ladung Q aufsummiert und eine Span-
nung V = Q
C
= Eγ
εC
erzeugt [3, 5, 6]. Diese Spannung ist also proportional zur integrierten
Ladung, zumindest so lange, wie der Anstieg des Signals schnell gegenüber der Zeitkon-
stante τ = RC ist. Somit erhält man ein Spannungssignal, dessen Amplitude proportional
zu der im Detektor deponierten Energie eines γ-Quants ist.
2.3 Energieauflösung
Die Energieauflösung ∆Etotal eines Germaniumdetektors setzt sich im Wesentlichen aus
statistischen Fluktuationen der Ladungsträger, unvollständiger Ladungssammlung und
elektronischem Rauschen zusammen [7, 3]:
∆E 2 total = ∆E 2 stat + ∆E 2 charge + ∆E 2 electr.
(2.7)
Die Energieauflösung wird in dieser Arbeit, so wie in der Literatur üblich, als Halbwerts-
breite (Full Width At Half Maximum) FWHM angegeben. Der Zusammenhang zwischen
FWHM und Standardabweichung σ der Gaußverteilung lautet
FWHM = 2, 35 · σ. (2.8)
Wenn von einem wechselwirkenden γ-Quant im Durchschnitt N Ladungsträger erzeugt
werden und dieser Prozess als Poisson-verteilt angenommen wird, so wird die intrinsische
statistische Fluktuation der Ladungsträger durch √ N charakterisiert. Es zeigt sich jedoch,
dass die Formationen der Ladungsträger von der Poisson-Statistik abweichen, also nicht
unabhängig voneinander sind. Dieser Tatsache wird durch den so genannten Fano-Faktor
F Rechnung getragen. Er ist der Quotient aus der beobachteten Varianz von N und der
Varianz der Poisson-Verteilung. Da die Antwort eines HPGe-Detektors auf ein eintreffen-
des γ-Quant in guter Näherung proportional zur Anzahl der erzeugten Ladungsträger ist,
gilt für die Energie E = KN, wobei K der Proportionalitätsfaktor ist [3, 6]. Die minimale
Energieauflösung ∆Emin aufgrund von statistischen Prozessen lässt sich daher schreiben

als
∆Emin,P oisson = FWHM
E
= 2, 35K√ N √ F
KN
7
= 2, 35√ F
√ N . (2.9)
In der Praxis wird die Energieauflösung durch zahlreiche Effekte beeinträchtigt. Den
größten negativen Einfluss auf die Energieauflösung hat bei großen Detektoren die unvoll-
ständige Ladungssammlung. Diese kann jedoch durch Verstärkung des angelegten elektri-
schen Feldes verringert werden. Elektronisches Rauschen kann durch digitale Datenver-
arbeitung deutlich reduziert werden [8], da das digitalisierte Vorverstärkersignal keinen
thermischen Schwankungen mehr unterliegt.
Ein weiterer Effekt, der sich negativ auf die Energieauflösung auswirkt, ist der so genannte
Ballistic Deficit. Normalerweise entspricht die Dauer für den Anstieg eines Vorverstärker-
Signals der Zeit für die Ladungssammlung des Detektors. Damit der Pulsformungsprozess
die Amplitude des Vorverstärker-Signals nicht beeinträchtigt, muss die Shaping Time groß
gegenüber der Dauer der Anstiegsflanke des Signals sein. Nun kann die Shaping Time nicht
beliebig groß gewählt werden, da dies mit einer hohen Totzeit korreliert (vgl. Abschnitt
2.4). Dadurch kann es dazu kommen, dass die Pulshöhe durch die Pulsformung niedri-
ger ist, als sie es mit einer unendlich großen Shaping Time wäre. Diese Verringerung der
Amplitude durch den Pulsformungsprozess wird Ballistic Deficit genannt [3, 9]. Je größer
das Volumen des Detektors, desto stärker variiert die Zeit für die Ladungssammlung, da
die γ-Quanten an unterschiedlichen Stellen im Detektor eintreffen und somit die ange-
regten Elektronen unterschiedlich lange Strecke zu den Elektroden zurück legen müssen.
Für großvolumige Detektoren ist also der Ballistic Deficit ein nicht zu vernachlässigender
Faktor, der die Energieauflösung reduziert.
Schließlich verfälschen so genannte Neutronenschäden die Messung. Treten Neutronen mit
dem Detektorkristall in Wechselwirkung, so können sie die Gitterstruktur des Kristalls ge-
ringfügig verändern. Dies führt durch die Bildung eines linken Tails zu einer Abweichung
der spektroskopierten Energie-Peaks von der Gauß-Form, also zu einer größeren FWHM.
2.4 Totzeit
Bei der Analyse von Detektorsignalen muss beachtet werden, dass sowohl Mess- als auch
Auswertungssystem eine gewisse Zeitauflösung besitzen, nach dem Eintreffen eines Er-
eignisses also eine gewisse Zeit ˆτ vergeht, bis das System ein weiteres Signal verarbeiten
kann. Diese Totzeit ˆτ setzt sich aus der limitierten Zeitauflösung des Detektors und der
verarbeitenden Elektronik zusammen. In analogen Hauptverstärkern wird ein Kondensa-
tor durch einen Spannungsimpuls geladen. Die Kondensatorspannung wird in konstanten
Zeitintervallen abgetastet, bis sie auf Null abgesunken ist. Dadurch ist die Dauer für die
Entladung proportional zur Spannungsamplitude des Signals [3, 9]. Während dieser Zeit,
der Shaping Time - typischerweise einige µs - ist das System nicht empfänglich für ein

8
neues Signal, wodurch sich eine hohe Totzeit ergibt. Digitale Systeme reduzieren diese
Totzeit deutlich [5, 10]. Auf diesen Aspekt wird im nächsten Abschnitt eingegangen.
Mit Hilfe der Intervallverteilung, der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die zeitlichen Ab-
stände zweier Ereignisse, lässt sich aus der gemessenen Zählrate zg die wahre Zählrate zw
bestimmen: Da im Totzeitintervall keine Ereignisse registriert werden, verfälscht sich die
Zählrate zu
zw =
zg
. (2.10)
1 − ˆτzg
Daraus wird ersichtlich, dass aus einer größeren Shaping Time, welche mit einer größere
Totzeit korreliert, die gemessene Zählrate deutlich von der wahren abweicht. Für eine
Shaping Time von beispielsweise 35 µs bei einer gemessenen Zählrate von 16 kHz beträgt
die wahre Zählrate etwa 36,4 kHz, es wird also nur etwa die Hälfte der stattgefundenen
Ereignisse registriert.
2.5 Digitale Elektronik
Bei der digitalen Datenverarbeitung wird das Signal direkt nach Durchlaufen des Vor-
verstärkers digitalisiert, um anschließend entweder online, also in Echtzeit oder offline
am Computer ausgewertet werden zu können. Für die Digitalisierung wird das Vorver-
stärkersignal mit einer bestimmten Frequenz abgetastet und der jeweilige Spannungswert
gespeichert, das Signal wird also in der Zeit diskretisiert. Für die digitale Datenaufnahme
wurde der Digitalisierer DGF-4C (Revision E) der Firma XIA verwendet. Im Folgenden
wird kurz der grundlegende Aufbau dieses Moduls erläutern.
2.5.1 Nyquist-Filter
Bevor der Analog/Digital-Wandler (ADC) die Signale digitalisiert, werden durch einen
speziellen Filter die hochfrequenten Anteile des Signals entfernt. Dies ist essentiell, da
ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal mit einer Frequenz größer als der doppelten
Maximalfrequenz des Signals abgetastet werden muss, damit aus dem zeitdiskreten Signal
das Ursprungssignal beliebig genau approximiert werden kann:
fabtast > 2fmax
(2.11)
Dies geht aus dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem hervor. Wenn nun allerdings hochfre-
quente Schwingungen das Signal überlagern, ist diese Bedingung nicht mehr gegeben und
es können Artefakte, auch Alias-Signale genannt, auftreten [11]. Daher werden in einem
so genannten Nyquist-Filter, einem analogen Tiefpass, die hochfrequenten Signalanteile
herausgefiltert. Die Abtastfrequenz wird dann so abgestimmt, dass die Nyquist-Bedingung
erfüllt ist.

2.5.2 Pipeline-ADC
Die Digitalisierung der Signale erfolgt durch einen Pipeline-ADC, den AD6644 Ana-
log/Digital-Wandler der Firma Analog Devices [13]. Dieser erreicht durch das mehrfache
Durchlaufen von Flash-ADCs eine deutlich höhere Genauigkeit als ein Flash-ADC bei ver-
gleichbaren Sampling-Raten. Ein Flash-ADC, auch Parallel-Umsetzer genannt, benutzt
eine Reihe von Komparatoren, jeder von ihnen mit einer Referenzspannung versorgt. Das
analoge Signal wird nun mit Hilfe eines Spannungsteilers gleichzeitig von allen Kompara-
toren mit Referenzgrößen verglichen. Wenn die Eingangsspannung die jeweilige Schwelle
des Komparators übersteigt, so wird vom Encoder ein logisches Signal gesetzt. Für ein n-
bit Signal sind 2 n − 1 Komparatoren, für ein 14-bit Flash-ADC also 16383 Komparatoren
nötig. Trotz ihrer hohen Sampling-Rate im MHz- bis GHz-Bereich können Flash-ADCs
daher nur eine vergleichsweise geringe Genauigkeit von bis zu 6 bit, also 64 Kanälen, lie-
fern.
Der Pipeline-ADC durchläuft drei Flash-ADCs. In jeder Stufe wird durch einen Flash-
ADC mit einer Genauigkeit von 5 bit eine grobe Quantifizierung vorgenommen, dieser
Wert durch einen Digital-Analog-Wandler (DAC) wieder in ein analoges Signal umgesetzt
und von dem Eingangssignal abgezogen. Die Differenz zwischen der Eingangsspannung
und der DAC-Spannung, Residuum-Spannung genannt, wird dann an die nächste Stufe
weitergeleitet und von einem weiteren Flash-ADC mit Referenzspannungen verglichen.
Die nächste Stufe ist durch einem Taktgeber mit der vorigen Stufe synchronisiert: Sobald
das erste Signal in die zweite Stufe gelangt, wird in der ersten Stufe das nächste Signal
verarbeitet [12]. Der Pipeline-ADC ist also einmalig mit einer so genannten Latenzzeit
verzögert, operiert aber genau so schnell wie ein Flash-ADC. Die Geschwindigkeit des
Wechsels der Stufe ergibt die Samplingrate des ADCs. Diese beträgt bei dem verwen-
deten ADC 65 MHz. Die digitalen Outputs der einzelnen ADCs werden kombiniert und
ergeben einen endgültigen digitalen Code [3, 13]. Abb. 2.2 zeigt das Blockdiagramm des
vom DGF-4C verwendeten ADCs.
Ein großer Vorteil des Pipeline-ADCs ist die deutliche Reduktion von Komparatoren.
Beispielsweise benötigt ein 14 bit Pipeline-ADC mit zwei Flash-Stufen nur 2 7 −1+2 7 −1 =
254 statt 2 14 − 1 = 16383 Komparatoren, die bei einem Flash-ADC nötig wären. Durch
diese Pipeline-Methode erreicht der Analog/Digital-Wandler des DGF-4C (Revision E)
eine Genauigkeit von 14 bit bei einer Sampling-Rate von bis zu 65 MHz [13].
2.5.3 Real-Time Processing Unit (RTPU)
Die Real-Time Processing Unit (RTPU) ist das Herzstück des Digitalisierers. In dieser
wird die Filterung der Signale und die Pile-up-Erkennung durchgeführt. Die Daten der
digitalisierten Signale werden kontinuierlich in einen FIFO-Puffer (First In - First Out)
9

10
Abbildung 2.2: Blockdiagramm des ADCs. Das analoge Input-Signal wird von einem “Trackand-Hold”
(TH1) von einem 5 bit ADC digitalisiert (ADC1) und das digitalisierte
Signal von einem 5 bit DAC in ein analoges Signal umgewandelt
(DAC1). Der Output von DAC1 wird von der verzögerten Eingangsspannung
(TH3) abgezogen. Diese Residuum-Spannung wird an die zweite Stufe weitergegeben
(ADC2, DAC2 und TH4). Die Spannung, die TH5 erhält, ist die zweite
Residuum-Spannung und wird durch einen letzten 6 bit ADC digitalisiert. Die
digitalen Outputs der drei ADCs werden addiert und liefern nach dem Durchlaufen
einer Fehler-Korrektur-Logik das Ausgangssignal. Bild entnommen aus
[13].
geschrieben, der über einen Speicherplatz von 100 µs verfügt [14]. Die digitalisierten Signa-
le durchlaufen einen Field Programmable Gate Array (FPGA), einen programmierbaren
Schaltkreis, welcher in Echtzeit digitale Filter auf das Signal anwendet. Zunächst wird
hier die Baseline auf Null gesetzt und anschließend die Pulsform bearbeitet. Statt ein
semi-gaußförmiges Signal zu formen, so wie bei analogen Filtern, ist der vom DGF-4C
verwendete Filter ein Trapezfilter, welcher in Abschnitt 2.6.1 genauer erläutert wird. Des
Weiteren ist die RTPU in der Lage, Pile-up zu erkennen: Wenn ein zweiter Puls dem
vorherigen zu dicht folgt, so dass die Höhe des ersten Pulses nicht mehr korrekt bestimmt
werden kann, so werden beide Signale verworfen. Darauf wird in Abschnitt 2.6.2 einge-
gangen. Erst nachdem ein Puls die Pile-up-Untersuchung bestanden hat, wird ein Trigger
erzeugt.
Wenn ein Trigger erzeugt wird, stoppt der FIFO-Puffer die Speicherung und das Signal,
das den Trigger ausgelöst hat wird aus dem Puffer geschrieben. Dabei wird der Daten-
punkt, der zuerst im Puffer gespeichert wurde auch zuerst wieder ausgelesen (FIFO-
Prinzip).
2.5.4 Digital Signal Processor (DSP)
Ein Digital Signal Processor (DSP) liest anschließend die Daten der RTPU aus, sobald ein
Trigger auf ein Ereignis gesetzt wurde und schreibt diese in einen Speicher. Der DSP erhält
also eine deutlich reduzierte Datenmenge, aus der er dann die gewünschten Informatio-

nen - Pulshöhe, Pulsform oder Zeitpunkt - rekonstruiert. Darin liegt einer der wichtigsten
Unterschiede zu analogen Systemen: Dort wird ein Kondensator so lange geladen, bis das
Signal seine maximale Amplitude erreicht hat. Anschließend entlädt sich der Kondensa-
tor linear und ein (Wilkinson-) ADC zählt mit einem Taktgeber die Zeiteinheiten, die das
Signal zum Abklingen benötigt. Denn diese Zeit ist aufgrund des linearen Abfalls propor-
tional zur Pulshöhe. Während dieser Zeit, die typischerweise im Mikrosekunden-Bereich
liegt, ist das System nicht empfänglich für ein neues Signal.
Im DGF-4C werden von der RTPU die (bereits digitalen) Trapezhöhen gespeichert und
nur vom DSP ausgelesen, wenn ein Signal eingetroffen ist. Der DSP bestimmt dann die
Energie des Signals und erzeugt ein Spektrum. Dies muss nicht in Echtzeit erfolgen, da
die RTPU fast ohne Unterbrechung mit der Auslese der Signale fortfahren kann und ge-
triggerte Signale so lange speichert, bis der DSP bereit ist, ein neues Signal zu verarbeiten.
Dadurch ist die Totzeit des Systems deutlich reduziert, was prinzipiell die Verarbeitung
von höheren Zählraten im Vergleich zu analoger Elektronik ermöglicht. In dieser Tatsache
liegt ein wesentlicher Vorteil digitaler Systeme begründet.
Abschließend gelangen die Daten an ein CAMAC-Interface, das die Schnittstelle zu einem
Computer darstellt. Abb. 2.3 zeigt ein Bild des DGF-4C-Moduls mit Beschriftung der
wichtigsten Elemente.
2.6 Digitale Filter und Pile-up Unterdrückung
2.6.1 Trapezförmiger Filter
In diesem Abschnitt wird vorgestellt, wie die Software des DGF-4C digitale Filter für
Halbleiter-Detektoren realisiert. Wie bereits erläutert, ist die im Detektor erzeugte Span-
nung proportional zu der im Detektor deponierten Energie des eingetroffenen γ-Quants.
Es ist also das Ziel, einen möglichst genauen Wert für die Höhe des Signals zu erhalten,
um ein Energiespektrum mit optimalem Signal/Rausch-Verhältnis zu erzeugen.
Vom Standpunkt des Signal/Rausch-Verhältnisses allein gibt es im Prinzip einen optima-
len Wert für die Shaping Time. In der Praxis müssen zusätzliche Forderungen wie eine
gute Auflösung auch bei hohen Zählraten an die Auswertungselektronik gestellt werden,
so dass die Shaping Time kürzer gewählt werden muss, als sie idealerweise wäre [15, 16].
11

12
Abbildung 2.3: Seitenansicht des DGF-4C (Rev. E). Beschriftet sind die wichtigsten Bestandteile
des Digitalisierers. Das Modul verfügt über vier Kanäle, die simultan die
Signale von vier Detektoren verarbeiten können.
Betrachtet man nach einem sprunghaften Anstieg die abfallende Flanke des Signals in
einem genügend kleinen Zeitabschnitt, kann sie als konstant angenommen werden. Eine
Art, die Höhe des Signals zu erhalten, ist, den Durchschnitt der Datenpunkte vor dem
Sprung von dem Durchschnitt der Datenpunkte nach dem Sprung abzuziehen. Es können
zusätzlich Gewichtungsfaktoren Wi verwendet werden, um die Art des Durchschnitts zu
verändern. Dadurch ergibt sich für ein Signal x die normierte Spannung Vx,k am Punkt k
auf folgende Weise:
Vx,k =
i(nachher)
WiVi −
i(vorher)
WiVi. (2.12)
Wenn die i(nachher) lückenlos an die i(vorher) anschließen, entspricht Gl. (2.12) der
Faltung zweier Rechteckfunktionen, welche die Dreieckfunktion ergibt [17]. Wird zusätz-
lich die endliche Dauer der Anstiegsflanke berücksichtigt, so erhält man ein trapezförmiges
Ausgangssignal.
Werden für Datenpunkte nahe dem Sprung größere Gewichtungsfaktoren als für weiter

entfernte verwendet, so erhält man ein so genanntes “cusp-like” Signal 1 [5]. Dabei wird die
Tatsache ausgenutzt, dass die Datenpunkte nahe dem Sprung mehr Informationen tragen
als weiter entfernte Punkte. Wird zudem die Länge, über die gemittelt wird jeweils auf den
Abstand zwischen zwei Pulsen gesetzt, statt sie konstant zu halten, wird ein zeitabhängi-
ger Filter erzeugt. Mit diesem wird das beste Signal/Rausch-Verhältnis erreicht [18, 3, 15].
Solch ein Verfahren ist aber sehr aufwendig und aufgrund der begrenzen Rechenleistung
kaum in Echtzeit realisierbar. Mit analoger Technik ist dieses Verfahren nicht möglich, da
die Shaping Time, welche der Länge, über die gemittelt wird, entspricht, konstant ist.
Das Modul DGF-4C verwendet einen etwas modifizierten Ansatz, da es für die Ope-
ration mit hohen Geschwindigkeiten optimiert ist. Hierbei werden die Wi gleich 1 gesetzt.
Wenn G die Länge der Anstiegsflanke ist, wird für jedes Signal x ein Trapez auf folgende
Weise berechnet [5]:
LVx,k =
k
i=k−L+1
Vi −
k−L−G
i=k−2L−G+1
Vi
13
(2.13)
Der Faktor L resultiert aus der Mittelwertbildung und k ist ein Index. Gl. (2.13) stellt
für den Fall weißen, also gaußverteilten Rauschens die optimale Pulsform für HPGe-
Detektoren dar, wenn neben der Optimierung des Signal/Rausch-Verhältnisses ebenfalls
die Operation bei hohen Zählraten erreicht werden soll [19]. Gl. (2.13) gibt also unter
diesen Bedingungen den besten Schätzer für die Pulshöhe. Da trapezförmige Filter von
analoger Elektronik nicht realisiert werden können [20], ist die digitale Pulsfilterung in
der Theorie der analogen Filterung überlegen.
Die Anwendung eines solchen Filters auf das Signal eines γ-Quants ergibt ein Trapez
mit Anstiegs- und Abfallzeit L, Plateau G und somit einer Länge von 2L + G [1]. Dies ist
in Abbildung 2.4 zu erkennen.
2.6.2 Pile-up-Erkennung
Finden zwei Ereignisse in einem zu kurzen Zeitintervall statt, können diese nicht mehr
getrennt verarbeitet werden und es kommt zu Pile-up [3]. Der nächste Puls wird dann
erzeugt, bevor der vorige wieder auf die Baseline abgefallen ist. Somit entspricht die Höhe
des zweiten Pulses nicht mehr der Energie des Teilchens, das den Puls ausgelöst hat. Bei
hohen Zählraten steigt die Wahrscheinlichkeit, dass Pulse aufstocken, drastisch an; fast
simultan zu einem Ereignis tritt ein nächstes auf. Es ist schwierig, aus Pile-up-Ereignissen
die nötigen Energieinformationen der jeweiligen Signale zu ziehen, so dass diese Ereignisse
in der Regel verworfen werden. Andernfalls können Artefakte wie Summationspeaks und
1 Als “cusp-like” wird eine Funktion mit einer nicht stetig differenzierbaren Ableitung bezeichnet. Die
Funktionen (c) und (f) in Abb. 5.1 sind Beispiele für cusp-like-Funktionen.

14
Abbildung 2.4: Unverarbeitetes Signal und das Ergebnis des Trapezfilters auf das Signal.
Die Länge L, über die dieDatenpunkte berücksichtigt wurden, entspricht der
Anstiegs- und der Abfallflanke des Trapezes. Die Anstiegsflanke G des Signals
entspricht der Länge des Plateaus. Bild entnommen aus [5].
erhöhte Untergrund-Anteile entstehen.
Ein neuartiges digitales Verfahrens [21] macht sich zunutze, dass bei stabilen Pulsen der
durch Pile-up erzeugte Fehler der Pulsamplitude vollständig durch die Amplituden und
Zeitstempel der benachbarten Pulse bestimmt ist. Durch die so genannte First Neighbour
Approximation (FNA) lassen sich bei einer Zählrate bis zu (2τ) −1 die Pulsamplituden
rekonstruieren.
Im Rahmen dieser Arbeit kann keine Rekonstruktion von Pile-up-Signalen vorgenommen
werden. Sobald ein Signal das vorige überlagert, werden beide Ereignisse verworfen.
Um Pile-up zu erkennen, erzeugt der DGF-4C neben dem langsamen Filter für die
Energiebestimmung einen schnellen Filter, der die Ankunft eines Signals erkennt. Dieser
erzeugt ein trapezförmiges Signal mit einer typischen Länge von 0,1 µs. Die Länge des
langsamen Filters beträgt etwa 1.2 µs 2 . Übersteigt die Höhe des schnellen Filters eine
gewisse Schwelle, so wird ein Trigger erzeugt und ein langsamer Trapezfilter gestartet
[16]. Dies hat einen entscheidenden Vorteil: Da die Anstiegszeit des schnellen Filters kurz
gegenüber der Signallänge ist, tritt bei ihm in der Regel kein Pile-up auf. Es kann somit
Pile-up im langsamen Kanal erkannt werden, indem ein gewisser Mindestabstand zwischen
zwei schnellen Filtern gefordert wird. Dies wird durch Abb. 2.5 verdeutlicht. Dort ist eine
2 Diese Werte können manuell eingestellt werden, siehe dazu Abschnitt 3.2.

Sequenz aus drei Pulsen und die Antwort des langsamen und schnellen Filters dargestellt.
Zwischen Signal 1 und 2 liegt genügend Zeit, so dass der langsame Filter ein Trapez
erzeugen kann. Die Signale 2 und 3 liegen so dicht beieinander, dass der langsame Filter
keine voneinander getrennten Trapeze erzeugen kann. Der schnelle Filter vermag es, dieses
Pile-up zu erkennen, und es werden auf die Signale 2 und 3 keine Trigger gesetzt.
Abbildung 2.5: Pile-up-Erkennung des DGF-4C. Es ist eine Sequenz aus drei Pulsen und die
Antwort des langsamen und schnellen Filters dargestellt. Bild entnommen aus
[5].
15

3 Datenaufnahme
3.1 Aufnahme von Spektren mit analoger Technik
Ziel dieses Abschnittes ist es, die Energieauflösung mit der analogen Technik zu unter-
suchen. Dies ist essentiell, um eine Aussage über die Güte des digitalen Auswertungsver-
fahrens treffen zu können. Um die optimale Energieauflösung zu erhalten, wurden drei
Parameter variiert: Der Verstärkungsfaktor des Hauptverstärkers (Gain), die Zeitkon-
stante (Shaping Time) τ und die Zählrate. Letztere wurde durch verschiedene Abstände
zwischen Quelle und Detektor variiert.
Der verwendete lineare Hauptverstärker ist der “671 Spectroscopy Amplifier” der
Firma Ortec [22]. Bei diesem lässt sich sowohl ein semi-gaußförmiger als auch ein dreiecki-
ger Filter einstellen. Es wurde ein semi-gaußförmiger Filter gewählt. Des Weiteren lässt
sich die Zeitkonstante (Shaping Time) und die Verstärkung (Gain) einstellen. Die Verstär-
kung ist durch eine Kombination aus einem groben und einem feinen Verstärkungsfaktor
regelbar; das Produkt aus beiden ergibt die gesamte Verstärkung. Die Erzeugung der
Energiespektren aus den bearbeiteten Signalen erfolgt mit einem Multi-Channel-Analyser
(MCA), der von der Elektronik-Abteilung des Instituts gefertigt wurde.
Auf die genaue Funktionsweise der analogen Elektronik kann im Rahmen dieser Arbeit
nicht weiter eingegangen werden. Für Informationen zu dem Thema sei auf [3] und [9]
verwiesen.
Zunächst wird die Abhängigkeit der FWHM von der Zählrate untersucht. Bei einem
Verstärkungsfaktor von 7,5 und einer Zeitkonstanten von 6 µs wird die Zählrate durch
Veränderung des Abstandes d zwischen Quelle und Detektor variiert. Wie in Tabelle 3.1
zu erkennen ist, ist in dem untersuchten Bereich bis zu 10,5 kHz die Auflösung nahezu
unabhängig von der Zählrate. Der Einfluss der Zählrate auf die Energieauflösung ist daher
vernachlässigbar.
Um die FWHM auch für höhere Zählraten zu untersuchen, wird zusätzlich zur 60 Co-
Quelle eine 56 Co-Quelle vor dem Detektor positioniert. Bei allen Spektren ab einer Zähl-
rate von etwa 12 kHz treten Artefakte auf. Zu jedem Peak tritt jeweils in einem festen
Abstand vom Peak bei niedrigeren Energien eine neue Linie auf. Abb. 3.1 zeigt ein nor-
males Spektrum von 60 Co und 56 Co bei einer gemessenen Zählrate von 10,1 kHz (rot) und
ein Spektrum bei einer Zählrate von 16 kHz (grün). Beide Spektren sind, abgesehen von
einem unterschiedlichen Abstand zwischen Quelle und Detektor, unter gleichen Bedingun-
gen durchgeführt. Für verschiedene Verstärkungsfaktoren verändert sich dieser Abstand.
Eine Erklärung für dieses Phänomen kann nach jetzigem Stand nicht gegeben werden;
dessen Analyse ist nicht Gegenstand dieser Arbeit. Vermutlich sind diese Artefakte auf
17

18
d [cm] Zählrate [kHz] FWHM [keV]
1 10,50 2,177(11)
2 8,09 2,132(12)
3 6,07 2,090(13)
4 5,12 2,057(11)
5 4,13 2,041(11)
6 3,37 2,076(11)
7 3,02 1,913(10)
8 1,98 2,132(12)
10 1,70 2,060(12)
15 0,99 2,030(14)
Tabelle 3.1: Messung der Auflösung in Abhängigkeit der Zählrate (durch Variation des Abstandes
d zwischen Quelle und Detektor) bei einer Verstärkung von 7,5 und einer Shaping
Time von 6 µs. Die Angabe der FWHM bezieht sich auf die 1332 keV-Linie
von 60 Co.
elektronische Weise durch den Vorverstärker verursacht.
Anzahl
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Kanalzahl [Skt.]
Abbildung 3.1: Spektren von 60 Co und 56 Co bei einer gemessenen Zählrate von 10,1 kHz (rot)
und 16,0 kHz (grün). Das Auftreten zusätzlicher Linien bei einer höheren Zählrate
ist deutlich zu erkennen.
Es werden anschließend für eine 60 Co-Quelle Spektren bei verschiedenen Werten der
oben genannten Parameter aufgenommen und die FWHM bestimmt. Die Ergebnisse der

Messungen sind in Tabelle 3.2 aufgelistet. Im oberen Teil der Tabelle ist zu erkennen, dass
die beste Auflösung bei einer Zeitkonstante von 6 µs erreicht wird. Daher wird anschlie-
ßend für eine feste Zeitkonstante von 6 µs die Verstärkung variiert. Das beste Resultat,
eine FWHM der 1332 keV-Linie von 1,867(9) keV wird mit einem Verstärkungsfaktor von
30,0 erreicht.
Ab einem Verstärkungsfaktor von etwa 35 werden die Spektren fehlerhaft; es tritt nur
noch ein bzw. gar kein Full-Energy-Peak auf. Wenn das Produkt aus Amplitude des
Vorverstärker-Signals und Verstärkung des Hauptverstärkers einen vom Hauptverstärker
abhängigen Schwellenwert übersteigt, der Verstärker also gesättigt ist, wird die Pulshöhe
nicht mehr korrekt dargestellt. Die sonst gaußförmigen Pulse erhalten ein Plateau bei der
Amplitude, ab der die Sättigung des Verstärkers eintritt. Dieses Phänomen wird Clipping
genannt. Somit verliert der Verstärker seine Linearität und die Energien der γ-Quanten
werden nicht korrekt wiedergegeben.
Verstärkung Shaping Time [µs] FWHM [keV]
11,2 0,5 5,331(28)
11,2 1 2,922(16)
11,2 2 2,150(11)
11,2 3 2,137(11)
11,2 6 1,888(8)
11,2 10 1,925(9)
2,5 6 2,514(11)
4,0 6 2,112(12)
5,0 6 2,101(11)
5,5 6 2,037(11)
5,6 6 2,006(10)
6,5 6 2,030(10)
7,5 6 1,913(10)
22,4 6 1,879(6)
25,0 6 1,882(10)
30,0 6 1,867(9)
31,0 6 1,972(10)
40 6 -
56 6 -
Tabelle 3.2: Messung der Auf lösung in Abhängigkeit von Shaping Time und Verstärkung bei
einer Zählrate von ca. 3,2 kHz. Die Angabe der FWHM bezieht sich auf die 1332
keV-Linie von 60 Co.
19

20
3.2 Aufnahme von Spektren mit dem DGF-4C
In diesem Abschnitt wird untersucht, ob mit dem von XIA implementierten Trapezfil-
ter, der in Abschnitt 2.6.1 beschrieben wurde, vergleichbare oder gar bessere Energie-
auflösungen erreicht werden können als mit der analogen Methode. Dazu wird das Modul
DGF-4C im MCA-Modus (Multi Channel Analyzer) betrieben. In diesem Modus spei-
chert der DSP nicht die gesamten Datenmengen, sondern berechnet online die Energien
der einzelnen Signale, um daraus ein Energiespektrum zu erzeugen. Eine solche Messung
kann mit dem Befehl mb_mca gestartet werden.
Mit dem Befehl mb_dgf_config lässt sich eine graphische Oberfläche öffnen, mit der sich
diverse Parameter für die Datenaufnahme einstellen lassen. Für die Energieauflösung sind
folgende Parameter relevant: die Zeitkonstante τ, die Anstiegsdauer des Trapezes tp (slow
filter peaking time) und die Länge des Plateaus tg (slow filter gap time) [5, 16].
Im Rahmen dieser Arbeit wird untersucht, wie sich die Wahl der oben genannten Pa-
rameter auf die Energieauflösung auswirkt. Dazu wird das Programm mb_scan_tau.c
verwendet und so modifiziert, dass eine automatisierte Datenaufnahme Spektren in Ab-
hängigkeit von τ, tp und tg aufnimmt. Das Ausleseprogramm wird für die Variation von
tg mit der Syntax ./mb_scan_tau < tau-anfang tau-step tau-ende gap-anfang gap-step
gap-ende > und analog, durch leichte Modifikation des Programms, für die slow filter
peaking time aufgerufen. Dadurch werden Start- und Endwert sowie Intervall von τ und
tg bzw. tp definiert. Die Eichung der so erzeugten Spektren wird mit dem Programm tv
und einem Skript, das die Eichungen automatisiert, durchgeführt.
Das Ergebnis der Messungen bei Variation von τ und tg ist in Abb. 3.2 zu sehen. Es ist tg
gegen τ aufgetragen. Die Farbe als dritte Dimension zeigt die dadurch erreichte Auflösung
FWHM in keV, bezogen auf die 1332 keV-Linie von 60 Co. Man kann erkennen, dass sich
die Auflösung mit größerem τ verbessert, jedoch weitestgehend unabhängig von tg ist. Die
leichten Unterschiede in der Auflösung bei festem τ sind auf statistische Fluktuationen
zurückzuführen.
In Abb. 3.3 und 3.4 ist die FWHM in Abhängigkeit von τ und tp dargestellt. Die
peaking time tp ist laut DGF-Handbuch [5] der wichtigste Parameter zur Optimierung
der Energieauflösung. Wie in Abb. 3.3 zu erkennen ist, ist die Auflösung für tp < 12µs
deutlich schlechter (bis zu 6 keV) als für größere tp, von dort an aber relativ unabhängig
von tp. Diese Erkenntnis wird bestätigt von [16]. Wie ein kleinerer Ausschnitt von Abb.
3.3 zeigt (Abb. 3.4), wird die beste Auflösung für ein τ zwischen 57 und 58 µs erreicht.
Die beste Auflösung wird mit den Parametereinstellungen τ = 58, 0µs und tp = 15, 5µs
erreicht zu
FWHM = 1.948(33) keV

slow filter gap time tg [µs]
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
46 48 50 52 54
τ [µs]
2.8
2.75
2.7
2.65
2.6
2.55
2.5
2.45
2.4
2.35
2.3
Abbildung 3.2: FWHM (bezogen auf die 1332 keV-Linie von 60 Co) in Abhängigkeit von τ und
tg bei festem tp = 13µs. Die FWHM (in keV) ist als Farbe dargestellt und steigt
von dunkelblau nach gelb an.
Slow filter peaking time tp [µs]
24
22
20
18
16
14
12
10
50 52 54 56 58 60
τ [µs]
Abbildung 3.3: FWHM (bezogen auf die 1332 keV-Linie von 60 Co) in Abhängigkeit von τ und
tp bei festem tg = 1µs. Die FWHM (in keV) ist als Farbe dargestellt und steigt
von dunkelblau nach gelb an.
3.3 Aufnahme von Traces mit dem DGF-4C
Mit dem DGF-4C werden einzelne Signale im List Mode Run aufgenommen. Dabei wer-
den im Wesentlichen die getriggerten Signale des Vorverstärkers digitalisiert (vgl. Ab-
schnitt 2.5) und in eine Datei geschrieben. Weder Pile-up-Untersuchung noch Filterung
8
7
6
5
4
3
2
1
21

22
Slow filter peaking time tp [µs]
24
22
20
18
16
14
12
54 55 56 57 58 59 60
τ [µs]
Abbildung 3.4: Ausschnitt aus Abbildung 3.3.
des Signals werden vorgenommen. Wird von der RTPU ein Trigger auf ein Signal gesetzt,
werden aus dem FIFO-Puffer 4000 Datenpunkte geschrieben, und zwar so, dass etwa 300
Datenpunkte Untergrundrauschen aufgezeichnet werden, bevor ein Spannungsimpuls ein-
trifft. Eine Ansammlung von solchen zu einem Signal gehörenden Datenpunkten wird
Trace genannt. Ein Beispiel einer solchen Trace ist in Abb. 3.5 links zu erkennen. Die
Abbildung zeigt den Verlauf der Spannung U des Vorverstärkers mit der Zeit t. Beide
Größen werden im Folgenden in Skalenteilen (Skt.) angegeben, wobei die Zeit in Einhei-
ten der Sampling-Periode gemessen wird. Da der ADC eine Sampling-Frequenz von 40
MHz besitzt, entspricht eine Trace mit 4000 Datenpunkten einer Zeit von 100 µs. Die
Anstiegsflanke eines Signals beträgt mit ca. 6 Datenpunkten einer Zeit von etwa 150 ns.
Die Dauer der Anstiegsflanke variiert von Signal zu Signal leicht.
Die Messungen werden mit einer 56 Co zusammen mit einer 60 Co-Quelle durchgeführt. Die
stärksten Linien von 56 Co liegen bei 847 keV und 1238 keV [2]. Im Folgenden beziehen
sich die Angaben der FWHM auf diese beiden Linien.
In Abb. 3.5 (links) ist zu erkennen, dass das Signal nach dem Anstieg zunächst steil
abfällt, bevor sich ein langsamer exponentieller Abfall einstellt. Dieser sogenannte Over-
shoot ist ein Artefakt des Vorverstärkers und verfälscht die Amplitude des Signals, so dass
der lineare Zusammenhang zwischen Pulshöhe und der von einem γ-Quant im Detektor
deponierten Energie nicht mehr gewährleistet ist.
Im rechten Bild von Abb. 3.5 sind drei verschiedene Traces abgebildet, zwei Traces
mit je einem Signal und eine Trace mit zwei dicht aufeinander folgenden Signalen, die
vom Auswertungssystem als ein Signal behandelt werden (Pile-up).
3
2.9
2.8
2.7
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2
1.9

U [Skt.]
2500
2000
1500
1000
500
0
Signal
-500
0 500 1000 1500 2000
t [Skt.]
2500 3000 3500 4000
U [Skt.]
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
−5000
0 500 1000 1500 2000
t [Skt.]
2500 3000 3500 4000
Abbildung 3.5: Digitalisierte Vorverstärkersignale. Die Baseline ist auf Null gesetzt. Links:
eine Trace. Rechts: Zwei Signale mit unterschiedlicher Spannungsamplitude
sowie zwei dicht aufeinanderfolgende Signal, die vom System als ein Signal
behandelt werden (Pile-up).
Ziel der Auswertung der Traces ist es, wie bereits erwähnt, die Amplitude jedes Signals so
zu bestimmen, dass sie möglichst genau der im Halbleiterdetektor freigesetzten Ladung
und somit der Energie des jeweiligen γ-Quants entspricht.
Die gesampelten Datenpunkte werden in eine Datei geschrieben, wobei alle Daten-
punkte einer Trace in eine Zeile geschrieben werden. Diese Textdatei wird zunächst aus
Geschwindigkeitsgründen mit dem Programm traces2bin in Binärformat konvertiert und
die Länge, also die Anzahl der Datenpunkte der jeweiligen Trace, ermittelt. Diese wird
im Folgenden mit n bezeichnet. Die Daten werden für jede Trace in ein Feld (engl. Array)
geschrieben. Mit Hilfe eines Feldes können Daten eines Datentyps geordnet im Speicher
des Computers abgelegt werden, so dass jeder Datenpunkt über einen Index i ansprechbar
ist [23]. Der Inhalt des i-ten Elements des Feldes wird im Folgenden mit buf[i] bezeich-
net. Die Zählung beginnt bei Null, das heißt, auf das erste Element wird mit dem Index
0 zugegriffen. Das erste Element des Feldes (buf[0]) enthält den Text aabbccdd. Dies
dient zur Überprüfung der korrekten Umwandlung in das Binärformat. Im zweiten Ele-
ment (buf[1]) steht die Länge des Feldes, n + 2. Das dritte Element (buf[2]) gibt die
Spannung des Signals zur Zeit t = 0 und buf[i] die Spannung zur Zeit t = i + 2 an.
23

4 Algorithmen zur Pulshöhenanalyse
4.1 Allgemeines Verfahren
In Abschnitt 3.2 wurden im Echtzeit-Modus Spektren mit Hilfe des von XIA implemen-
tierten Trapez-Algorithmus’ erzeugt und die daraus resultierende Energieauflösung un-
tersucht. Die beste FWHM, die damit erreicht werden konnte, betrug 1,945(33) keV bei
einer Energie von 1332 keV. Da die Inkrementierung des Spektrums online erfolgt, ist der
dabei verwendete Trapez-Filter relativ simpler Natur (vgl. Abschnitt 2.6).
Es soll nun mit verschiedenen Ansätzen untersucht werden, ob sich die Energieauflösung
verbessern lässt, wenn die Vorverstärker-Signale digitalisiert, gespeichert und offline digi-
tale Filter auf die Signale angewendet werden. Dadurch werden auch rechenzeit-intensivere
Algorithmen realisierbar. Natürlich muss es das Ziel jeder digitalen Verarbeitungsmethode
sein, auch in Echtzeit betrieben werden zu können. Im Rahmen dieser Arbeit soll jedoch
die prinzipielle Realisierbarkeit und Qualität bezüglich der Energieauflösung untersucht
werden. Die dazu verwendeten Algorithmen werden in C++ implementiert.
Listing 1 in Anhang A.1 zeigt das Grundgerüst für die Programme, die in den folgenden
Abschnitten präsentiert werden.
Aufgrund der Eigenschaften des Vorverstärkers ist das Signal zu höheren Spannungen
hin verschoben. Daher muss zu Beginn der Analyse einer Trace die Baseline auf Null ge-
setzt werden. Dazu wird von den ersten 200 Datenpunkten das arithmetische Mittel gebil-
det und von jedem Datenpunkt dieser Mittelwert subtrahiert: buf[i] = buf[i] - mean.
Dies ist gerechtfertigt, weil angenommen werden kann, dass das Untergrundrauschen weiß,
also gaußverteilt ist. Es ist auch möglich, den Untergrund nicht als konstant anzunehmen,
sondern für ihn eine Funktion z(x) = a3+b3x anzusetzen und dann von jedem Datenpunkt
die Funktion an dieser Stelle zu subtrahieren. Eine Analyse hat jedoch gezeigt, dass dies
deutlich schlechtere Energieauflösungen liefert.
Der nächste Schritt ist die Pile-up-Unterdrückung. Für die Verwerfung von Pile-up-
behafteten Traces werden zunächst Anfangs- und Endpunkt der Anstiegsflanke, α und β
genannt, berechnet. Da für alle Traces die Anstiegsflanke bei etwa i = 300 beginnt, wird
in diesem Bereich überprüft, ob die Differenz zweier benachbarter Punkte einen gewissen
Schwellenwert übersteigt. Für den ersten Punkt i, für den dies zutrifft wird alpha=i
gesetzt. Analog wird das Ende der Anstiegsflanke bestimmt:
1 int alpha = 0 , beta = 0 ;
2 f o r ( i = 2 0 0 ; i < 4 0 0 ; i ++){
3 int d i f f 2 = buf [ i +1] − buf [ i ] ;
4 // Wenn d i e D i f f e r e n z z w i s c h e n einem Punkt und dem Nächsten g r ö ß e r a l s 100 i s t ,
5 // s e t z t e d i e s e n Punkt a l s alpha und beende d i e S c h l e i f e
6 i f ( d i f f 2 > 100){
7 alpha = i ;
25

26
8 break ;
9 }
10 }
11 f o r ( i = alpha ; i < alpha +100; i ++){
12 int d i f f 3 = buf [ i +1] − buf [ i ] ;
13 // Wenn d i e D i f f e r e n z z w i s c h e n einem Punkt und dem Nächsten k l e i n e r a l s 100 i s t ,
14 // s e t z t e d i e s e n Punkt a l s beta und beende d i e S c h l e i f e .
15 // Dadurch wird der Endpunkt der A n s t i e g s f l a n k e e r k a n n t .
16 i f ( d i f f 3 < 100){
17 beta = i ;
18 break ;
19 }
20 }
Das Verwerfen von Signalen mit Pile-up kann nun durch eine einfache Methode rea-
lisiert werden. Das Eintreffen eines plötzlichen Anstiegs der Datenpunkte in einer Trace
wird durch die Punkte alpha und beta gekennzeichnet. Durch die Forderung, dass nach
Zeitpunkt beta die Differenz zweier Punkte einen vom Benutzer festgelegten Schwel-
lenwert nicht überschreitet, kann Pile-up erkannt werden. Um Traces, in denen Pile-up
auftritt, zu verwerfen, kann von einer Booleschen Variablen 3 Gebrauch gemacht werden.
Diese wird pileup genannt und kann die Werte true und false annehmen. Zu Beginn
des Programms wird sie auf false gesetzt und die Auswertung der Daten einer Trace nur
fortgesetzt, wenn pileup==false erfüllt ist. Wird durch die beschriebene Routine Pile-up
erkannt, wird pileup=true gesetzt, diese Trace also nicht weiter bearbeitet:
1 bool p i l e u p = f a l s e ;
2 int d i f f , int n=4000; // n = Länge der Trace
3 double beta ; // Endpunkt der A n s t i e g s f l a n k e
4 f o r ( i = beta ; i < n ; i ++) {
5 d i f f = ( buf [ i +1] − buf [ i ] ) ;
6 // Wenn h i n t e r der e r s t e n A n s t i e g s f l a n k e e i n e w e i t e r e e i n t r i t t , s e t z e p i l e u p=t r u e
7 i f ( d i f f > 100){
8 p i l e u p = true ;
9 break ;
10 }
11 }
12 // Nur wenn p i l e u p==f a l s e , f a h r e mit der V e r a r b e i t u n g f o r t
13 i f ( p i l e u p == f a l s e ){
14 // H i e r f o l g t d i e V e r a r b e i t u n g der Traces
15 }
Neben dem Auftreten von zwei Signalen in einer Trace kommt es vor, dass in einer
Trace ein Signal beginnt, obwohl das vorige Signal noch nicht auf die Baseline abgefallen
ist. Dies macht sich über eine nicht-konstante Baseline bemerkbar. Um dies zu verhindern,
kann gefordert werden, dass die Baseline, welche durch Mittelwertbildung bestimmt wur-
de, eine gewisse Standardabweichung des Mittelwerts nicht überschreiten darf. Des Wei-
teren kommt es gelegentlich vor, dass ein Signal zunächst abfällt und anschließend wieder
leicht ansteigt. Da solche Signale keinen exponentiellen Abfall über die gesamte Abstiegs-
flanke zeigen, werden solche Traces ebenfalls verworfen. Die letzte Art unerwünschter
Signale sind solche, die unter die Baseline abfallen. Diese Verwerfungsmethoden werden
folgendermaßen durchgeführt:
1 double sd = 0 ; // s t a n d a r d d e v i a t i o n
2 f o r ( i = 0 ; i

3 sd = sd + pow ( 1 . ∗ ( buf [ i ] ) − mean , 2 ) ; // Berechne d i e Standardabweichung der Punkte b i s i=alpha
4 }
5 sd = s q r t ( sd / ( alpha − 1 ) ) ;
6 i f ( sd > 45) p i l e u p = true ; // Verwerfe S i g n a l e , d i e e i n e n i c h t −k o n s t a n t e B a s e l i n e b e s i t z e n
7 i f ( buf [ 1 0 0 0 ] < buf [ 3 0 0 0 ] ) p i l e u p=true ; // Verwerfe S i g n a l e , d i e mit d er Z e i t w i e d e r a n s t e i g e n
8 i f ( 1 . ∗ buf [ 3 9 0 0 ] − mean < 0) p i l e u p=true ; // Verwerfe S i g n a l e , d i e u n t e r N u l l a b f a l l e n
9 // Zur b e s s e r e n Ü b e r s i c h t wurde auch h i e r d i e b o o l s c h e V a r i a b l e " p i l e u p " verwendet ,
10 // auch wenn e s s i c h n i c h t um P i l e −up h a n d e l t .
Es muss darauf hingewiesen werden, dass die verwendeten Zahlenwerte meiner Mes-
sung angepasst sind. Für andere Messungen müssen diese gegebenenfalls verändert wer-
den.
Nach diesen Schritten kann nun mit verschiedenen Methoden die Höhe der Signale be-
stimmt werden. Diese Methoden werden in den folgenden Abschnitten erläutert.
4.2 Flächen-Methode
Diese erste einfache Methode macht sich zu Nutze, dass die Fläche unter dem Signal pro-
portional zu der von einem γ-Quant im Detektor deponierten Energie ist. Nachdem die
Baseline auf Null gesetzt und Pile-up-Ereignisse aussortiert wurden, werden vom Start-
punkt der Anstiegsflanke α an alle buf[i] summiert:
1 double sum = 0 . 0 ;
2 f o r ( i = alpha ; i < n ; i ++){
3 sum = sum + buf [ i ] ; // Berechne d i e Summe der Datenpunkte
4 }
5 sum = sum / 1 0 0 0 0 ; // T e i l e d i e Summe durch 10000 ( w i c h t i g f ü r w e i t e r e V e r a r b e i t u n g der Ausgabe )
6 p r i n t f ( "\% l f \n" , sum ) ; // Ausgabe von sum
Wie aus der Ausgabe ein Spektrum erstellt wird, ist in Anhang A.3 erläutert.
Mit diesem Verfahren wird lediglich eine FWHM von 3,87(11) keV bei einer Energie
von 846,7 keV erreicht. Die Auflösung lässt sich geringfügig verbessern, wenn die Daten-
punkte nicht bis zum Ende einer Trace sondern nur bis etwa i = 2500 addiert werden.
Damit kann eine FWHM von 3,03(12) keV bei einer Energie von 846,7 keV und 3,57(18)
keV bei einer Energie von 1238 keV erreicht werden. Eine genauere Untersuchung der
FWHM in Abhängigkeit der Anzahl der Datenpunkte, welche zur Berechnung benutzt
werden, wird in den nächsten Abschnitten vorgenommen.
Ein mögliche Grund für die nicht zufrieden stellende Auflösung kann nicht-gaußverteiltes
Rauschen sein, welches die Fläche unter dem Signal verfälscht. Außerdem fallen die Signale
nicht bis auf Null ab, sondern sind verkürzt. Dadurch kann ebenfalls die Energieinforma-
tion des Signals verfälscht werden.
4.3 Schnittpunkt-Methode
In den folgenden drei Ansätzen wird die Amplitude P des Signals gesucht, die die Energie
des jeweiligen γ-Quants am besten repräsentiert, so dass eine möglichst geringe FWHM
und ein möglichst gutes Signal-Rausch-Verhältnis erreicht wird. Dies ist keine triviale
27

28
Aufgabe, denn es muss berücksichtigt werden, dass der Overshoot als Artefakt des Vor-
verstärkers die Amplitude des Signals zu größeren Werten hin verfälscht.
Die erste hier untersuchte Möglichkeit ist es, Kurven durch die Anstiegs- und Ab-
stiegsflanke zu fitten und deren Schnittpunkt zu berechnen. Zunächst wird durch linea-
re Regression eine Gerade durch den Anstiegsflanke gefittet. Dadurch wird der nicht-
verschwindenden Dauer der Ladungssammlung im Detektor Rechnung getragen. Sei
g(x) = a2 + b2x der erwartete lineare Zusammenhang, dem die Messpunkte des ansteigen-
den Astes folgen. Die Regressionsgerade berechnet sich allgemein durch die Minimierung
der Residuen (Methode der kleinsten Fehlerquadrate):
Q(a, b) =
n
yi − g(x) 2 =
i=1
n
(yi − axi − b) 2 = minimal (4.1)
Es muss also Q(a, b) partiell nach a und b abgeleitet und gleich Null gesetzt werden.
Daraus ergibt sich
und
b =
i=1
a = ¯y − b¯x (4.2)
1 n
n i=1 xiyi − ¯x¯y
s2 , (4.3)
x
wobei ¯x der Mittelwert der xi, ¯y der Mittelwert der yi und s 2 x die Standardabweichung
bezeichnet [17].
Die Abstiegsflanke, die in guter Näherung exponentiell ist, wird in der Nähe der An-
stiegsflanke durch Logarithmieren linearisiert und analog zu oben eine Regressionsgerade
berechnet (vgl. Listing 3 in Anhang A.4). Indem als Startpunkt für die Regressionsge-
rade der Abstiegsflanke der Punkt β + 20 gewählt wird, trägt der Overshoot nicht zur
Berechnung der Fitfunktion bei (Abb. 4.1).
Die y-Koordinate des Schnittpunkts der beiden Regressionsgeraden wird als Maß für
die wahre Höhe des Signals betrachtet. Diese ergibt sich zu y = a1eb1x a1−a2
mit x = . In
b2−a1b1
Listing 3 in Anhang A ist der Programmcode für die konkrete Berechnung der Regressi-
onsfunktionen dargestellt.
Die Energieauflösung, die mit dieser Methode erreicht wird, beträgt 2,384(78) keV für
die 847 keV-Linie und 2,18(10) keV für die 1238 keV-Linie.
Es wird nun untersucht, ob die FWHM verbessert werden kann, wenn für die Regres-
sionsfunktion der Abstiegsflanke nicht die gesamte Trace, sondern ein kleinerer Bereich
verwendet wird. Denn wie in Abbildung 4.1 erkennbar, stimmt der Fit über die Daten-
punkte der Abstiegsflanke zum Ende der Trace hin immer weniger mit dem Verlauf der
Datenpunkte überein.

U [Skt.]
2000
1500
1000
500
0
Trace
f(x)
g(x)
0 500 1000 1500 2000
t [Skt.]
2500 3000 3500 4000
Abbildung 4.1: Ein Signal mit Regressionsgerade g(x) durch die Anstiegsflanke und Regressionsfunktion
f(x) = a1e b1x durch die Abstiegsflanke. Die Fitparameter wurden
vom Programm berechnet. Gegen Ende der Trace weicht die Abstiegsflanke
leicht vom exponentiellen Verlauf ab.
Mit h sei im Folgenden die Länge des Signals bezeichnet, die zur Berechnung der Fitfunk-
tion verwendet wird. Es werden nun zu einer groben Orientierung für fünf verschiedene h
Spektren aufgenommen und die Abhängigkeit der FWHM von h untersucht. Außerdem
wird die Laufzeit des Programms, die User Time, untersucht (Tabelle 4.1).
h [Skt.] FWHM(847 keV) [keV] FWHM(1238 keV) [keV] User Time [s]
4000 2,384(78) 2,18(10) 12,009
2500 2,274(61) 2,37(10) 8,009
1500 2,098(63) 2,441(96) 5,044
1000 2,070(73) 2,33(10) 2,924
800 2,261(70) 2,653(82) 2,256
Tabelle 4.1: Messung der Auf lösung und der Programm-Laufzeit (User Time) in Abhängigkeit
von h für die Methode des Schnittpunkts der Regressionsgeraden.
Die Auflösung lässt sich offensichtlich verbessern, wenn weniger Datenpunkte für die
Berechnung der Regressionsfunktion verwendet werden. Bei einer Länge h = 1000 lässt
sich eine FWHM von 2,070(73) keV bei einer Energie von 847 keV erreichen. Wird h zu
klein, verschlechtert sich die Auflösung wieder. Dies ist bei h = 800 zu sehen.
Dass sich die Auflösung für kleineres h verbessert, hat zwei entscheidende Vorteile. Zum
einen verringert sich die Laufzeit des Programms deutlich. Diese Erkenntnis ist funda-
mental für eine mögliche Realisierung der Programme in Echtzeit. Zum anderen wird
eine höhere gemessene Zählrate erreicht: Tritt hinter dem Punkt h Pile-up auf, so muss
nicht die gesamte Trace verworfen werden, sondern lediglich die Ereignisse, die hinter dem
29

30
U [Skt.]
A1
A2
α x0 β
t [Skt.]
Signal
f(x)
g(x)
Baseline
Abbildung 4.2: Ausschnitt des ansteigenden Bereichs einer Trace. Eingezeichnet sind neben
den Datenpunkten die Baseline (Mittelwert), g(x) für die Anstiegsflanke und
f(x) für die Abstiegsflanke sowie die hypothetische unendlich steile Anstiegsflanke
im Punkt x0. Der rechte Teil des Bildes zeigt einen Ausschnitt der Fläche
A2. Diese setzt sich aus zwei rechtwinkligen Dreiecken A2,1 und A2,2 zusammen.
Punkt h auftreten. Des Weiteren ist es durch diese Tatsache im Prinzip möglich, kürzere
Traces aufzunehmen und somit einen höheren Durchlass, also weniger Traces mit Pile-up
zu erhalten.
Es sei darauf hingewiesen, dass bei der Implementierung der Algorithmen kein Augen-
merk auf die Optimierung der Laufzeit gelegt wurde. Die Laufzeit der Programme lässt
sich sicherlich noch verkürzen.
Eine tiefer gehende Untersuchung der Abhängigkeit der FWHM, der Laufzeit und der
gemessenen Zählrate von h wird für die nächsten beiden Methoden vorgenommen.
4.4 Flächenabgleich-Methode
Der Ansatz der folgenden beiden Methoden verwendet die Annahme, dass die Ladungs-
sammlung im Detektormaterial augenblicklich geschieht, also keine Zeit zwischen dem
Energieübertrag des γ-Quants und der Sammlung der Ladungsträger an den Dioden des
Halbleiters vergeht. Dies impliziert eine unendlich steile Anstiegsflanke, so dass das Signal
im Punkt x0 einen Sprung hat.
Wenn α den Anfangs- und β den Endpunkt der Anstiegsflanke bezeichnet, sollte die
Lage x0 der vertikalen Flanke zwischen α und β liegen. Dies ist in Abbildung 4.2 illustriert.
Die vertikale Flanke schneidet dann in genau einem Punkt x0 die linear ansteigende
Flanke g(x). Somit definiert die Vertikale zwei Flächen: A1, die von der Baseline, g(x)
x0
A2,2
A2,1

und x0 begrenzt wird und A2, die von x0, g(x) und f(x) begrenzt wird. Wenn man
die Gleichheit dieser beiden Flächen fordert, erhält man für jede Trace eine eindeutige
Bedingung für die Lage von x0. Der Funktionswert von f(x) an der Stelle x0 ist dann die
gesuchte Höhe des Signals.
Das rechtwinklige Dreieck A1 lässt sich aus geometrischen Gründen durch
A1 = 1
x0 − α g(x0) − g(α)
2
31
(4.4)
definieren. Um die Fläche A2 zu berechnen wird die Exponentialfunktion f(x) im relevan-
ten Bereich linearisiert. Dies ist weniger rechenzeit-intensiv und scheint in Hinblick auf
die Exponentialfunktion in Abb. 4.2 durchaus berechtigt. Außerdem ist eine lineare Funk-
tion analytisch lösbar. Die Fläche A2 setzt sich dann aus zwei rechtwinkligen Dreiecken
zusammen, die sich in folgender Weise ausdrücken lassen:
A2,1 = 1
β − x0 g(β) − g(x0)
2
A2,2 = 1
β − x0 g(P ) − g(β)
2
(4.5)
(4.6)
Wird nun A1 = A2,1 +A2,2 gesetzt, erhält man eine quadratische Gleichung, deren positive
Lösung in f(x) eingesetzt wird. Die Lage des Schnittpunkts der Regressionsfunktionen sei
mit Qx bezeichnet. Dann lässt sich der Punkt Py folgendermaßen berechnen:
1 // F l a e c h e n a b g l e i c h −Methode
2 double x0 , P ; // P i s t der F u n k t i onswert von f ( x ) an der S t e l l e x0
3 // F i t f u n k t i o n e n : f ( t )=a1 ∗ exp ( b1∗ t ) , g ( t )=a2+b2∗ t ( v g l . L i s t i n g 3 i n Anhang A. 4 )
4 // Durch den F l ä c h e n a b g l e i c h e r g i b t s i c h e i n e q u a d r a t i s c h e Gleichung der Form ax^2 + bx + c
5 double a = a1 ∗b1 ;
6 double b = 2∗ a2 − Qx∗ a1 ∗b1 + Qx∗b2 + a1 − a2 ;
7 double c = a2 ∗ a2 /b2 − a1 ∗Qx + a2 ∗Qx ;
8 // Lösung der q u a d r a t i s c h e n Gleichung
9 x0 = (−b + s q r t ( b∗b−4∗a∗ c ) ) / ( 2 ∗ a ) ;
10 P = a1 ∗ exp ( b1∗x0 ) ;
11 p r i n t f ( "%l f \n" ,P ) ;
Die Implementierung dieses Verfahrens liefert für h = 4000 (komplette Trace) eine
FWHM von 2,304(97) keV bei einer Energie von 1238 keV.
In Tabelle 4.2 ist die FWHM in Abhängigkeit der Länge h aufgelistet. Wie erkennbar, kann
die Energieauflösung durch Verringerung von h deutlich verbessert werden. Offensichtlich
wird durch ein geringeres h der Fit der Abstiegsflanke im relevanten Bereich nahe der
Anstiegsflanke verbessert. Wird h zu klein, verschlechtert sich die Auflösung wieder.
4.5 Regressions-Methode
Wenn die Ladungssammlung ohne Zeitverzögerung geschieht, die Anstiegsflanke also un-
endlich steil ist, lässt sich das Signal über folgende abschnittsweise definierte Funktion

32
h [Skt.] FWHM(847 keV) [keV] FWHM(1238 keV) [keV]
4000 2,212(69) 2,304(97)
2500 2,103(48) 2,230(77)
2000 1,998(46) 2,235(94)
1600 2,058(53) 2,190(87)
1500 1,939(65) 2,116(94)
1400 1,914(65) 2,15(10)
1000 1,953(69) 2,165(94)
800 2,102(67) 2,360(78)
Tabelle 4.2: Energieauflösung der beiden intensivsten Linien von 56 Co in Abhängigkeit der Länge
h der Trace für die Flächenabgleich-Methode.
beschreiben:
⎧
⎪⎨
0 , t < 0
ν(t) = z(t) = a3 + b3t
⎪⎩
, 0 ≤ t < x0
f(t) = a1e −t/τ , t ≥ x0
(4.7)
Die Datenpunkte streuen gaußverteilt um die Funktionswerte. Für die Funktionen z(t) und
f(t) sind also wie oben die besten Schätzer für die Parameter über eine Regressionsanalyse
zu ermitteln.
Wie im letzten Abschnitt gesehen, ergibt die lineare Regression für die Anstiegsflanke eine
Funktion g(t) mit endlicher Steigung b2. Wird ein Sprung im Signal ν(t) am Punkt x0
gefordert, so muss die Funktion g(t) im Intervall [α, x0] der Baseline z(t) und im Intervall
[x0, β] der Exponentialfunktion f(t) entsprechen (vgl. Abb. 4.2). Anders ausgedrückt ist
z(t) die Hypothese für g(t) im Intervall [α, x0] und f(t) die Hypothese für g(t) im Intervall
[x0, β]. Durch die Methode der kleinsten Fehlerquadrate lässt sich die Bedingung an den
Sprung bei x0 wie folgt schreiben:
Q(x0) =
x0
α
2 β
g(t) − z(t) dt +
x0
2 g(t) − f(t) dt = minimal (4.8)
Die Integrale entsprechen den kontinuierlichen Summen der Fehlerquadrate. Es muss nun
also Q(x0) nach x0 abgeleitet und gleich Null gesetzt werden. Weil
folgt also
x
d
u(x
dx a
′ )dx ′
= u(x), (4.9)
2
2 g(x0) − z(x0) − g(x0) − f(x0) = 0. (4.10)

Dies ergibt eine quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx + c. Die Berechnung der Pa-
rameter a, b und c sind im Code des Programms area-hist.cpp in Anhang A.5 zu finden.
Um die optimale Energieauflösung bei diesem Verfahren zu ermitteln, berechnet das
Programm für verschiedene h den Punkt x0 und es werden FWHM, Laufzeit des Pro-
gramms und Anzahl der verworfenen Traces ermittelt. Die folgenden Abbildungen stellen
diese Abhängigkeiten graphisch dar. Wie in Abb. 4.3 erkennbar, gibt es für die FWHM
beider untersuchten 56 Co-Linien ein Minimum in dem Bereich um h = 1500. Für größere
h bleibt die FWHM im Rahmen der Messgenauigkeit konstant.
Der linke Plot in Abb. 4.4 zeigt den linearen Zusammenhang zwischen der Laufzeit des
Programms (User Time) und der Anzahl der berücksichtigten Datenpunkte h. Der rechte
Plot zeigt die Abhängigkeit der Anzahl aussortierter Traces von h. Auch hier besteht ein
linearer Zusammenhang.
FWHM(847keV) [keV]
2.4
2.3
2.2
2.1
2
1.9
1.8
1.7
1000 1500 2000 2500
h [Skt.]
3000 3500 4000
FWHM(1238keV) [keV]
2.4
2.3
2.2
2.1
2
1.9
1.8
33
1.7
1000 1500 2000 2500
h [Skt.]
3000 3500 4000
Abbildung 4.3: FWHM in Abhängigkeit von h für die Regressionsmethode. Der linke Plot bezieht
sich auf die 847 keV-Linie, der rechte Plot auf die 1238 keV-Linie. In
beiden Plots erkennt man ein Minimum im Bereich h = 2000.
Indem nur die ersten 1500 statt 4000 Datenpunkte einer Trace für die Fitfunktionen
verwendet werden, lässt sich also die FWHM um bis zu 0,4 keV verbessern und außerdem
sowohl die Laufzeit des Programms als auch die Anzahl verworfener Traces halbieren.
Dynamische Regressionsmethode
Statt durch den gesamten ansteigenden Ast eine Gerade g(x) zu fitten, wird nun dy-
namisch durch je zwei benachbarte Punkte i und i + 1 eine Gerade gelegt. Dadurch
verschwindet der Fehler, der durch die Regressionsrechnung der Anstiegsflanke zustande
kommt. So wie bei dem letzten Verfahren genau ein Punkt x0 im Intervall [α, β] gefunden
wurde, der die Bedingung (4.8) erfüllt, sollte es nun genau ein Punkt in genau einem
Intervall [i, i + 1] mit i ∈ [α, β] geben, für den die Bedingung (4.8) erfüllt wird. Mit die-
ser Methode sollte also bei Verringerung des Fehlers genau ein Punkt x0 für jede Trace

34
User Time [s]
14
12
10
8
6
Fitfunktion
1500 2000 2500 3000 3500 4000
h [Skt.]
Ereignisse mit Pile-up [%]
26
24
22
20
18
16
14
Fitfunktion
12
1500 2000 2500 3000 3500 4000
h [Skt.]
Abbildung 4.4: Abhängigkeit der Laufzeit von h (linker Plot) und der Anzahl aussortierter
Traces von h (rechter Plot).
gefunden werden.
Eine Implementierung dieses Verfahrens zeigt aber, dass nur für sehr hohe Signale, also
solche Signale, deren Anstiegsflanken eine große Steigung relativ zu niedrigen Signalen
besitzen, dieser Punkt x0 gefunden wird. Ein Vergleich mit anderen, geeichten Spektren
zeigt, dass nur Traces von Signalen, die einer Energie größer als etwa 1,5 MeV entspre-
chen, verarbeitet werden können. Hier wäre eine genauere Analyse von eventuellen Fehlern
durchzuführen, als dies im Rahmen dieser Arbeit geschehen kann.

5 Trapez-Algorithmus
Im letzten Teil meiner Auswertung soll die Trapezmethode, wie sie von Jordanov und
Knoll in ihrer Veröffentlichung [18] beschrieben ist, implementiert und untersucht werden.
Um diesen Algorithmus von den im Rahmen dieser Arbeit selbst entwickelten Algorith-
men abzusetzen, wird diesem Teil ein eigenes Kapitel gewidmet.
Ziel der Methode ist es, das exponentiell abklingende Signal so mit geeigneten Funk-
tionen zu falten, dass ein symmetrisches, trapezförmiges Signal erzeugt wird, dessen kon-
stantes Plateau leicht zu vermessen ist. Die Plateau-Höhe des Trapezes ist proportional
zu der im Detektor deponierten Energie.
5.1 Theorie
Betrachten wir ein bei t = 0 beginnendes, auf 1 normiertes Signal ν(t) mit unendlich
steiler Anstiegsflanke. Dieses lässt sich schreiben als
ν(t) =
0 , t < 0
e −t/τ , t ≥ 0
35
. (5.1)
Als Faltung zweier Funktionen bezeichnet man allgemein das Integral [17]
(f ∗ g)(t) =
t
0
f(t ′ )g(t − t ′ )dt ′ . (5.2)
Ein Beispiel für eine Faltung wurde bereits in Abschnitt 2.6.1 gegeben. Die Summe in Gl.
(2.12) entspricht der Faltung zweier Rechteckfunktionen, die eine Dreieckfunktion ergibt.
In diesem Kapitel soll nicht nur ein kleiner Bereich, sondern das gesamte exponentiell
abfallende Signal ν(t) per Faltung in ein trapezförmiges Ausgangssignal transformiert
werden. Zunächst wird diese Rechnung im kontinuierlichen Zeitbereich durchgeführt.
Dazu werden zwei Funktion betrachtet. Zum einen eine Stufenfunktion mit linearem
Anstieg der Form
⎧
⎪⎨ 0 , t < 0
h1(t) = t
⎪⎩
0
, 0 ≤ t ≤ T1
, t > T1
und zum anderen eine Stufenfunktion mit konstantem Plateau
⎧
⎪⎨ 0 , t < 0
h2(t) = 1
⎪⎩
0
, 0 ≤ t ≤ T2
, t > T2
(5.3)
. (5.4)

36
Die Faltung des Signals ν(t) mit h1(t) berechnet sich zu
r(t) = (ν ∗ h1)(t) =
r(t) =
T1
Die Faltung von ν(t) mit h2(t) ergibt
0
p(t) = (ν ∗ h2)(t) =
p(t) =
t
t
0
′ · e (t′ −t)/τ ′ 2
dt = τt − τ 1 − e −t/τ , 0 ≤ t ≤ T1
t ′ e (t′ −t)/τ dt ′ = τ · e −t/τ τ + e T1/τ (T1 − τ) , t > T1.
T2
t
Sowohl r(t) als auch p(t) verschwinden für t < 0.
0
0
1 · e −(t−t′ )/τ dt ′ = τ 1 − e −t/τ , 0 ≤ t ≤ T2
e (t′ −t)/τ dt ′ = τ · e −t/τ e T2/τ − 1 , t > T2.
(5.5)
(5.6)
Die Abbildung 5.1 zeigt das Ergebnis der Faltung des Signals ν(t) mit den Stufenfunktio-
nen h1(t) und h2(t).
Abbildung 5.1: Faltung des Signals ν(t) (a) mit der Stufenfunktion h1(t) (b) ergibt die Funktion
r(t) (c). Die Faltung des Signals mit der Rechteckfunktion h2(t) (e) ergibt die
Funktion p(t) (f). Bilder entnommen aus [18].
det:
Es wird nun folgende Linearkombination der Sprungfunktionen h1(t) und h2(t) gebil-
h(t) = h1(t) + τh2(t) + (T1 − τ) · h2(t − T1) − h1(t − T2) (5.7)

Es kann gezeigt werden, dass die Faltung von ν(t) mit h(t) ein symmetrisches Trapez
generiert. Für den Fall T1 = τ besitzt dieses eine Anstiegsdauer τ, eine Plateau-Dauer
∆T = T2 − T1 und eine Höhe τ 2 . Dies ist in Abbildung 5.2 verdeutlicht. Der Beweis
wird hier nicht durchgeführt, da dieser relativ aufwändig und wenig instruktiv ist. Der
interessierte Leser wird auf [18] verwiesen.
Abbildung 5.2: Faltung des Signals ν(t) (a) mit h(t) (b). Für T1 = τ ist das Ergebnis ein
symmetrisches Trapez mit Anstiegsdauer τ (c). Bild entnommen aus [18].
Da die Faltung dem Distributivgesetz folgt, lässt sich die Faltung von ν(t) mit h(t)
schreiben als
s(t) = ν(t) ∗ h(t)
= ν(t) ∗ h1(t) + ν(t) ∗ τh2(t) + ν(t) ∗ (T1 − τ) · h2(t − T1) − ν(t) ∗ h1(t − T2)
= r(t) + τp(t) + (T1 − τ) · p(t − T1) − r(t − T2).
5.2 Algorithmus
37
(5.8)
Für die Funktion s(t), die aus einem exponentiell abfallenden Signal ein symmetrisches
Trapez erzeugt, muss nun eine zeitdiskrete Formulierung gefunden werden, damit der
Trapezfilter implementiert werden kann. Bei dem Übergang von der kontinuierlichen zur
diskreten Schreibweise erfolgt eine Umbenennung der Variablen T1 und T2 zu k und l.

38
Die Funktion p(t) (Gl. (5.6)) und r(t) (Gl. (5.5)) lassen sich in der diskreten Zeitdomäne
schreiben als
und
r(n) =
p(n) =
n
ν(i) − ν(i − l) (5.9)
i=1
n
n
ν(j) − ν(j − k) − ν(i − k)k . (5.10)
i=0
j=0
Aus der diskreten Schreibweise lässt sich ein rekursiver Ausdruck finden:
p(n) = p(n − 1) + ν(n) − ν(n − l) , n ≥ 0 (5.11)
r(n) = r(n − 1) + p(n) − ν(n − k)k , n ≥ 0 (5.12)
Dabei bezeichnet ν(n) das Signal zur Zeit n und ν(n − l) ein um l verzögertes Signal.
Setzt man p(n) und r(n) in s(n) ein, so ergibt sich
s(n) =τν(n) − τν(n − l) − ν(n − k)k + (k − τ)ν(n − k)
− (k − τ)ν(n − k − l) + ν(n − k − l)k + r(n − 1)
+ p(n) + (k − τ)p(n − k − 1) − r(n − l − 1) − p(n − l).
(5.13)
Die ν-Terme, die den Faktor k enthalten, heben sich gegenseitig weg. Die restlichen ν-
Terme werden zu einer Funktion d k,l (n) zusammengefasst:
Anschließend wird benutzt, dass
d k,l (j) := ν(j) − ν(j − k) − ν(j − l) + ν(j − k − l) (5.14)
s(n − 1) = r(n − 1) − r(n − l − 1) + (k − τ)p(n − k − 1) + τp(n − 1). (5.15)
Der Term p(n) − p(n − l) lässt sich schreiben als p ′ (n − 1) + d k,l (n). Somit erhält man
folgenden rekursiven Ausdruck für die Trapezfunktion s(n)
mit
s(n) = s(n − 1) + τ · d k,l (n) + p ′ (n) , n ≥ 0 (5.16)
p ′ (n) = p ′ (n − 1) + d k,l (n) , n ≥ 0. (5.17)
Da eine rekursive Formel in der Regel sehr laufzeitintensiv ist, wird der Algorithmus
iterativ formuliert (vgl. Anhang A.6). Die iterative Formulierung führt zu einer drastischen
Verkürzung der Laufzeit, da das Programm bei jedem Schleifendurchlauf nur das vorherige
Element und nicht alle Elemente aufs Neue aufrufen muss.

5.3 Analyse
Test mit künstlichen Signalen
Um die Korrektheit der Implementierung zu überprüfen, wurde der Trapez-Algorithmus
auf eine generierte Exponentialfunktion der Form a1e −t/τ angewandt. In Anlehnung an
die Amplitude eines typischen Signals wurde ein Faktor a1 = 2200 gewählt. Zusätzlich
wurde k = 1800 und l = k + 400 gewählt. Für diesen Fall sollte ein symmetrisches Trapez
mit Anstiegs- und Abfallflanke der Länge k und Plateaulänge m = l − k erzeugt werden.
Zunächst wurde die τ-Abhängigkeit der Trapezform untersucht. Dabei wurde τ von 1 bis
2000 mit variablen Intervallen variiert.
Für τ < 100 liefert der Algorithmus symmetrische Trapeze. Für größere τ generiert
der digitale Filter keine Trapeze mehr. Das Plateau erhält eine Steigung und das gefilterte
Signal fällt nicht mehr auf Null ab (Abb. 5.3).
U [Skt.]
300
250
200
150
100
50
0
τ=10
τ=20
τ=30
τ=40
τ=50
τ=60
τ=100
τ=150
0 500 1000 1500 2000
t [Skt.]
2500 3000 3500 4000
Abbildung 5.3: Anwendung des Trapezfilters auf eine künstliche Trace mit einem Signal der
Form f(t) = 2200 · e −t/τ für verschiedene τ. Die Länge der Anstiegsflanke
des Trapezes ist k = 1800 und die Länge des Plateaus m = l − k = 400.
Für τ < 100 generiert der Algorithmus symmetrische Trapeze. Für größere τ
fächert sich das Trapez auf.
Dies bedeutet, dass mit dem Algorithmus kein Trapez für die aufgenommenen Traces
erzeugt werden kann, da deren τ in der Größenordnung 2000 liegt. Sollen für größere τ
39

40
Trapeze erzeugt werden, muss die Länge der Trace deutlich erhöht werden. Dementspre-
chend muss auch l = k + m vergrößert werden. Abb. 5.4 zeigt, wie die Länge der Trace
vergrößert werden müsste, um für größere τ Trapeze zu erhalten. Für τ = 2000 muss die
Trace bereits 20000 Einheiten lang sein. Dies ist extrem problematisch, da für solch lan-
ge Traces die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Pile-up drastisch zunimmt. Wie
in Abschnitt 3.2 gezeigt, wird mit dem DGF-Modul für eine Zeitkonstante τ = 58µs =
2320 Skt. die beste Energieauflösung erreicht. Es lässt sich also weder die Zeitkonstante
noch die Trace-Länge signifikant ändern, ohne entweder eine deutlich schlechtere Energie-
auflösung oder eine deutlich höhere Totzeit in Kauf nehmen zu müssen.
U [Skt.]
12000
10000
8000
6000
4000
2000
τ=2000
τ=1000
τ=100
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t [ 103 Skt.]
Abbildung 5.4: Trapezformen für drei verschiedene τ (künstliche Trace). Für größere τ müssen
längere Traces verwendet werden, damit ein Trapez erzeugt werden kann. Parameter:
Für τ = 100: k = 600, m = 2800. Für τ = 1000: k = 1800, m = 8400.
Für τ = 2000: k = 3000, m = 14000.
Dieses Problem kann umgangen werden, wenn die Plateau-Länge m deutlich erhöht
wird. Für τ = 2000, k = 2500 und m = 4000 wird eine Funktion generiert, die eine
Anstiegslänge von 2500 Einheiten besitzt und danach konstant bleibt, ohne wieder ab-
zufallen. Auch wenn auf diese Weise kein Trapez resultiert, kann das konstante Plateau
dieser Funktion als Maß für die Pulshöhe und somit für die Energie des Signal erzeu-
genden γ-Quants verwendet werden. Abb. 5.5 zeigt solche Funktionen für verschiedene τ.
Es ist erkennbar, dass Steigung und Plateau-Höhe proportional zu τ sind. In [18] wird
gezeigt, dass Anstieg und Plateau des verwendeten Trapezfilters tatsächlich proportio-
nal zu τ sind. Daher wird nun dieser “halbe Trapezfilter” auf die aufgenommenen Traces

angewandt.
U [Skt.]
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0 500 1000 1500 2000
t [Skt.]
2500 3000 3500 4000
Abbildung 5.5: Abhängigkeit der Plateau-Höhe von τ (künstliche Trace). Die Plateau-Höhe
nimmt proportional zu τ zu. Die Funktion mit der geringsten Steigung besitzt
τ = 1700, die mit der größten τ = 3000.
Anwendung auf den Datensatz
Die Definition der Funktionen erfolgt analog zu oben. In der Hauptroutine wird zunächst
die übliche Pile-up-Unterdrückung durchgeführt und die Baseline auf Null gesetzt (vgl.
Kapitel 4). Für eine Trace wird wie oben die Abhängigkeit der Plateau-Höhe von τ un-
tersucht (Abb. 5.6). Man erkennt, dass die Plateaus nicht mehr konstant sind. Lediglich
für τ = 2300 erhält man ein konstantes Plateau. Für τ < 2300 erhält das Plateau eine
positive, für τ > 2300 eine negative Steigung. Für sehr kleine τ ist die Anstiegsflanke
nicht mehr linear und es existiert kein ausgeprägtes Plateau.
Die Tatsache, dass τ bei einem gegebenen Signal einen Einfluss auf die Höhe des Plateaus
hat, ist problematisch. Denn τ ist nicht allein von der Höhe des Signals abhängig, sondern
variiert zusätzlich bei Signalen gleicher Energie. Dies bedeutet, dass das Berechnen von
τ für verschiedene Signale gleicher Energie zu einer verfälschten Bestimmung der Energie
führen würde. Es muss also für alle Traces das gleiche τ gewählt werden. Es könnte jedoch
die Proportionalität zwischen τ und Plateauhöhe ausgenutzt werden, um die Variation
in der Plateauhöhe der Signale gleicher Energie zu korrigieren. Da bei der Anwendung
des Algorithmus’ auf den Datensatz die Plateaus für unterschiedliche τ jedoch eine unter-
schiedliche Steigung besitzen, ist die Proportionalität zwischen τ und Plateau-Höhe nicht
41

42
U [Skt.]
5000
4000
3000
2000
1000
0
0 500 1000 1500 2000
t [Skt.]
2500 3000 3500 4000
Abbildung 5.6: Abhängigkeit der Plateau-Höhe von τ. Die Werte von τ reichen von 1 (unterste
Linie) bis 3000 (oberste Linie). Zwischen 3000 und 1300 wurde τ in 100er-
Schritten variiert. Die untersten vier Linien entsprechen einem τ von 1, 100,
200 und 800. Für τ = 2300 wird ein konstantes Plateau erreicht.
mehr gegeben.
Es wurden nun für verschiedene τ, k und m Spektren aufgenommen. Dazu wurden
die Datenpunkte des Plateaus gemittelt und der Mittelwert als Maß für die Energie des
betreffenden γ-Quants verwendet. Tabelle 5.1 zeigt die FWHM für beide 56 Co-Linien in
Abhängigkeit von den relevanten Parametern τ, k und m = l − k.
Die Nicht-Konstanz des Plateaus sollte die Auflösung verschlechtern, also τ = 2300
die beste Auflösung liefern. Tatsächlich wird die FWHM aber kleiner für kleineres τ. Da
über die Punkte des Plateaus gemittelt wird, scheint sich die Steigung also nicht negativ
auf die Auflösung auszuwirken.
Die beste Auflösung, die mit dem Trapez-Verfahren von [18] erreicht werden kann, beträgt
2,378(78) keV bei einer Energie von 1238 keV.
Es müsste getestet werden, wie sich die Auflösung verhält, wenn sehr lange Traces ver-
wendet werden, so dass ein Trapez erzeugt werden kann. Bei der Anwendung des Algo-
rithmus’ auf den Datensatz konnte aufgrund der Trace-Länge von 4000 Skt. und einer
Zerfallskonstante von etwa 2300 Skt. kein Trapez generiert werden, so dass die resultie-
renden Spektren und Energieauflösungen dieser Analyse nur eine begrenzte Aussagekraft
besitzen.

τ k m FWHM(847 keV) [keV] FWHM(1238 keV) [keV]
2800 2600 800 2,218(72) 2,409(78)
2600 " " 2,224(75) 2,486(81)
2500 " " 2,213(82) 2,507(81)
2400 " " 2,221(80) 2,503(83)
2300 " " 2,223(81) 2,536(82)
2000 " " 2,243(79) 2,534(83)
1000 " " 2,299(91) 2,649(86)
500 " " 2,419(75) 2,771(95)
2500 2500 700 2,264(87) 2,525(82)
" " 800 2,198(77) 2,406(78)
" " 900 2,230(71) 2,566(85)
" 2400 700 2,235(78) 2,546(87)
" 2600 900 2,223(76) 2,378(78)
2600 2500 800 2,258(78) 2,378(78)
2500 1500 500 2,235(83) 2,545(84)
1500 " 500 2,410(70) 2,725(93)
1000 " 500 2,420(89) 2,872(96)
Tabelle 5.1: Trapez-Algorithmus: Energieauflösung der beiden intensivsten Linien von 56 Co in
Abhängigkeit von τ, k und m.
43

6 Zusammenfassung und Ausblick
Im Rahmen dieser Arbeit wurden verschiedene digitale Verfahren zur Pulshöhenanalyse
von Signalen hochauflösender Germaniumdetektoren implementiert und auf deren Ener-
gieauflösungsvermögen hin getestet.
Zunächst wurden mit einem Digitalisierer der Firma XIA online Energiespektren auf-
genommen. Der DGF-4C digitalisiert die Vorverstärkersignale und formt mittels eines
Algorithmus’ online trapezförmige Signale, von denen die Höhe als Maß für die Energie
der γ-Quanten verwendet wird. Es hat sich gezeigt, dass eine intensive Untersuchung nö-
tig ist, um die Parameter für eine optimale Energieauflösung bestimmen zu können. Die
beste erreichbare Auflösung betrug 1,948(33) keV bei einer Energie von 1332 keV.
Als die besten selbst entwickelten Algorithmen bezüglich ihres Energieauflösungsvermögens
sind die Flächen-Methode und die Regressions-Methode anzusehen. Mit ihnen wurde eine
FWHM von 2,116(94) keV bzw. 2,031(67) keV bei einer Energie von 1238 keV erreicht. In
der folgenden Tabelle sind die niedrigsten erreichten FWHM für die verschiedenen Ver-
fahren zusammengefasst.
FWHM(1332 keV) [keV] FWHM(847 keV) [keV]
analoge Technik 1,867(9) -
XIA-Filter 1,948(33) -
Flächen-Methode - 3,03(12)
Schnittpunkt-Methode - 2,070(73)
Flächenabgleich-Methode - 1,914(65)
Regressions-Methode - 1,846(65)
Trapez-Methode - 2,198(77)
Tabelle 6.1: Übersicht der besten erreichten Energieauflösungen für die verschiedenen Verfahren.
Das Ziel, eine ebenso gute oder bessere Auflösung als mit den etablierten analogen
Verarbeitungsmethoden zu erhalten, konnte nicht erreicht werden. Es bestehen jedoch
begründete Hoffnungen, dass sich diese Algorithmen noch optimieren lassen und eine
bessere FWHM erreicht werden kann. Bei den niedrigen Zählraten, die in dieser Arbeit
untersucht wurden, liefert die analoge Technik bessere Energieauflösungen als die digi-
talen Methoden. Man erwartet jedoch, dass für hohe Zählraten die digitale Technik der
analogen überlegen ist. Um diese Vermutung zu bestätigen, sind Messungen mit einem
Detektor nötig, der keine Artefakte bei hohen Zählraten produziert.
Des Weiteren erzeugen modernere HPGe-Detektoren bzw. deren Vorverstärker einen deut-
lich geringeren Overshoot. In der Anwesenheit dieses Overshoots lag die größte Schwie-
45

46
rigkeit bei der Bestimmung der wahren Pulshöhe, denn der maximale Punkt des Signals
ist nicht proportional zur Energie des γ-Quants. Es kann also davon ausgegangen werden,
dass mit den digitalen Methoden eine bessere Energieauflösung bei Signalen ohne Over-
shoot erreichbar ist.
Außerdem müssen die digitalen Methoden auf ihre Stabilität bezüglich Untergrundrau-
schen hin untersucht werden. Die Messungen für diese Arbeit wurden unter Laborbedin-
gungen durchgeführt, bei denen Rauschquellen einen sehr geringen Einfluss auf die Mes-
sung hatten. Ein nächster möglicher Schritt der Analyse wäre also, die Energieauflösung
der analogen Technik, der DGF-4C-Algorithmen und der offline-Algorithmen unter “rea-
len” Experiment-Bedingungen zu untersuchen, bei denen erhöhtes Rauschen die Messbe-
dingungen erschwert.

Literatur
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http://www.xia.com (1999).
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Verlag, Berlin 1992.
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47

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[24] A. Fitzler, Tv Benutzer-Handbuch, Institut für Kernphysik der Universität zu Köln,
2000.

Abbildungsverzeichnis
2.1 Zerfallsschema von 60 Co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Blockdiagramm des ADCs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Seitenansicht des DGF-4C (Rev. E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Trapezfilter des DGF-4C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Pile-up-Erkennung des DGF-4C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1 Einfluss hoher Zählraten auf die Spektren der analogen Messung . . . . . . 18
3.2 FWHM in Abhängigkeit von τ und tg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 FWHM in Abhängigkeit von τ und tp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Ausschnitt aus Abbildung 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Digitalisierte Vorverstärkersignale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Regressionskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Ausschnitt des ansteigenden Bereichs einer Trace . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 FWHM in Abhängigkeit von h (Regressionsmethode) . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Abhängigkeit der Laufzeit (User Time) und der Anzahl aussortierter Traces
von h (Regressionsmethode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1 Faltung des Signals mit einer Dreieck- und einer Rechteckfunktion . . . . . 36
5.2 Faltung des Signals mit h(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Trapezfilter für verschiedene τ (künstliche Trace) . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Abhängigkeit der benötigten Trace-Länge von τ (künstliche Trace) . . . . . 40
5.5 Abhängigkeit der Plateau-Höhe von τ (künstliche Trace) . . . . . . . . . . 41
5.6 Abhängigkeit der Plateau-Höhe von τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Tabellenverzeichnis
3.1 Messung der Auflösung in Abhängigkeit der Zählrate . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Messung der Auflösung in Abhängigkeit von Shaping Time und Verstärkung 19
4.1 Messung der Auflösung und der Programm-Laufzeit . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Energieauflösung für die Flächenabgleich-Methode . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1 Energieauflösung des Trapez-Algorithmus’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1 Übersicht der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
49

A Ausgewählter C++-Code
A.1 Grundgerüst der Programme
Listing 1 zeigt das Grundgerüst für die Programme, die in den Abschnitten 4.2 bis 4.5
präsentiert werden. In den Zeilen 12-27 wird zunächst die Datei, aus der gelesen werden
soll, geöffnet und eine Fehlermeldung ausgegeben, falls sie nicht geöffnet werden kann.
Die entsprechende Datei wird bei der Ausführung des Programms angegeben. In den
Zeilen 39-40 wird die Länge n der Trace bestimmt (vgl. Abschnitt 3.3). Ab Zeile 42 wird
für jede Trace j eine Ausgabedatei erstellt. Anschließend, angedeutet durch //..., folgt
die Routine, in der die jeweils relevanten Informationen aus dem Signal gezogen werden.
Danach wird j um 1 erhöht und die Schleife erneut ausgeführt, bis alle Traces durchlaufen
sind.
Listing 1: Grundgerüst der Programme
1 #include
2 #include
3 #include
4 #include
5
6 #define DATAMAX 10000
7
8 using namespace s t d ;
9
10 int main ( int argc , char ∗ argv [ ] ) {
11
12 // open i n p u t f i l e
13 i f ( argc 0) {
35
36 // Bei Bedarf kann koennen h i e r d i e e r s t e n b e i d e n Elemente des F e l d e s ausgegeben werden .
37 f o r ( i =0; i

52
50 f p r i n t f ( s t d e r r , " unable ␣ to ␣ w r i t e ␣ f i l e \n" ) ;
51 e x i t ( 1 ) ;
52 }
53
54 // H i e r wird der Algorithmus a u s g e f u e h r t
55
56 f c l o s e ( f o u t ) ;
57 }
58 j ++;
59 }
60 f c l o s e ( f ) ;
61 return 0 ;
62 }
A.2 Anstiegsflanke und Baseline
Listing 2: Bestimmung von Start- und Endpunkt der Anstiegsflanke sowie Berechnung der Ba-
seline
1 // Erkenne , wann S t e i g u n g b e g i n n t und endet ( A b l e i t u n g )
2 int alpha =0, beta =0;
3 f o r ( i =200; i 100){
6 alpha=i ;
7 break ;
8 }
9 }
10 f o r ( i=alpha ; i

zur Analyse von Spektren [24] ausgewertet werden kann. Mit Hilfe von tv lassen sich die
Spektren eichen und die Halbwertsbreiten der Peaks durch einen Gaußfit bestimmen.
A.4 Schnittpunkt-Methode
Listing 3: Berechnung der Regressionsgeraden
1 i f ( p i l e u p==f a l s e ){
2
3 // R e g r e s s i o n f u e r A b s t i e g s f l a n k e f ( t )=a1 ∗ exp ( b1∗ t )
4 double a1 ;
5 double b1 =0; // b = R e g r e s s i o n s k o e f f i z i e n t
6 double mx1=0; // M i t t e l w e r t von x1
7 double my1=0; // M i t t e l w e r t von y1
8 double varx1 =0; // Varianz von i im I n t e r v a l
9
10 // Berechnung der M i t t e l w e r t e
11 f o r ( i = beta + 2 0 ; i < h ; i ++){
12 i f ( 1 . ∗ ( buf [ i ] ) − my3 >= 0){
13 // M i t t e l w e r t der Logarithmen der Werte der A b s t i e g s f l a n k e
14 my1 = my1 + l o g ( 1 . ∗ ( buf [ i ]) −my3 ) ;
15 mx1 = mx1 + i ;
16 }
17 }
18 mx1 = mx1/( h−beta −20);
19 my1 = my1/( h−beta −20);
20
21 f o r ( i = beta + 2 0 ; i < h ; i ++){
22 i f ( 1 . ∗ ( buf [ i ] ) − my3 >= 0){
23 b1 = b1 + 1 . ∗ i ∗( l o g ( buf [ i ]−my3 ) ) − mx1∗my1 ; // R e g r e s s i o n s k o e f f i z i e n t
24 varx1 = varx1 + pow ( i −mx1 , 2 ) ;
25 }
26
27 }
28 // Berechnung der F i t p a r a m e t e r f u e r f ( t )
29 varx1 = varx1 /( h−beta −20−1);
30 b1 = b1 /( h−beta −20);
31 b1 = b1/ varx1 ;
32 a1 = my1−b1∗mx1 ;
33 a1 = exp ( a1 ) ;
34
35 // R e g r e s s i o n s g e r a d e der A n s t i e g s f l a n k e g ( t ) = a2 + b2∗ t
36 double a2 ;
37 double b2 =0; // R e g r e s s i o n s k o e f f i z i e n t
38 double mx2=0; // M i t t e l w e r t von x2
39 double my2=0; // M i t t e l w e r t von y2
40 double varx2 =0; // Varianz von i im I n t e r v a l
41
42 // Berechnung der M i t t e l w e r t e
43 f o r ( i = alpha ; i < beta ; i ++){
44 my2 = my2 + 1 . ∗ ( buf [ i ] ) − my3 ;
45 mx2 = mx2 + i ;
46 }
47 mx2 = mx2/( beta−alpha ) ;
48 my2 = my2/( beta−alpha ) ;
49
50 f o r ( i = alpha ; i < beta ; i ++){
51 b2 = b2 + 1 . ∗ i ∗ ( ( buf [ i ]) −my3) − mx2∗my2 ;
52 varx2 = varx2 + pow ( i −mx2 , 2 ) ;
53 }
54 // Berechnung der F i t p a r a m e t e r f u e r g ( t )
55 varx2 = varx2 /( beta−alpha −1);
56 b2 = b2 /( beta−alpha ) ;
57 b2 = b2/ varx2 ;
58 a2 = my2 − b2∗mx2 ;
59
60 // S c h n i t t p u n k t der R e g r e s s i o n s g e r a d e n
61 double Qx , Qy ;
62 Qx = ( a1−a2 ) / ( b2−a1 ∗b1 ) ;
63 Qy = a1 ∗ exp ( b1∗Qx ) ; // S e t z e Qx i n Funktion f ( t ) e i n
64
53

54
65 p r i n t f ( "%l f \n" ,Qy ) ; // Ausgabe von Qy
66
67 }
68 f c l o s e ( f o u t ) ;
A.5 Regressions-Methode
1 // R e g r e s s i o n s −Methode
2 //Q = int_ {\ alpha }^{x_0} ( g ( t )−z ( t ))^2 dt + int_ {x_0}^{\ beta } ( ( g ( t )− f ( t ))^2 dt
3 //dA/ dx0 = 0
4 double k , l , m, My, Mx;
5 // Durch d i e R e g r e s s i o n s m e t h o d e e r g i b t s i c h e i n e q u a d r a t i s c h e Gleichung
6 // der Form kx^2 + l x + m
7 k = a1 ∗ a1 ∗b1∗b1 − 2∗ a1 ∗b1∗b2 ;
8 l = 2∗ a1 ∗ a1 ∗b1 − 2∗ a1 ∗ a2 ∗b1−2∗a1 ∗b2 ;
9 m = a1 ∗ a1 − 2∗ a1 ∗ a2 ;
10 // Loesung der q u a d r a t i s c h e n Gleichung
11 Mx = (− l −s q r t ( l ∗ l −4∗k∗m) ) / ( 2 ∗ k ) ;
12 My = a1 ∗(1+b1∗Mx) ;
13
14 p r i n t f ( "%l f \n" ,My) ;
A.6 Trapez-Algorithmus
Die Umwandlung von der rekursiven zur iterativen Formulierung des Trapez-Algorithmus’
soll am Beispiel von p(n) verdeutlicht werden. In C++ lässt sich die rekursive Funktion
p(n) schreiben als
1 void p ( int z , int k , int l ){
2 arr_p [ 0 ] = 0 . ;
3 arr_p [ z ] = p ( z −1,k , l ) + d ( z , k , l ) ;
4 }
Eine iterative Formulierung der Funktion lautet
1 void p ( int k , int l ){
2 arr_p [ 0 ] = 0 . ;
3 f o r ( int z = 1 ; z

In der main-Funktion werden zunächst Traces mit Pile-up, wie in den vorigen Ab-
schnitten beschrieben, aussortiert. Anschließend werden die Variablen k und l auf vom
Benutzer definierte Werte gesetzt und die Funktionen p(k,l) und s(k,l,tau) ausgeführt.
Die Höhe des Trapezes wird ermittelt, indem der Mittelwert der Datenpunkte auf dem
Plateau gebildet wird.
1 int k = 2 6 0 0 ;
2 int l = k −1800; // => m = 1200
3
4 f o r ( i = 1 ; i < h ; i ++){
5 arr_v [ i ] = buf [ i ] − my3 ;
6 }
7 // A u f r u f der Funktionen p ( k , l ) und s ( k , l , tau )
8 p ( k , l ) ;
9 s ( k , l , tau ) ;
10 arr_s [ i ] = 0 ;
11
12 // M i t t e l w e r t des P l a t e a u s
13 int l e n g t h = n − 1 − 1 2 0 0 ;
14 double my4 = 0 . ;
15 f o r ( i = 1 2 0 0 ; i < n ; i ++){
16 my4 = my4 + 1 . ∗ ( arr_s [ i ] / 3 0 0 0 0 0 0 ) ;
17 }
18 my4 = my4/ l e n g t h ;
19 p r i n t f ( "%l f \n" , my4 ) ;
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Danksagung
Für ihre Unterstützung bei meiner Bachelorarbeit möchte ich mich bei folgenden Perso-
nen herzlichst bedanken.
Zuallererst und ganz besonders bedanke ich mich bei Herrn Professor Dr. Andreas
Zilges für die Vergabe dieses sehr interessanten Themas und für die Möglichkeit, in seiner
Arbeitsgruppe arbeiten zu dürfen. Bei ihm habe ich auch durch den Besuch der Vorlesung
“Detektorphysik” viel über Detektoren, Signale und deren Verarbeitung gelernt.
Außerdem bedanke ich mich herzlich bei Herrn Professor Dr. Jan Jolie für die Zweitkor-
rektur meiner Arbeit.
Ein ganz großer Dank geht an Michael Elvers und Janis Endres, die mich während meiner
gesamten Zeit am Institut unterstützt haben. Bei allen Fragen und Problemen, die auftra-
ten, standen sie mir geduldig mit Rat und Tat zur Seite. Ich habe bei ihnen wahnsinnig
viel gelernt und bin ihnen sehr dankbar für diese schönste und lehrreichste Zeit meines
bisherigen Studiums.
Auch dem Rest der Arbeitsgruppe, Dr. Jens Hasper und (Lars but not least) Lars Net-
terdon danke ich für die tolle Zeit, die ich während meiner fast viermonatigen Zeit am
Institut hatte. Ohne dieser phantastischen Truppe wäre mir die Zeit sehr lang geworden.
Die gemeinsamen Mittagessen, die Kickerspiele und die interessanten und lustigen Ge-
spräche haben die Bachelorarbeit zu einem ganz besonderen Erlebnis gemacht.
Des Weiteren bedanke ich mich sehr bei Dr. Stefan Heinze, von dem die Idee für die
Regressionsmethode stammt. Auch er hat mich bei Fragen und Problemen unterstützt
und mir auf die Sprünge geholfen.
Ebenfalls ein großer Dank gebührt Dr. Gheorghe Pascovici für seine Nachhilfe in Sachen
digitale Elektronik und die Versorgung mit geeigneter Literatur.
Nicht unerwähnt bleiben sollen Dr. Christoph Fransen, Lothar Steinert und Herbert Hess
für die Hilfe bei der Beschaffung von Quellen, Detektoren und Stickstoff, Dr. Nigel Warr
und Norbert Braun für die Hilfe zur XIA-Software und die Benutzung ihrer Auslese-
programme, sowie Benedikt Birkenbach für Informationen über alte Messungen mit dem
DGF.
Außerdem danke ich dem gesamten Institut für Kernphysik der Uni Köln für die tolle
Arbeitsatmosphäre und die schöne Zeit, die ich dort hatte.
Ich danke außerdem meinen Eltern für das Korrekturlesen und ihre Unterstützung.
Schließlich danke ich Theresa für ihre Fürsorge, ihr Verständnis, das Korrekturlesen und
für die Kraft, die sie mir während dieser Zeit gegeben hat.
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Erklärung
Hiermit versichere ich, die vorliegende Bachelorarbeit selbstständig und ohne Hilfe Dritter
und nur mit den angegebenen Quellen und Hilfsmitteln angefertigt zu haben. Alle Quellen
und Zitate sind als solche im Text kenntlich gemacht worden.
Köln, den 27. August 2009
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(Unterschrift)
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