Fachbereich Mathematik - GSI

Technische Universität Darmstadt
- Fachbereich Mathematik -
GSI
Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung
- Abteilung Biophysik -
Master-Thesis
Theorie und Numerik zur nichtlinearen
Dosisoptimierung in der Schwerionentherapie
Angefertigt von
Michael Horcicka
Referent: Prof. Dr. Christian Meyer
Korreferent: Prof. Dr. Stefan Ulbrich
Darmstadt 2011

Diese Arbeit wurde mit dem Textsatzsystem L ATEX erstellt.

Abstract
In the GSI therapy pilot project from 1997 until 2008 about 450 cancer patients
were successfully treated with carbon ions. Because of the promising healing rates
the clinical radiotherapy facility HIT was opened in 2009. However, research for the
heavy-ion therapy is still in progress at GSI.
For the treatment planning the software TRiP is used. An essential part of the
treatment planning ist the dose optimization. The aim of the dose optimization is
to achieve a homogeneous target dose distribution as close as possible to the prescribed
dose distribution by an appropriate sparing of healthy tissue and critical
structures like the brainstem. These requirements can be mathematically expressed
by an optimization problem, where the free optimization parameters are the particle
numbers for the rasterspots. If biological effects are taken into account, the optimization
problem leads to a nonlinear, finite dimensional and restricted minimization
problem. A theoretical examination and a solution of the optimization problem is
the core area of this master-thesis.
By utilizing a special variant of the Weierstraß extreme value theorem, which
requires the lower semi-continuity and radial unboundness of the objective function,
the existence of a global minimum of the optimization problem can be proofed. Due
to the nonconvexity of the objective funtion the uniqueness of a global minimum
can not be proofed straightforward because standard techniques for such proofs can
not be applied. A numerical approach, which indicates, that the minimum of the
objective function is unique, is discussed. Furthermore, the objective function is
approximated with an appropriate smooth function. This is necessary to derive the
Karush-Kuhn-Tucker-conditions for the optimization problem.
Due to the nonlinearity of the objective function the optimization problem can
only be solved with numerical methods. For this purpose the Linesearch-Techniques
method of steepest descent, conjugated gradients and the inverse BFGS-method were
implemented and examined. Several variants of these numerical solvers are presented
in this work. The convergence results show, that the Fletcher-Reeves variant of
the conjugated gradient method has the best numerical properties. The results of
the inverse BFGS-method are similar concerning the iteration steps but require by
a factor of 1.5 more computation time. The method of steepest descent is slow
concerning the iteration steps and computation time.
The convergence results show, that currently the Fletcher-Reeves variant of the
conjugated gradient method is the best algorithm for the optimization step in the
treatment planning procedure. With this method complete patient plans can be
optimized in an acceptable computation time. Furthermore, this method doesn’t
require much memory space and is robust.
3

Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis 7
Abkürzungsverzeichnis 8
1 Einleitung 10
1.1 Die Krankheit Krebs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Strahlentherapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Physikalische Grundlagen ionisierender Strahlung . . . . . . . . . . . 12
1.4 Strahlenbiologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Das Kohlenstoff-Therapieprojekt der GSI . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Technik der Therapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Ablauf der Therapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie 22
2.1 Bestrahlungsplanung mit TRiP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Berechnung der Dosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Berechnung der physikalischen Dosis . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Berechnung der RBW-gewichteten Dosis . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Mathematische Formulierung der Optimierung . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Physikalische und technische Betrachtung . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Mathematische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Experimentelle Verifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems 36
3.1 Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften der Zielfunktion . . 36
3.2 Existenz und Eindeutigkeit eines Minimums . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Existenz eines Minimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1.1 Unterhalbstetigkeit der Zielfunktion . . . . . . . . . 38
3.2.1.2 Radiale Unbeschränktheit der Zielfunktion . . . . . . 40
3.2.1.3 Anwendung auf den Extremwertsatz von Weierstraß 42
3.2.2 Eindeutigkeit eines Minimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Glättung der Zielfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Nichtlineare Optimierung 49
4.1 Numerische Minimierung mit Linesearch-Verfahren . . . . . . . . . . 49
4.2 Schrittweitenstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4

Inhaltsverzeichnis
4.2.1 Schrittweitenbestimmung über Dämpfung der Physik-Schrittweite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2 Die Schrittweitenregel von Armijo . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Voroptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Ressourcen, Daten und Bemerkungen zur Optimierung . . . . . . . . 55
4.4.1 Verwendete Rechnerarchitektur . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.2 Verwendeter Patientenplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.3 Bewertung der Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4.4 Bemerkungen und Details zur Implementierung . . . . . . . . 56
5 Gradientenverfahren und konjugiertes Gradientenverfahren 58
5.1 Das Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Das konjugierte Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Konvergenzergebnisse und Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 BFGS-Verfahren 63
6.1 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Quasi-Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Das BFGS-Update . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.4 Das inverse BFGS-Verfahren mit Armijo-Schrittweite und Winkeltest 69
6.5 Konvergenzergebnisse und Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.6 Weitere implementierte und ausgewertete Varianten des inversen BFGS-
Verfahrens und zusätzliche Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Zusammenfassung und Ausblick 77
7.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8 Anhang 81
8.1 Beschleunigeranlage der GSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2 Gradient und Hesse-Matrix der Dosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.2.1 Gradient und Hesse-Matrix der physikalischen Dosis . . . . . . 82
8.2.2 Gradient und Hesse-Matrix der RBW-gewichteten Dosis . . . 82
8.2.3 Gradient und Hesse-Matrix des analytischen Ausdrucks für die
RBW-gewichtete Dosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3 Gradient und Hesse-Matrix der Zielfunktion . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3.1 Gradient und Hesse-Matrix bei Optimierung der physikalischen
Dosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3.2 Gradient und Hesse-Matrix bei Optimierung der RBW-gewichteten
Dosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.3.3 Gradient und Hesse-Matrix bei Optimierung mit dem analytischen
Ausdruck für die RBW-gewichtete Dosis . . . . . . . . 85
8.4 Der Extremwertsatz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.5 Unterhalbstetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5

Inhaltsverzeichnis
8.6 Radiale Unbeschränktheit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.7 Erweiterungen des Extremwertsatzes von Weierstraß . . . . . . . . . . 88
8.8 Eindeutigkeit eines Minimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.9 Exakte Schrittweitenbestimmung bei Optimierung der physikalischen
Dosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Literaturverzeichnis 92
6

Abbildungsverzeichnis
1.1 Überlagerung von Bestrahlungsfeldern bei der Photonentherapie . . . 11
1.2 Dosisverteilung bei IMRT und Kohlenstofftherapie im Schädelinneren 12
1.3 Tiefendosisprofil für Photonen, Protonen und 12 C in Wasser . . . . . 13
1.4 Laterales Streuverhalten von Photonen-, Protonen- und 12 C-Strahlen
in Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Überlebenskurven von Zellen nach Röntgen- und Kohlenstoffbestrahlung
mit verschiedenen RBW-Werten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Vergleich der simulierten Bahnspuren von 12 C-Ionen und Röntgen mit
der schematischen Darstellung einer DNA-Doppelhelix . . . . . . . . 16
1.7 Illustration des Rasterscan-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Darstellung einer ausgedehnten Bragg-Peak Zone im Tumorbereich . 18
1.9 Schematische Darstellung der PET-Analyse . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10 Fixierter Patient im Therapieraum der GSI . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11 Thermoplastische Maske zur Fixierung des Kopfes des Patientens . . 21
2.1 CT-Scheibe des Patientenplanes #135 mit eingezeichnetem Target
und Hirnstamm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Modellhafte Darstellung eines Zielvolumens mit Isoenergieschichten
und den dazugehörigen Rasterpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Vergleich zweier optimierter Dosisverteilungen in einer CT-Scheibe . . 25
2.4 Modellrechnung der physikalischen und RBW-gewichteten Dosis mit
korrespondierenden Überlebensraten aus Zellexperimenten . . . . . . 27
2.5 Foto des präparierten Biophantoms vor der Bestrahlung . . . . . . . . 34
2.6 Vergleich von gemessenem Zellüberleben und berechnetem Zellüberleben
mit TRiP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1 Graphische Veranschaulichung der Heaviside-Funktion . . . . . . . . . 39
3.2 Graphische Veranschaulichung der Glättung der Heaviside-Funktion . 44
4.1 "Ideale" Skalierungswerte für die Physik-Schrittweite . . . . . . . . . 53
5.1 Minimierung mit dem GRV und KGV als Funktion der Iterationen . 62
5.2 Minimierung mit dem GRV und KGV als Funktion der Rechenzeit . . 62
6.1 Minimierung mit BFGS und KGV als Funktion der Iterationen . . . . 73
6.2 Minimierung mit BFGS und KGV als Funktion der Rechenzeit . . . . 73
8.1 Beispiel einer unstetigen Funktion, die unterhalbstetig ist . . . . . . . 88
7

Abkürzungsverzeichnis
12C Atomkern des Kohlenstoffes mit 6 Protonen und 6 Neutronen
16O Atomkern des Sauerstoffes mit 8 Protonen und 8 Neutronen
BED Biologisch effektive Dosis
BFGS BFGS-Verfahren: Optimierungsalgorithmus benannt nach seinen Entwicklern
Broyden, Fletcher, Goldfarb und Shanno
CT Computertomographie, Computertomogramm
DKFZ Deutsches Krebsforschungszentrum
EFO Einzelfeldoptimierung
Feld Bestrahlungsfeld (bestrahlter Bereich aus einer Einstrahlrichtung)
GRV Gradientenverfahren
GSI GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung GmbH
Gy SI-Einheit Gray[ J
GyE
] (Energiedosis verursacht durch Strahlung)
kg
Gray-Equivalent (Einheit der biologisch effektiven Dosis)
Gy (RBW) Einheit der RBW-gewichteten Dosis
HIT Heidelberger Ionenstrahl-Therapiezentrum
IES Isoenergieschicht
IMRT Intensitätsmodulierte Photonentherapie
KGV Konjugiertes Gradientenverfahren
KKT Karush-Kuhn-Tucker (meist KKT-Punkt, -Bedingungen oder -Theorie)
LEM Local-Effect-Model (Biophysikalisches Modell zur RBW-Bestimmung)
LET Linearer Energietransfer
MFO Mehrfelderoptimierung
min f Minimiere die Funktion f
NDF Anzahl der Freiheitsgrade
NV Newton-Verfahren
OAR Organ-At-Risk (Risikoorgan)
PET Positronen-Emissions-Tomographie
RBW Relative biologische Wirksamkeit
Target Zielvolumen bei der Bestrahlungsplanung
TRiP Treatment Planning for Particles (Bestrahlungsplanungssoftware)
u. d. N. unter der Nebenbedingung
VOI Volume of Interest
Voxel Volumenpixel in einer CT
8

1 Einleitung
1.1 Die Krankheit Krebs
Jährlich wird die Anzahl der neudiagnostizierten Krebserkrankungen weltweit auf
über 12 Millionen geschätzt. In einem Jahr sterben ca. 7.6 Millionen Menschen an
den Folgen einer Krebserkrankung, davon ca. fünf Millionen in den Entwicklungsländern.
Damit ist Krebs, nach den Herz-Kreislauferkrankungen, die zweithäufigste
Todesursache. Experten schätzen, dass in den folgenden Jahren, auch bedingt durch
den demografischen Wandel, die Zahl der Krebserkrankungen deutlich steigen wird.
[Wik11]
Unter dem Krankeitsbild Krebs versteht man eine bösartige Gewebeneubildung
(Tumor) im menschlichen Körper. Krebszellen wachsen und teilen sich unkontrolliert,
was zu einer Verdrängung oder Zerstörung des umliegenden Gewebes führen
kann. Dabei handelt es sich immer um eine Störung vom genetisch geregelten Zellwachstum
und Apoptose (selbstprogrammierter Zelltod). Krebs hat eine Vielzahl
von Ursachen, prinzipiell können alle menschlichen Organe befallen sein.
Eine Krebstherapie richtet sich nach Tumorart, Tumorgröße, Lokalisation des
Tumors und dem Allgemeinzustand des Patienten. Als Therapieformen werden in
der Regel Chemotherapie, operative Entfernung des Tumors und Strahlentherapie
angewendet. Häufig werden diese drei Therapieformen miteinander kombiniert.
Im Therapieprojekt des GSI Helmholtzzentrums für Schwerionenforschung GmbH
(GSI) [Kra08] wurden in den meisten Fällen Gehirntumore behandelt. Bei diesem
Pilotprojekt handelte es sich um eine neue Form der Strahlentherapie mit Teilchenstrahlung.
Details zu dieser speziellen Methode werden im letzten Abschnitt dieses
Kapitels beschrieben. Im nächsten Abschnitt werden die Grundlagen der Strahlentherapie,
in Anwendung auf Kopf- und Nackentumore, näher dargestellt. Anschließend
werden die physikalischen und biologischen Eigenschaften von Strahlung
erläutert.
1.2 Strahlentherapie
Zur Strahlentherapie gehören zum Beispiel die Photonentherapie, Teilchentherapie
oder Brachytherapie [D + 06]. Etwa jede zweite Tumorerkrankung wird mit einer
Strahlentherapie behandelt. Das Ziel der Strahlentherapie ist den Tumor mit einer
Dosis zu bestrahlen, die die Reparaturfähigkeit der Tumorzellen überschreitet
[HB97]. Dabei soll das umliegende Normalgewebe bestmöglich geschont werden. Vor-
10

1.2 Strahlentherapie
Abbildung 1.1: Überlagerung von Bestrahlungsfeldern bei der Photonentherapie. Um mit einem
Bestrahlungsfeld die vorgeschriebene Dosis (Anteil in Prozent) im Tumor (roter Bereich) zu deponieren,
müsste im Eingangsbereich eine höhere Dosis erzeugt werden (linke Seite). Schon bei der
Hinzunahme eines zweiten Feldes kann dieser nachteilige Effekt halbiert werden (rechte Seite).
aussetzung für eine erfolgreiche Strahlentherapie ist ein Bestrahlungsplan, der für
jeden Patienten individuell erstellt wird. Bei einer Bestrahlungsplanung werden in
der Regel auf Basis einer dreidimensionalen Computertomographie (CT) die notwendigen
Bestrahlungsparameter festgelegt. Die Gesamtdosis für den Tumor wird meistens
auf tägliche Einzeldosen verteilt (Fraktionierung). Dabei wird die schlechtere
Reparaturfähigkeit von Tumorzellen ausgenutzt. Eine gesamte Bestrahlungstherapie
kann bis zu 30 Fraktionen betragen.
Die konventionelle Form der Strahlentherapie ist die Photonentherapie. Photonen
besitzen die Eigenschaft, dass wenige Millimeter nach dem Eintreten in Gewebe die
Dosisdeposition ihr Maximum erreicht und anschließend exponentiell abfällt [KP88].
Um bei der Tumorbestrahlung das umliegende Normalgewebe zu schonen, werden
in tiefsitzenden Tumoren mehrere (6-12) Einstrahlrichtungen (sog. Bestrahlungsfelder)
überlagert. In Abbildung 1.1 wird dies Anhand von zwei Bestrahlungsfeldern
demonstriert. Die fortgeschrittenste Methode der Photonentherapie ist die Intensitätsmodulierte
Photonentherapie (IMRT) [Gro01]. Hier wird mit speziell geformten
Kompensatoren im Strahlweg gearbeitet, wodurch eine bessere Dosiskonformität im
Zielvolumen erreicht werden kann.
Bei der Teilchentherapie [DL10] (auch Partikeltherapie genannt) werden Protonen
und Schwerionen 1 verwendet. Bei der Schwerionentherapie [SESE10] zeigten
besonders 12 C-Ionen ideale Eigenschaften [Kra00]. Gegenwärtig wird Forschung betrieben,
ob sich auch andere Teilchensorten, wie z.B. Helium-, Lithium- oder Sauerstoffionen,
für die Teilchentherapie eignen. Teilchenstrahlen besitzen ein vorteilhaftes
Tiefendosisprofil gegenüber Photonenstrahlen [Wil46]. Der Teilchenstrahl entfaltet
erst am Ende seiner Reichweite ein scharfes Dosis-Maximum, während im Eingangskanal
eine geringe Dosis appliziert wird. Dieses Phänomen wird als das Inverse
Dosisprofil bezeichnet. Dadurch kann das Gewebe vor und nach dem Tumor überwiegend
geschont werden. Desweiteren besitzen Teilchenstrahlen beim Eindringen
in lebendes Gewebe eine höhere biologische Wirksamkeit gegenüber Photonen (ge-
1 In der Strahlentherapie werden alle Ionen mit einer größeren Ordnungszahl als Wasserstoff als
schwere Ionen bezeichnet.
11

1 Einleitung
Abbildung 1.2: Dosisverteilung erzeugt durch Kohlenstofftherapie mit zwei Bestrahlungsfeldern
(rechts) und IMRT mit sieben Feldern (links). Die Farbskalierung reicht von rot, entsprechend
100% der vorgeschriebenen Zieldosis, bis zu blau mit 10%. Mit beiden Methoden kann eine gute
Dosisapplikation im Tumorbereich (weiße Kontur) erzielt werden. Die Dosisbelastung des gesunden
Gewebes ist bei der Therapie mit Teilchen wesentlich geringer als bei Photonen.
naueres in Abschnitt 1.4) [KKWS03]. In der Regel reichen bei der Teilchenstrahlung
2-3 Bestrahlungsfelder aus, um die Dosis im Tumorvolumen zu verteilen. Einen Vergleich
zwischen der Dosisverteilung bei IMRT und Kohlenstofftherapie zeigt Abbildung
1.2. Damit die Teilchen genug Energie besitzen, um tiefer in Gewebe eindringen
zu können, müssen sie in Teilchenbeschleunigern (Zyklotron, Synchrotron) auf hohe
Geschwindigkeit gebracht werden. Dies ist ein Nachteil der Teilchentherapie, denn
solche Beschleunigeranlagen stellen hohe technische und finanzielle Anforderungen.
Hingegen werden bei der Photonentherapie lediglich Elektronen-Linearbeschleuniger
benötigt.
1.3 Physikalische Grundlagen ionisierender
Strahlung
Ionisierende Strahlung setzt beim Eintreten in Materie Elektronen aus den Atomhüllen
frei (sog. Ionisation), so dass positiv geladene Ionen zurückbleiben. Ionisierende
Strahlung wird in Teilchenstrahlung und elektromagnetische Strahlung unterteilt,
wobei letztere auch Photonenstrahlung genannt wird. Messgröße für die applizierte
Energiedosis D ist die SI-Einheit Gray (Gy), welche die absorbierte Energie E pro
Masse m beschreibt:
D[Gy] = dE
dm
= 1
ρ
dE
dV
, 1Gy = 1 J
kg
. (1.1)
Hier ist ρ die Dichte und V das Volumen des bestrahlten Materials. Die Dosis, die aus
Gleichung (1.1) resultiert, wird als physikalische oder absorbierte Dosis bezeichnet.
12

1.3 Physikalische Grundlagen ionisierender Strahlung
Abbildung 1.3: Tiefendosisprofil für Photonen, Protonen und 12 C in Wasser. Bei Photonen ist
nach einem anfänglichen Anstieg ein exponentieller Abfall zu beobachten. Teilchenstrahlen deponieren
am Anfang wenig Dosis und am Ende ihrer Reichweite das Dosismaximum (Bragg-Peak),
welches bei 12 C noch ausgeprägter ist als bei Protonen. Die Lage des Bragg-Peaks kann durch die
Anfangsenergie der Strahlen kontrolliert werden. Durch Projektilfragmente entsteht bei 12 C hinter
dem Bragg-Peak noch ein kleiner Dosisanteil.
Photonen, die auf Materie treffen, lösen unterschiedliche Prozesse aus, welche von
der Energie der Photonen abhängen. Die fundamentalsten sind der Photoeffekt, der
Compton-Effekt und die Paarbildung [GM06]. Die dabei entstehende Schwächung
der Strahlungsintensität I ist durch das Beersche Absorptionsgesetz gegeben:
I(x) = I0 · e −µx , (1.2)
mit der Anfangsintensität I0, der Eindringtiefe x und Materialabsorptionskonstante
µ. Die Tiefendosiskurve für Photonenstrahlung (siehe Abbildung 1.3) zeigt einen
Anstieg im Bereich der ersten Zentimeter und erst anschließend einen exponentiellen
Abfall. Der anfängliche Anstieg kann mit dem Aufbaueffekt erklärt werden, bei dem
Sekundärelektronen vorwiegend in Vorwärtsrichtung emittiert werden, bis sich ein
Gleichgewicht zwischen Energiedeposition und Produktion weiterer Sekundärelektronen
einstellt.
Teilchenstrahlen interagieren mit dem Targetmaterial hauptsächlich durch inelastische
Kollisionen mit den Hüllenelektronen. Dabei erleiden die durchgehenden
13

1 Einleitung
Strahlaufweitung [mm]
Photonen (21MV)
12 C (270MeV/u)
Protonen (148MeV/u)
Eindringtiefe in Wasser [mm]
Abbildung 1.4: Laterales Streuverhalten von Photonen-, Protonen- und 12 C-Strahlen in Wasser.
Photonenstrahlen besitzen anfangs die größte Aufweitung, welche jedoch bei weiterem Eindringen
wenig ansteigt. Protonen streuen bis zum dreifachen stärker als 12 C-Ionen. Abbildung aus [Web96].
Teilchen pro Weglängeneinheit dx einen Energieverlust, der von der Bethe-Bloch-
Formel [Bet30, Blo33] beschrieben wird:
− dE
dx = 4π e4z2 eff
mev
2 nZ
2mev
ln
2
+ relativistische Korrekturen , (1.3)
I
wobei e die Elementarladung des Elektrons und me seine Ruhemasse, v die Teilchengeschwindigkeit,
zeff die effektive Projektilladung, n die Dichte der Targetatome, Z
die Atomnummer und I das Targetionisationspotential darstellen. Der Energieverlust
ist bei hohen Geschwindigkeiten gering und steigt mit Geschwindigkeitsabnahme
kontinuierlich an. Kurz bevor die Teilchen zum Ende ihrer Reichweite gelangen,
kommt es zu einem starken Anstieg des Energieverlustes. Dabei erreicht die deponierte
Dosis ein scharfes Maximum (Bragg-Peak) und fällt unmittelbar danach steil
ab. Der Verlauf der Tiefendosisprofile wird von den Bragg-Kurven beschrieben. Die
zugehörigen Bragg-Kurven für 12C-Strahlen und Protonenstrahlen sind in Abbildung
1.3 zu sehen. Bei Schwerionen kommt es, im Gegensatz zu Protonen, zur Projektil-
Fragmentation. Diese verursacht hinter dem Bragg-Peak den Fragmentschwanz.
Häufig wird die Wirkung von Strahlung auf biologisches Gewebe mit dem linearen
Energietransfer (LET) angegeben. Dieser beschreibt, wie viel Energie ein
durchquerendes Teilchen pro Längeneinheit an das Material abgibt. Der LET wird
in Kiloelektronenvolt pro Mikrometer gemessen und ist mit der Dosis verbunden
über:
D[Gy] = 1.6 · 10 −9 · dE
keV
g
· ρ
dx µm cm
LET
3
−1 · F cm −2 , (1.4)
mit der Materialdichte ρ und Teilchenfluenz F .
14

1.4 Strahlenbiologische Grundlagen
250 kV
Abbildung 1.5: Überlebenskurven von Zellen nach der Bestrahlung mit Röntgenstrahlen bzw.
Kohlenstoffionen in Abhängigkeit der Dosis. RBW-Werte sind für verschiedene prozentuale Überlebensanteile
angegeben. Um ein Überleben von 10% zu erreichen muss hier mit Röntgenstrahlen,
im Vergleich zu Kohlenstoffstrahlen, eine 4.2-fache physikalische Dosis appliziert werden. Bei steigender
Dosis fällt die RBW. [Mit freundlicher Genehmigung Dr. W. Kraft-Weyrather].
Das grundsätzlich unterschiedliche Tiefendosisprofil von Teilchenstrahlung gegenüber
Photonenstrahlung ist für die Strahlentherapie von großer Bedeutung. Besonders
der scharfe Bragg-Peak bei 12 C erlaubt eine konzentrierte Dosisapplikation im
Tumor. Ein weiterer physikalischer Effekt, der in der Strahlentherapie berücksichtigt
werden muss, ist die laterale Aufweitung des Strahlenbündels beim Eintreten
in Materie (siehe Abb. 1.4). Die geringe Aufweitung des 12 C-Strahlenbündels ist ein
weiterer Vorteil der Kohlenstofftherapie.
1.4 Strahlenbiologische Grundlagen
Beim Eintritt ionisierender Strahlung in biologisches Gewebe kommt es im mikroskopischen
Bereich zur Schädigung der DNA (Desoxyribonukleinsäure). Die im Zellkern
liegende DNA kann dabei so stark geschädigt werden, dass die zahlreichen Reparaturprozesse
der Zelle nicht mehr greifen können und es kommt zur Apoptose (programmierter
Zelltod) [A + 99]. Besonders eine hohe Anzahl an Doppelstrangbrüchen,
in der DNA-Doppelhelix, führt zur Zellinaktivierung.
Die Strahlenwirkung auf zelluläres Gewebe wird anhand von Überlebenskurven
gemessen. Diese beschreiben die Wahrscheinlichkeit des Zellenüberlebens S als Funktion
der absorbierten Dosis D. Messungen haben das folgende "linear-quadratische"
Modell motiviert [Hal94]:
S(D) = e −(αD+βD2 ) , α ≥ 0 , β ≥ 0 , (1.5)
15

1 Einleitung
z [nm]
12 C-Ionen Röntgen
x [nm]
z [nm]
x [nm]
Abbildung 1.6: Vergleich der simulierten Bahnspuren von 12 C-Ionen und Röntgen mit der schematischen
Darstellung einer DNA-Doppelhelix. Die farbigen Linien repräsentieren die Spuren der
emittierten Sekundärelektronen. Die höhere Ionisationsdichte kann bei der Teilchenstrahlung deutlich
beobachtet werden. Der dabei entstehende DNA-Schaden ist schwierig zu reparieren. Die geringe
Ionisationsdichte von der Röntgenstrahlung verursacht meist reparable Einzelstrangbrüche.
wobei die Konstanten α und β von der bestrahlten Zelllinie abhängen. Ein großes
α-Verhältnis
steht für ein geringes Reparaturvermögen der Zelllinie, während ein
β
kleines α-Verhältnis
ein hohes Reparaturvermögen bedeutet.
β
Die gleiche absorbierte Dosis kann bei verschiedenen Strahlarten unterschiedliche
biologische Effekte auslösen. Ein Maß dafür ist die relative biologische Wirksamkeit
(RBW). Die RBW ist definiert als das Verhältnis der Dosis einer Bezugsstrahlung
zu der Dosis einer zu vergleichenden Strahlung, wobei mit beiden Dosen die gleiche
biologische Wirkung erreicht wird:
RBW =
DBezugsstrahlung
Dzu vergleichende Strahlung
Isoeffekt
. (1.6)
Verschiedene RBW-Werte von 12 C-Ionen, mit Röntgen als Bezugsstrahlung, können
aus den entsprechenden Überlebenskurven in Abbildung 1.5 entnommen werden.
Dabei ist stets eine RBW von > 1 zu beobachten. D.h., dass Kohlenstoff, bei gleicher
physikalischer Dosis, eine höhere biologische Wirkung als Photonen besitzt. Dies
kann unter anderem dadurch erklärt werden, dass die Bahnstruktur von Teilchenstrahlen
eine höhere Ionisationsdichte aufweist, was zahlreiche Doppelstrangbrüche
induziert (siehe Abb. 1.6) [KK94].
Wegen der höheren biologischen Wirksamkeit können Tumorzellen mit 12 C-Ionen
effizienter inaktiviert werden als mit Photonen oder Protonen. Dies ist ein weiterer
Vorteil der Kohlenstofftherapie [WK09]. Da die RBW von vielen Eingangsparametern
abhängt, wie z.B. Art der Strahlung, bestrahlter Gewebetyp, Dosis und Energie,
ist die Berechnung sehr komplex. Dafür wurde an der GSI das Local-Effect-Model
(LEM) entwickelt, mit dem die relevanten RBW-Werte bestimmt werden können.
Auf das LEM wird in dieser Arbeit nicht näher eingegangen. Details befinden sich,
neben zahlreichen anderen Veröffentlichungen, in [Sch03, EKS08, Gem09].
16

1.5 Das Kohlenstoff-Therapieprojekt der GSI
Abbildung 1.7: Illustration des Rasterscan-Verfahrens. Der Teilchenstrahl wird von den Dipolmagneten
vertikal und horizontal abgelenkt. Das Monitorsystem misst die Position und die Anzahl der
durchquerenden Teilchen. Informationen aus einem ständigen Soll-Ist-Vergleich werden an die Magnete
rückgekoppelt. Durch Energiemodulation des Beschleunigers werden die IESen des Tumors,
beginnend mit der hintersten, mit Bragg-Peaks angesteuert. In einer IES erhält ein bestimmter Rasterpunkt
(rot) Teilchenbeiträge von anderen Rasterpunkten. Dies wird bei dem Soll-Ist-Vergleich
der Teilchenzahlen vollständig beachtet.
1.5 Das Kohlenstoff-Therapieprojekt der GSI
Das Pilotprojekt der GSI entstand in enger Kooperation mit dem Forschungszentrum
Rossendorf, dem Deutschen Krebsforschungszentrum (DKFZ) und dem Universitätsklinikum
Heidelberg. Dabei handelte es sich um die weltweit erste intensitätsmodulierte
Schwerionentherapie. Von 1997 bis 2008 wurden über 440 Patienten
mit 12 C-Ionen bestrahlt. Dabei wurden meist strahlenresistente und tiefsitzende Tumorarten
gewählt, die im Kopf- oder Nackenbereich lagen. Ab dem Jahr 2006 wurden
auch Prostatakarzinome behandelt.
Die Erfolgsquoten im GSI-Pilotprojekt waren so vielversprechend [SE + 04], dass
diese neue Art der Tumortherapie in den klinischen Routinebetrieb übergehen soll.
Im November 2009 nahm das Heidelberger Ionenstrahl-Therapiezentrum HIT [H + 04]
seinen Betrieb auf. Gegenwärtig befinden sich in Kiel, Marburg und Pavia (Italien)
Kohlenstoff-Protonen-Therapiezentren im Bau oder Erprobung und weltweit weitere
in Planung. In den Strahlentherapiezentren sollen jährlich 1500-2000 Patienten
behandelt werden.
Obwohl die Patientenbestrahlung an das HIT übergegangen ist, ist die Schwerionentherapie
weiterhin Gegenstand intensiver Forschung an der GSI. Neben Verbesserungen
und Erweiterungen der physikalischen, biologischen und technischen
Aspekte, sowie in der Bestrahlungsplanung, liegt der Fokus auf der Bestrahlung von
17

1 Einleitung
Relative Dosis [%]
Ausgedehnter
Bragg-Peak
✛ Tumorzone ✲
✟✟✟✟✟✟
Eindringtiefe [cm]
Abbildung 1.8: Überlagerung einzelner Bragg-Peaks (rote Kurven) zu einer resultierenden Dosis
(blaue Kurve). In der Tumorzone kann mit dem ausgedehnten Bragg-Peak eine homogene Dosisverteilung
erzielt werden. Die Dominanz des hintersten Bragg-Peaks ist dabei deutlich zu erkennen.
bewegten Zielvolumina. Dies sind Tumore, die im Thorax oder Bauchbereich liegen,
und sich unter Einfluss der Atmung und des Herzschlages bewegen. Näheres dazu
ist z.B. in [Grö04, Ber06, RB10, B + 06] zu finden.
1.5.1 Technik der Therapie
Bei der GSI werden die Kohlenstoffionen in Ionenquellen erzeugt und anschließend
in die Beschleunigeranlage injiziert. Nachdem die Teilchen dort hohe Geschwindigkeiten
erreicht hatten (ca. 50% der Lichtgeschwindigkeit), wurden sie in den Therapieraum
weitergeführt. Eine Grundrissskizze der Beschleunigeranlage der GSI und
des Therapieraumes befindet sich im Anhang.
Bei der Erfassung des Tumorvolumens wird es in Schichten gleicher Strahlreichweite,
sog. Isoenergieschichten (IES), aufgeteilt. Jede IES wird mit einem Punkteraster
diskretisiert. Damit alle Rasterpunkte einer IES mit dem Strahl abgetastet
werden können, wurde an der GSI das Rasterscan-Verfahren [H + 93] entwickelt.
Beim Rasterscannen wird das geladene Teilchenbündel von zwei Dipolmagneten
(Scanmagnete), unter Einwirkung der Lorentz-Kraft [GM06], horizontal und vertikal
abgelenkt. Abbildung 1.7 illustriert das Rasterscan-Verfahren. Nachdem in einem
Rasterpunkt die vorher festgelegte Teilchenanzahl erreicht wurde, wird der
Strahl weitergelenkt. Die Messung der Teilchenzahlen erfolgt mit einer Ionisationskammer.
Strahlreichweite, und damit der Bragg-Peak, wird mit aktiver Energiemodulation
des Beschleunigers gesteuert. Zuerst wird die hinterste IES bestrahlt,
anschließend erfolgt eine Verringerung der Energiestufe um die vordere Scheibe zu
bestrahlen. Eine homogene Dosis in der Tumorzone entsteht durch Überlagerung
einzelner Bragg-Peaks unterschiedlicher Anfangsenergie (siehe Abb. 1.8). Die GSI-
18

12C-Strahl ✏✏
✏✏
11C-Teilchen ✏
1.5 Das Kohlenstoff-Therapieprojekt der GSI
Gammaquant
Detektoren
✑✑
✑
Abbildung 1.9: Schematische Darstellung der PET-Analyse. Oben: Fragmentation zwischen einem
12 C-Teilchen und 16 O-Teilchen. Dabei kann es vorkommen, dass nach der Kollision ein radioaktives
11 C-Teilchen entsteht. Flugrichtung und Geschwindigkeit des 11 C-Teilchens unterscheidet sich
kaum zu der vom vorhergehenden 12 C-Teilchen. Unten: Durch Zerfall des 11 C-Teilchens am Endpunkt
werden zwei Gammaquanten ausgesendet, die von den Detektoren gemessen werden. Durch
Rückrechnung kann die Reichweite des ursprünglichen 12 C-Strahls im Patienten gemessen werden.
Beschleunigeranlage stellt 253 verschiedene Energien (80MeV/u - 430MeV/u) des
12 C-Strahls zur Verfügung, was einer wasseräquivalenten Reichweite von ca. 2-31cm
entspricht. Des Weiteren können sieben Strahldurchmesser (4-12mm) eingestellt werden.
Mit dieser Technik kann ein dünner Strahl präzise über das dreidimensionale
Zielvolumen geführt werden.
Ein Interlocksystem kontrollierte im Submillisekundenbereich den Bestrahlungsablauf
und sorgte, bei einem Fehlverhalten, für einen sofortigen Abbruch der Bestrahlung.
Zur Verifikation der Bestrahlung wurde die sog. Positronen-Emissions-Tomographie
(PET) verwendet [E + 99]. Die PET bietet die Möglichkeit, ohne zusätzliche
Dosisbelastung, den Strahl im Patienten zu verfolgen. Eine PET-Analyse fand nach
jeder Bestrahlungsfraktion statt. Die PET basiert darauf, dass bei der Passage des
12 C-Strahls durch das Gewebe ein kleiner Teil der 12 C-Teilchen in instabile 11 C-
Isotope 2 umgewandelt wird. Die Reichweite des 11 C-Teilchens unterscheidet sich nur
minimal zur Reichweite des 12 C-Teilchens, das 11 C-Teilchen zerfällt jedoch am Endpunkt.
Beim Zerfall der 11 C-Teilchen entstehen β + -Emitter (Positronen 3 ). Durch
Annihilation 4 der Positronen mit Elektronen werden Gammaquanten 5 ausgesendet,
die von der PET-Kamera detektiert werden. Durch Rückrechnung kann dann die Position
des Zerfalls des 11 C-Isotops, und damit die Strahlreichweite, bestimmt werden.
2 Isotope sind Atome mit gleicher Protonenanzahl aber unterschiedlicher Neutronenanzahl.
3 Das Positron ist das Antiteilchen des Elektrons (also positiv geladen).
4 Unter Annihilation versteht man in der Teilchenphysik die Paarvernichtung eines Teilchens mit
seinem Antiteilchen.
5 Gammaquanten sind elektromagnetische Strahlen.
19

1 Einleitung
Eine schematische Darstellung der PET-Analyse zeigt Abbildung 1.9.
1.5.2 Ablauf der Therapie
Um eine präzise Bestrahlung zu erreichen wird der Patient vor dem Strahlaustrittsfenster
fixiert (siehe Abbildung 1.10). Bei der Behandlung eines Schädel- oder Nackentumors
wurde für die Fixierung, für jeden Patienten individuell, eine Kopfmaske
aus selbsthärtendem Kunststoff angefertigt, wie sie in Abbildung 1.11 zu sehen ist.
Die Maske wurde dann an der Patientenliege verschraubt. Bei der Therapie von Prostatakarzinomen
wurde diese Technik dem Beckenbereich angepasst. Die Lagerung
des Patienten wurde vor jeder Bestrahlungsfraktion mit zwei zueinander senkrechten
Röntgenaufnahmen überprüft.
Die Gesamtzeit, die für eine Fraktion benötigt wurde, lag bei ca. 30-40 Minuten.
Die reine Bestrahlungszeit dauerte etwa 5-10 Minuten. Fixierung und Positionierung
des Patienten nahmen die meiste Zeit in Anspruch. Bei Schädeltumoren wurden 20
Fraktionen in 20 aufeinanderfolgenden Tagen verabreicht. Die Gesamtdosis einer
Therapie lag dabei bei 60-70Gy. Bei Prostatakarzinomen wurden an der GSI 18Gy
auf sechs Fraktionen verteilt. Eine Tagesdosis lag somit bei ca. 3Gy.
Die Möglichkeit der Rotation des Patiententisches erlaubte einen Wechsel der
Bestrahlungsfelder. In der Regel waren zwei gegenüberliegende Felder ausreichend,
selten wurde noch ein drittes verwendet.
20

Austrittsfenster
des Strahls
Fixierte
Kopfmaske
Patient
1.5 Das Kohlenstoff-Therapieprojekt der GSI
Verstellbare
Patientenliege
Positionierbarer
Tisch
Abbildung 1.10: Fixierter Patient im Therapieraum der GSI. Die Kopfmaske ist an die Tischauflage
direkt vor dem Strahlaustrittsfenster geschraubt. Der Tisch kann entlang der kreisförmigen
Schiene im Boden rotiert werden. Damit kann ein automatischer Wechsel des Bestrahlungsfeldes
stattfinden. Hinter der weißen Abschirmung über- und unterhalb des Patientens befindet sich die
PET-Kamera. Mit dem "Buzzer" in der rechten Hand kann der Patient die Bestrahlung jederzeit
eigenständig abbrechen.
Abbildung 1.11: Thermoplastische Maske zur Fixierung des Kopfes des Patienten.
21

2 Optimierung der Dosis in der
Schwerionentherapie
Dieses Kapitel widmet sich der Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie.
Als erstes wird die Bestrahlungsplanungssoftware, die an der GSI entwickelt und
für die Kohlenstofftherapie verwendet wurde, vorgestellt. In Abschnitt 2.2 werden
Details zur Berechnung der Dosis geschildert. Abschnitt 2.3 geht ausführlich auf
die mathematische Formulierung des Optimierungsproblems ein. Die theoretische
Betrachtung und Lösung des Optimierungsproblems ist Schwerpunkt dieser Master-
Thesis. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels wird gezeigt, wie eine optimierte Dosisverteilung
experimentell nachgewiesen werden kann.
2.1 Bestrahlungsplanung mit TRiP
Das Rasterscan-Verfahren erfordert eine präzise Vorberechnung mehrerer zehntausend
Strahlpositionen, Strahlenergien und Teilchenzahlen, um die vom Arzt vorgeschriebene
Dosisverteilung zu erreichen. Hierzu dient die Bestrahlungsplanungssoftware
Treatment Planning for Particles (TRiP) [K + 00, J + 01]. Sie wurde an der GSI
für die intensitätsmodulierte Schwerionentherapie, in der Programmiersprache C,
entwickelt. Des Weiteren wird TRiP auch zu Forschungszwecken eingesetzt. An der
GSI ist TRiP selbst Forschungsgegenstand und wird stets weiterentwickelt.
Bei der Erstellung eines Bestrahlungsplanes führt TRiP im wesentlichen vier Schritte
aus:
1. Die modifizierten CT-Daten des Patienten werden eingelesen.
2. Im Target wird ein dreidimensionales Rastergitter generiert.
3. Optimierung der Dosis. Dabei werden für jeden Rasterpunkt Teilchenfluenzen
bestimmt, aus denen eine optimale Dosisverteilung resultiert.
4. Eine Kontrolldatei für den Rasterscanner wird erstellt.
Der genauere Ablauf der ersten drei Schritte wird im folgenden beschrieben.
Die Auflösung eines CT’s ist 3mm in z-Richtung (Tiefe) und 1mm in x- bzw. y-
Richtung. Eine solche Volumeneinheit wird Voxel (Volumenpixel) genannt und kann
als Bildpunkt interpretiert werden. Bei der Dosisberechnung und -optimierung wird
22

2.1 Bestrahlungsplanung mit TRiP
Abbildung 2.1: CT-Scheibe des Patientenplanes #135. Tumor (rote Kontur) und Hirnstamm (grüne
Kontur) wurden mit Konturen markiert. Vor der Bestrahlungsplanung wird jede CT-Scheibe
auf diese Art und Weise bearbeitet.
jedes Voxel mit einem Dosiswert belegt. Bevor TRiP die CT’s verarbeitet, werden
von einem Medizin-Physiker die Volumes of Interest (VOI) bestimmt und in jeder
CT-Scheibe mit einer Kontur umlegt. Die VOI’s umfassen Tumor (Target) und Organs
at Risk (OAR). Bei einem OAR kann es sich z.B. um Hirnstamm, Chiasma
oder Sehnerv handeln, welche bei der Bestrahlungsplanung besonders berücksichtigt
werden müssen. Eine bearbeitete CT-Scheibe zeigt Abbildung 2.1.
Die Anzahl der Bestrahlungsfelder und deren Richtungen werden bei der Bestrahlungsplanung
manuell eingestellt. TRiP generiert, relativ zum Strahleintritt,
in jedem Feld die Isoenergieschichten. In jeder IES wird ein Punkteraster gelegt
und die x- bzw. y-Koordinaten der einzelnen Rasterpunkte werden berechnet. Die z-
Koordinaten der Rasterpunkte werden über die Anfangsenergien des Strahls, welche
aus den verfügbaren Beschleunigerenergien gewählt werden, bestimmt. Die Abstände
der Rasterpunkte in x-,y- und z-Richtung können vom Benutzer definiert werden.
Typische Abstände für die Therapie sind 2-3mm in alle drei Richtungen. Die Überlagerung
der Rasterpunkte, aus allen Scheiben und Feldern, definiert ein 3D-Gitter
im Target, welches bei der Bestrahlung abgefahren wird. In Abbilldung 2.2 ist das
23

2 Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie
Strahl
✏ ✏✏✏✶
y
x
Reichweite/Energie
Abbildung 2.2: Modellhafte Darstellung eines Zielvolumens (Ellipsoid) mit Isoenergieschichten
(gestrichelt) und den dazugehörigen Rasterpunkten. Die Größe der Rasterpunkte repräsentiert die
benötigte Teilchenfluenz um eine optimierte Dosis zu erhalten. Die hinterste IES (aus Sicht des
Strahls) bedarf der höchsten Teilchenfluenz. Wegen der Vorbestrahlung werden für die vorderste
IES lediglich geringe Teilchenzahlen benötigt. [Mit freundlicher Genehmigung Dr. C. Bert].
Modell eines Zielvolumens, mit Isoenergieschichten und den dazugehörigen Rasterpunkten,
zu sehen.
Ein wesentlicher Bestandteil der Bestrahlungsplanung ist der Optimierungsschritt.
In diesem werden mit implementierten Algorithmen die Teilchenzahlen für mehrere
zehntausend Rasterpunkte berechnet. Ziel der Optimierung ist eine adäquate Dosisverteilung
zu erhalten bei tragbarem Zeit- und Speicheraufwand. Die Kriterien für
eine gute Dosisverteilung sind die folgenden [B + 90]:
z
• Die applizierte Dosis im Target sollte sehr nahe an der vorgeschriebenen Dosis
liegen.
• Die Dosis sollte im Target homogen verteilt sein.
• In jedem OAR sollte die festgelegte tolerierbare Dosisgrenze nicht überschritten
werden.
• In dem umliegenden Gewebe, welches an das Target angrenzt, sollte wenig
Dosis appliziert werden.
Mit der mathematischen Formulierung des Optimierungsproblems beschäftigt sich
Abschnitt 2.3. Theoretische Diskussion und numerische Lösung des Optimierungsproblems
sind Schwerpunkt dieser Master-Thesis. Davor behandelt der folgende Abschnitt
noch Details zur Dosisberechnung.
24

2.2 Berechnung der Dosis
Abbildung 2.3: Vergleich zweier optimierten Dosisverteilungen in einer CT-Scheibe des Patientenplanes
#135. Die Farbskalierung entspricht dem prozentualen Anteil der vorgeschriebenen Dosis.
Da hier der Tumor (starke Kontur) um den Hirnstamm (schwache kreisförmige Kontur) herumwächst,
handelt es sich um einen komplexen Fall. In beiden Fällen kann im Target eine gute
Dosisverteilung beobachtet werden. Linkes Bild zeigt insgesamt dennoch eine unzufriedenstellende
Dosisverteilung, da im Hirnstamm relativ viel Dosis appliziert wird. Durch Änderungen in der
Bestrahlungsplanung und neuer Optimierung kann das gewünschte Resultat auf der rechten Seite
erreicht werden.
Als Ergebnis der Optimierung erzeugt TRiP einen Dosis-Würfel, der die dreidimensionale
Dosisverteilung im CT enthält. Dabei enthält jedes Voxel einen Dosiswert.
Für eine bessere Übersicht können Dosisverteilungen in den einzelnen CT-
Scheiben betrachtet werden. Bevor ein Bestrahlungsplan für einen Patienten verwendet
wird muss die Eignung des Plans überprüft werden. Dies geschieht, indem sich
ein Arzt oder Medizin-Physiker die Dosisverteilung in jeder einzelnen CT-Schicht ansieht
(siehe Abbildung 2.3). Bei deutlichen Abweichungen zu den oberen Kriterien
müssen gegebenenfalls Optimierungsparameter, technische Einstellungen, Bestrahlungsgeometrien
oder sonstiges geändert werden. Anschließend ist in der Regel eine
Wiederholung der Optimierung notwendig.
2.2 Berechnung der Dosis
2.2.1 Berechnung der physikalischen Dosis
Das folgende Strahlmodell, mit dem TRiP die physikalische Dosis (absorbierte Dosis)
berechnet, wurde speziell für 12 C-Ionenstrahlen entwickelt. Die partielle Dosis, die
ein einzelnes Strahlenbündel der Energie ES an Position r0 ∈ R 3 in Position r ∈ R 3
appliziert, ist gegeben durch [K + 00]:
D(ES, r)[Gy] = 1.6 · 10 −8
MeV
· d(ES, z)
gcm−2
1
·
2πσ
Tiefenbeitrag
2 [mm2
· exp −
] r2
2σ2
·N , (2.1)
Lateralbeitrag
wobei N die Anzahl der Teilchen, σ die Strahlbreite, r 2 = ||r − r0|| 2 2 der euklidische
Abstand und d(ES, z) die eindimensionale Tiefendosisverteilung ist. Dabei
25

2 Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie
wird angenommen, dass der Strahl lateral ein gaußförmiges Profil besitzt. Die eindimensionale
Tiefendosisverteilung d(ES, z) beschreibt, welche Dosis ein Strahl der
Anfangsenergie ES in Abhängigkeit der Tiefe z deponiert. Die Berechnung erfolgt
nach dem YIELD-Transportmodell. Dies wird detailiert in [K + 00] geschildert und
ist vollständiger Bestandteil von TRiP.
Die Gesamtdosis in einem CT-Voxel resultiert aus der Superposition von vielen
Dosisbeiträgen, die sich aus den jeweiligen Einzelstrahlen gemäß (2.1) ergeben. Dabei
repräsentiert jeder Rasterpunkt des Bestrahlungsplanes einen Einzelstrahl. In
TRiP werden prinzipiell in jedem Voxel die Dosisbeiträge der Strahlenbündel aller
Rasterpunkte aufsummiert. Dafür wird zu jedem Voxel i, von jedem Rasterpunkt j,
ein Lateral- und ein Tiefenbeitrag berechnet. Der Wert, der die Stärke dieser Dosis-Korrelation
angibt, wird mit cij bezeichnet. Mathematisch gesehen werden alle
Korrelationen, zwischen allen Voxeln und Rasterpunkten, in einer Dosis-Korrelations-Matrix
C zusammengefasst und cij sind dann dementsprechend die Matrixelemente:
C ∈ R q×p
≥0 , (cij)i=1,...,q ; j=1,...,p , (2.2)
wobei q der größte Voxelindex und p der größte Rasterpunktindex ist. Diese Definition
von q und p bleibt für den Rest dieser Master-Thesis bestehen. Die Zeilenanzahl
der Dosis-Korrelations-Matrix ist also gleich der Anzahl der Voxel und die Spaltenanzahl
ist gleich der Anzahl der Rasterpunkte im Bestrahlungsplan. Die Voxelanzahl
q setzt sich hier aus allen Target- und OAR-Voxeln zusammen, denn nur diese gehen
später in die Optimierung ein.
Mit der Dosis-Korrelations-Matrix C kann dann die gesamte physikalische Dosis
D i Phys , für alle Voxel i, als Funktion der Teilchenzahlen N aller Rasterpunkte, wie
folgt berechnet werden:
mit D i Phys
D i Phys( N)[Gy] =
p
j=1
cijNj = c T i · N , ci ∈ R p
≥0 , N ∈ R p
≥0 1 , (2.3)
: Rp
≥0 → R≥0 ∀ i. Die physikalische Dosis für ein Voxel i ergibt sich somit
aus dem kanonischen Skalarprodukt der i-ten Zeile von C mit dem Teilchenzahlvektor
N. Die Funktionalanalysis zeigt, dass ein Skalarprodukt stetig ist. 2 D.h., das
Funktional D i Phys ist stetig für alle i. Linearität der physikalischen Dosis in N ist offensichtlich.
Die Berechnung des Gradienten von (2.3), der später in der Optimierung
benötigt wird, befindet sich im Anhang in Unterabschnitt 8.2.1.
Da ein typischer Bestrahlungsplan mehrere zehntausend Rasterpunkte sowie Voxel
beinhaltet, würde die Implementation der vollständigen Dosis-Korrelations-Matrix
C zu einem großen Speicheraufwand führen. Ein Voxel i, welches lateral und in
der Tiefe von einem Rasterpunkt j weit entfernt liegt, erhält von diesem einen vernachlässigbaren
oder sogar gar keinen Beitrag. TRiP erlaubt die Einstellung eines
1In Abschnitt 2.3 wird erklärt, warum der Teilchenzahlvektor N p
im Raum R≥0 betrachtet wird.
2Die Stetigkeit des Skalarproduktes folgt aus dem Folgenkriterium und kann mit der Cauchy-
Schwarzschen-Ungleichung bewiesen werden [Heu92, Kre07].
26

Dosis [Gy (RBW)]
Überleben
✻
RBW
❄
Eindringtiefe [mm]
2.2 Berechnung der Dosis
RBW-g. Dosis
Phys. Dosis
Abbildung 2.4: Oben: Modellrechnung von TRiP mit zwei gegenüberliegenden Feldern. Physikalische
und RBW-gewichtete Dosis sind als Funktion der Eindringtiefe aufgetragen. Die Kohlenstoffstrahlen
variieren zwischen einer Anfangsenergie von 160 und 230MeV/u. Man beachte den starken
Beitrag der RBW auf die RBW-gewichtete Dosis. Unten: Experimentell gemessenes (Punkte) und
kalkuliertes Überleben (Linie) der Zellen, korrespondierend zu dem oberen Tiefendosisprofil. Die
weißen und schwarzen Punkte repräsentieren die Ergebnisse von zwei unabhängigen Experimenten.
Berechnetes und gemessenes Überleben ist in diesem Beispiel in guter Übereinstimmung. Abbildung
aus [Krä01].
Parameters ɛc, der eine obere Schranke darstellt, bis zu der die Dosis-Korrelations-
Werte cij nicht beachtet werden. Dabei entsteht eine dünnbesetzte (schwachbesetzte)
Matrix, die TRiP als Elementliste speichert. Bei der Wahl von ɛc = 2 · 10 −3 erhält
durchschnittlich jedes Voxel von ca. 1000 Rasterpunkten Beiträge. Die Vernachlässigung
der restlichen Rasterpunkte induziert einen geringen Dosisfehler von 0.5-1%,
der in der Bestrahlungsplanung akzeptabel ist [G + 08]. Das Speichern der Elementliste
kann bei größeren Bestrahlungsplänen dennoch mehrere Gigabytes erfordern.
2.2.2 Berechnung der RBW-gewichteten Dosis
Bei der Teilchentherapie müssen neben den physikalischen auch die biologischen
Effekte der Teilchenstrahlung berücksichtigt werden. D.h., die RBW muss in die
Bestrahlungsplanung integriert sein. Dies geschieht, indem die physikalische Dosis
mit der RBW gewichtet (multipliziert) wird. Wie bereits erwähnt wurde, die RBW
setzt sich in komplizierter Weise aus vielen physikalischen und biologischen Parametern
zusammen. Durch die Komplexität des Bestrahlungsfeldes ändert sich die
RBW von Punkt zu Punkt, also von Voxel zu Voxel, und kann deshalb nicht mit
einem globalen Wert belegt werden. Im Gegensatz dazu besitzen Protonen nur eine
schwach erhöhte biologische Wirksamkeit, die in der klinischen Anwendung mit ei-
27

2 Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie
ner konstanten RBW von 1.1 festgesetzt wird [Pag03]. Die Stärke des Beitrages der
RBW zur physikalischen Dosis, im Falle von 12C-Ionen, zeigt Abbildung 2.4.
Für die Berechnung der biologischen Effekte von 12C-Ionen ist das LEM in TRiP
implementiert [KS00]. Über das LEM kann in jedem Voxel i, in Abhängigkeit des
Teilchenzahlvektors N, die RBW bestimmt werden [Krä09]. Die RBW-gewichtete
Dosis wird mit Di Bio bezeichnet und mit der Einheit Gy (RBW) angegeben. Für die
RBW-gewichtete Dosis ergibt sich somit der folgende Ausdruck:
mit D i Bio
D i Bio( N)[Gy (RBW)] = D i Phys( N)
Gleichung (2.3)
· RBW i ( N) , N ∈ R p
≥0
: Rp
≥0 → R≥0 ∀ i, wobei für Kohlenstoffteilchen stets die Beziehung
, (2.4)
RBW i ( N) ≥ 1 ∀ i , (2.5)
mit RBW i
: R p
≥0 → R≥0 ∀ i, gilt. Gradient und Hesse-Matrix von (2.4) befinden
sich im Anhang in 8.2.2. Oftmals wird in der Literatur die Bezeichnung "Biologisch
Effektive Dosis" (BED), mit der Einheit GyE (Gray-Equivalent), für Di Bio verwendet.
In der Veröffentlichung [W + 07] der internationalen Atomenergieorganisation (IAEA)
wird der Begriff RBW-gewichtete Dosis mit der Einheit Gy (RBW) empfohlen, der
in dieser Master-Thesis verwendet wird.
Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird die RBW-gewichtete Dosis unter folgenden
Voraussetzungen betrachtet:
• Als Teilchensorte wird ausschließlich 12 C betrachtet.
• Als Dosen werden nur therapierelevante Werte betrachtet. Diese liegen in einem
Intervall von 0 bis ca. 10Gy (RBW).
• Für die Berechnung der RBW wird die sogenannte "lowdose-approximation"
verwendet. Mit dieser Methode können für therapierelevante Dosen die RBW-
Werte schnell berechnet werden. Eine genauere Metheode ist der sog. "classical
approach", der zwar exaktere RBW-Werte liefert, jedoch wesentlich zeitaufwändiger
ist. Mit der "lowdose-approximation" wird, gegenüber dem "classical
approach", lediglich ein tolerabler Fehler von 5% begangen. [KS06]
Unter den oberen Voraussetzungen kann für die RBW-gewichtete Dosis, in guter Approximation,
ein analytischer Ausdruck betrachtet werden. Dieser wird mit D i Bio(ana)
bezeichnet und sieht wie folgt aus:
28
D i Bio(ana)( N)[Gy (RBW)] =
αi · (c T i · N) + βi · (c T i · N) 2
βx
+
2 αx
2βx
− αx
, (2.6)
2βx
αx ∈ R>0 , βx ∈ R>0 , αi ∈ R>0 ∀ i , βi ∈ R>0 ∀ i , ci ∈ R p
≥0 , N ∈ R p
≥0

und D i Bio(ana)
Bezeichnungen:
: Rp
≥0 → R≥0 ∀ i.
2.3 Mathematische Formulierung der Optimierung
αx und βx : alpha- und beta-Wert aus der Photon-Survival-Curve.
αi und βi : alpha- und beta-Werte für jedes Voxel i.
Diese werden mit dem LEM berechnet.
ci : i-te Zeile aus der Dosis-Korrelations-Matrix C.
N : Teilchenzahlvektor für alle Rasterpunkte.
Eine genaue Herleitung des Ausdrucks (2.6) findet sich in [KS06]. Dass alle alphaoder
beta-Werte gleich Null wären, würde den Fall repräsentieren, dass keine Strahlung
auf Materie trifft, was im Hinblick auf die Therapie keinen Sinn ergeben würde.
Unter der Wurzel befinden sich ausschließlich nichtnegative Werte, die addiert, multipliziert
oder quadriert werden. Daher kann unter der Wurzel kein negativer Ausdruck
entstehen. Das Funktional Di Bio(ana) ist stetig, da es sich um eine Verkettung
handelt, in der alle Anteile stetig sind3 . In diesem Fall ist das Funktional sogar glatt,
also stetig differenzierbar. Die Nichtlinearität von Di Bio(ana) bzgl. N ist offensichtlich,
die Ableitungen befinden sich im Anhang in 8.2.3.
2.3 Mathematische Formulierung der Optimierung
Aufgabe der Optimierung ist die Bestimmung der Teilchenzahlen für alle Rasterpunkte
im Bestrahlungsplan. Die daraus resultierende Dosisverteilung soll die Qualitätskriterien
eines Bestrahlungsplanes (siehe Abschnitt 2.1) möglichst gut erfüllen.
Die Optimierung ist der aufwendigste Teil in der Bestrahlungsplanung.
Die mathematische Formulierung des Optimierungsproblems entspricht der Minimierung
einer endlichdimensionalen nichtlinearen Zielfunktion. Die Idee dabei ist,
die quadratischen Abweichungen, zwischen der vorgeschriebenen/tolerierbaren und
tatsächlich erzeugten Dosis, in allen Target/OAR-Voxeln, zu minimieren. Dabei sind
die Teilchenzahlen für alle Rasterpunkte die zu optimierenden Parameter.
Dieser Abschnitt ist folgendermaßen unterteilt:
1. Formulierung der Zielfunktion.
2. Formulierung des Optimierungsproblems.
3. Physikalische und technische Betrachtung des Optimierungsproblems.
4. Mathematische Betrachtung des Optimierungsproblems.
3 Aus der Analysis ist bekannt, dass eine Verkettung stetiger Funktionen stetig ist.
29

2 Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie
Den beiden letzten Punkten ist jeweils ein eigener Unterabschnitt gewidmet.
Die Zielfunktion hat folgende Gestalt:
χ 2 ( N) =
mit χ2 : R p
≥0 → R≥0.
Bezeichnungen:
Di pre − Di act( 2 N)
∆D
i∈Target
2 pre
Di max − Di act( 2 N)
+
i∈OAR
χ 2
∆D 2 max
· Θ D i act( N) − D i
max
,
(2.7)
: Bezeichnung der Zielfunktion
N ∈ R p
≥0 : Vektor, dessen j-te Komponente die Teilchenzahl
für den j-ten Rasterpunkt enthält
i ∈ Target/OAR, i = 1, . . . , q : Voxel aus dem Target/OAR-Volumen
Bemerkungen:
D i pre ∈ R≥0 : Vorgeschriebene Dosis im i-ten Target-Voxel
D i max ∈ R≥0 : Maximale Dosisgrenze im i-ten OAR-Voxel
D i act : R p
≥0 → R≥0 : Tatsächlich erzeugte Dosis im Voxel i
∆Dpre/max ∈ R>0 : Gewichtungsfaktor
Θ : Heaviside-Funktion
• Bei D i act handelt es sich um einen Platzhalter für eine Dosisfunktion aus Abschnitt
2.2. "act" ist eine Abkürzung für das englische Wort "actual", mit D i act
ist also die tatsächlich erzeugte Dosis gemeint.
• Die genaue Definition der Heaviside-Funktion Θ wird im folgenden Unterabschnitt
angegeben.
• Die obigen Bezeichnungen für die Parameter der Zielfunktion gelten für den
Rest dieser Master-Thesis. Die mathematischen Forderungen an die Parameter
werden im weiteren Verlauf nicht mehr explizit angegeben.
Das Optimierungsproblem lautet dann:
min χ 2 ( N) , (2.8)
u. d. N. Nj ≥ 0 ⇔ −Nj ≤ 0 ∀ j = 1, . . . , p . (2.9)
Bemerkung: Mit "min" ist "minimiere" gemeint und "u. d. N." bedeutet "unter der
Nebenbedingung".
30

2.3 Mathematische Formulierung der Optimierung
2.3.1 Physikalische und technische Betrachtung
Im weiteren Verlauf folgt die physikalische und technische Betrachtung des Optimierungsproblems.
• Die Zielfunktion setzt sich aus einer Target- und einer OAR-Summe zusammen.
Letztere wird für jedes OAR im Bestrahlungsplan einmal hinzugefügt.
Ein Bestrahlungsplan kann mehrere OAR’s enthalten (z.B. Auge links, Auge
rechts, Sehnerv links, Sehnerv rechts, Chiasma, Hirnstamm, Rückenmark,
etc.).
• Bei Dmax handelt es sich um die maximal tolerierbare Dosisgrenze für das
entsprechende OAR und wird stets als Anteil von Dpre angegeben:
Dmax = dfrac · Dpre , dfrac ∈ [0.3 ; 0.7] . (2.10)
Zu jedem OAR gehört ein eigenes dfrac.
• Im Target werden in jedem Voxel Über- und Unterdosierungen mit quadratischen
Abweichungen quantifiziert. Unterdosierungen in einem OAR spielen
keine Rolle und können daher bei der Optimierung vernachlässigt werden. Dies
wird mit der Heaviside-Funktion kontrolliert, die hier wie folgt definiert ist:
Θ D i act( N) − D i
max =
1 : D i act( N) > D i max ,
0 : D i act( N) ≤ D i max .
(2.11)
Weitere Betrachtungen der Heaviside-Funktion folgen im kommenden Unterabschnitt.
• Die Gewichtungsfaktoren ∆Dpre und ∆Dmax kontrollieren den Einfluss der
quadratischen Abweichungen. Damit eine Abweichung stärker gewichtet wird,
werden beide Faktoren mit kleinen Werten von
∆Dpre = 0.025 · Dpre bzw. ∆Dmax = 0.025 · Dmax (2.12)
belegt. Durch (2.10) besteht zwischen ihnen stets die Größenbeziehung:
∆Dmax < ∆Dpre . (2.13)
Somit wird eine Abweichung im OAR "härter bestraft" als im Target.
• In Abschnitt 2.1 wurden die vier Kriterien für eine gute Dosisverteilung gennant.
Mit der obigen Zielfunktion werden nur die ersten drei Kriterien modelliert.
Der vierte Punkt, dass die Dosis im umliegenden gesunden Gewebe,
welches an das Target angrenzt, so niedrig wie möglich sein sollte, geht nicht
in die Zielfunktion ein. Einbeziehung der Voxel aus dem umliegenden Gewebe
würde den Optimierungsaufwand deutlich erhöhen. Falls doch Voxel aus diesem
Bereich einbezogen werden sollen, so könnte bei der Bestrahlungsplanung
im gesunden Gewebe ein "künstliches" OAR-Volumen definiert werden.
31

2 Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie
• In die Zielfunktion (2.7) sind alle Bestrahlungsfelder einbezogen. D.h., der Teilchenzahlvektor
N setzt sich aus allen Rasterpunkten aus den entsprechenden
Feldern zusammen. Somit werden alle Felder simultan optimiert. Diese Methode
wird Mehrfelderoptimierung (MFO) genannt. Es gibt noch die Einzelfeldoptimierung
(EFO), bei der die Felder einzeln und unabhängig voneinander
optimiert werden. Bei der EFO wird ein anderer Ansatz für die Zielfunktion
verwendet. In [G + 08] wurde gezeigt, dass mit der MFO, im Gegensatz zur
EFO, bessere Optimierungsergebnisse erzielt werden können. Die EFO wird
noch bei der Voroptimierung eine Rolle spielen, die in Abschnitt 4.3 beschrieben
wird.
• Ein Bestrahlungsplan besteht typischerweise aus mehreren zehntausend Voxeln
als auch Rasterpunkten (bis zu 100000 bei sehr großen Bestrahlungsplänen).
Bei Auswertung der Zielfunktion muss die RBW für jedes Voxel berechnet
werden. Dabei handelt es sich um den zeitaufwändigsten Teil bei der Dosisberechnung.
In dieser Arbeit wird für die RBW-Berechnung die schnelle
"lowdose-approximation" verwendet. Dennoch ist die Auswertung der Zielfunktion
relativ zeitaufwändig.
• Bei der Optimierung ist der Gradient und die Hesse-Matrix der Zielfunktion
von großer Bedeutung. Durch die hohe Dimension des Teilchenzahlvektors N
entsteht für die Ableitungen ein großer Speicherbedarf. Dies gilt vor allem
für die Hesse-Matrix. Dieser Speicheraufwand kommt zusätzlich zu dem der
Dosis-Korrelations-Matrix C hinzu.
• An dieser Stelle wird die "Anzahl der Freiheitsgrade" (NDF) eingeführt. NDF
ist die Differenz zwischen der Anzahl der Voxel q und der Anzahl der Rasterpunkte
p:
NDF = q − p . (2.14)
In der Regel sind bei der Bestrahlungsplanung mehr Target- und OAR-Voxel
als Rasterpunkte enthalten. Damit ist NDF positiv. Die Verwendung von NDF
wird im Unterabschnitt 4.4.3 erklärt.
2.3.2 Mathematische Betrachtung
Als erstes soll das Optimierungsproblem (2.8)-(2.9) klassifiziert werden. Dafür wird
zuerst die zulässige Menge Z des Optimierungsproblems betrachtet. Diese wird von
den Nebenbedingungen (2.9) beschrieben und sieht damit wie folgt aus:
Z = R p
≥0 . (2.15)
Die Nebenbedingungen sind offensichtlich, da es keine negativen Teilchenzahlen für
einen Rasterpunkt geben kann. Für die Klassifizierung spielen folgende Punkte eine
Rolle:
32

2.3 Mathematische Formulierung der Optimierung
• Optimierung der RBW-gewichteten Dosis, diese ist relevant für die Therapie,
verlangt das Einsetzen von D i Bio oder Di Bio(ana) für Di act in die Zielfunktion.
Aus der Nichtlinearität der RBW-gewichteten Dosis folgt die Nichtlinearität
der Zielfunktion in N und somit liegt ein nichtlineares Optimierungsproblem
vor.
• Z wird ausschließlich durch Ungleichungen beschrieben. Damit ist Z nicht der
gesamte R p und hiermit ist ein ungleichungsrestringiertes Optimierungsproblem
vorhanden.
• Die Dimension des Optimierungsproblems ist p, also die Anzahl der Rasterpunkte
im Bestrahlungsplan. Da p nicht unendlich werden kann handelt es
sich um ein endlichdimensionales Optimierungsproblem.
• Streng gesehen müsste das Optimierungsproblem als ganzzahliges Optimierungsproblem
angesehen werden, da nur ganze Teilchen betrachtet werden
können. Das Optimierungsproblem wird dennoch als kontinuierliches Optimierungsproblem
(Optimierung mit reellen Zahlen) betrachtet. Ein ganzzahliges
Optimierungsproblem gehört zum Teilgebiet der "Diskreten Optimierung",
welche eine ganz andere und komplexere Herangehensweise als die kontinuierliche
Optimierung ist. Die Teilchenzahlen für einen Rasterpunkt liegen in Bereichen
von 5000 bis 500000. Bei so großen Zahlen kann das Optimierungsproblem
als ein kontinuierliches angesehen werden und die Optimierungskomponenten
können nach dem Optimierungsprozess gerundet werden. Dabei entsteht ein
vernachlässigbarer Fehler.
Bei dem Optimierungsproblem (2.8)-(2.9) handelt es sich somit um ein
nichtlineares ungleichungsrestringiertes endlichdimensionales kontinuierliches
Minimierungsproblem
.
Des Weiteren sind in der mathematischen Betrachtung noch folgende Punkte von
Interesse:
• Die zulässige Menge Z ist eine konvexe Menge. Die Diskussion, ob die Zielfunktion
eine konvexe Funktion ist, und ob damit ein konvexes Optimierungsproblem
vorliegt, findet in Unterabschnitt 3.2.2 statt. Konvexität eines Optimierungsproblems
spielt im Hinblick auf Eindeutigkeitsaussagen über eine
Lösung eine wesentliche Rolle.
• Die Heaviside-Funktion ist im klassischen/starken Sinne nicht differenzierbar.
Über die mathematische Theorie der Distributionen kann eine Ableitung
mit der Diracschen Delta-Funktion angegeben werden. Im Rahmen der
Optimierung wird dies nicht benötigt. Deshalb wird die Heaviside-Funktion
33

2 Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie
Abbildung 2.5: Foto des präparierten Biophantoms, welches direkt vor dem Strahlaustrittsfenster
platziert ist. Auf den Stäbchen wachsen die Zellen, die in das Nährmedium (rote Flüssigkeit)
eingetaucht sind.
beim Differenzieren der Zielfunktion als konstanter Faktor behandelt. Gradient
und Hesse-Matrix der Zielfunktion, die in der Optimierung eine essentielle
Rolle spielen, befinden sich im Anhang in Abschnitt 8.3. Bei der Herleitung
von notwendigen Optimalitätsbedingungen wird das Problem der nicht-
Differenzierbarkeit mit einer lokalen Glättung der Zielfunktion umgangen.
• Weitere Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften, als auch eine Glättung
der Zielfunktion, werden in Kapitel 3 betrachtet.
Im weiteren Verlauf dieser Arbeit liegt der Fokus auf der Lösung des Optimierungsproblems
(2.8)-(2.9). Ziel ist es, in adäquater Rechenzeit, das Minimum der Zielfunktion
zu ermitteln. In dem Minimum liegen die optimalen Teilchenzahlen, also:
NOpt := Optimale Teilchenzahlen . (2.16)
Dabei muss NOpt ein zulässiger Punkt sein, d.h. NOpt ∈ Z muss erfüllt sein.
Das nächste Kapitel widmet sich der theoretischen Diskussion des Optimierungsproblems.
Da die Zielfunktion nichtlinear in N ist, kann NOpt analytisch nicht bestimmt
werden und muss mit iterativen Verfahren angenähert werden. Mit der allgemeinen
Lösungsstrategie beschäftigt sich Kapitel 4. Auf die verwendeten Verfahren
und deren Ergebnisse sowie numerische Bewertung geht Kapitel 5 und 6 ein.
2.4 Experimentelle Verifikation
An der GSI wurde ein sog. Biophantom entwickelt [vN + 06]. Abbildung 2.5 zeigt das
Biophantom. Mit diesem kann über Messungen von Zellüberleben die Dosis in einem
Bestrahlungsplan experimentell verifiziert werden.
34

2.4 Experimentelle Verifikation
Zellüberleben (Messung) Zellüberleben (TRiP)
Abbildung 2.6: Vergleich von gemessenem Zellüberleben nach Bestrahlung mit 12 C-Ionen (linke
Seite) und berechnetem Zellüberleben mit TRiP (rechte Seite). Die Ansicht ist von oben auf das
Modell des Biophantoms. Auf der linken Seite repräsentiert ein Kästchen ein Stäbchen in dem Biophantom.
Die Farbskalierung entspricht dem prozentualem Überleben in Abhängigkeit des Ortes.
Hier handelt es sich um einen Bestrahlungsplan mit zwei Feldern, der eine komplexe Bestrahlungssituation
simuliert. Das gemessene ist mit dem berechneten Zellüberleben in guter Übereinstimmung.
Abbildung aus [Krä09].
In dem Biophantom können auf Stäbchen Zellen kultiviert werden. Die Stäbchen
sind senkrecht in einem Nährmedium platziert. Das präparierte Biophantom kann
anschließend unter Therapiebedingungen bestrahlt werden. Nach der Bestrahlung
wird an jedem einzelnen Stäbchen die Überlebensrate bestimmt. Aus dem Zellüberleben
können Rückschlüsse über die Dosis, an der Stelle wo das Stäbchen in dem
Biophantom platziert war, gemacht werden.
Abbildung 2.6 zeigt Zellüberlebenswerte aus dem Biophantom im Vergleich mit
einem optimierten Plan mit zwei Bestrahlungsfeldern. In diesem Beispiel handelt
es sich um einen komplexen Plan, da sich zwischen dem Targetvolumen gesundes
Gewebe befindet. Die Resultate zeigen, dass das gemessene Zellüberleben mit dem
berechneten Zellüberleben von TRiP in guter Übereinstimmung ist.
Näheres zum Biophantom und zur experimentellen Dosisverifikation befindet sich
in [KD10, Krä09, G + 08].
35

3 Theoretische Betrachtung des
Optimierungsproblems
In diesem Kapitel wird das Optimierungsproblem (2.8)-(2.9) theoretisch betrachtet.
Eine theoretische Betrachtung des Optimierungsproblemes ist wichtig. Einerseits
helfen die theoretischen Betrachtungen das Optimierungsproblem besser zu
verstehen und andererseits sind die dabei gewonnenen Erkenntnisse später bei der
numerischen Lösung des Optimierungsproblemes von Bedeutung.
Im ersten Abschnitt werden von der Zielfunktion die Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften
betrachtet, da diese im weiteren Verlauf eine bedeutende Rolle
einnehmen. In Abschnitt 3.2 folgt die Diskussion der Existenz und Eindeutigkeit eines
globalen Minimums des Optimierungsproblemes. Dabei muss eine Erweiterung
des Extremwertsatzes von Weierstraß verwendet werden, die die Unterhalbstetigkeit
und radiale Unbeschränktheit der Zielfunktion benötigt. Diese beiden Eigenschaften
der Zielfunktion werden in diesem Kapitel bewiesen. Im letzten Abschnitt werden
die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen für das Optimierungsproblem angegeben, die
die notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung darstellen. Diese besitzen jedoch
nur ihre Gültigkeit, wenn die Zielfunktion stetig-differenzierbar ist. Da dies
nicht der Fall ist, wird vor der Herleitung der Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
die χ 2 -Funktion in Abschnitt 3.3 geeignet geglättet.
3.1 Stetigkeits- und
Differenzierbarkeitseigenschaften der
Zielfunktion
In diesem Abschnitt werden die Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften
der Zielfunktion diskutiert. Diese Eigenschaften sind von großer Bedeutung bei der
theoretischen Analyse des Optimierungsproblems (2.8)-(2.9). Dabei soll die Zielfunktion
bei Optimierung mit dem analytischen Ausdruck für die RBW-gewichtete
Dosis betrachtet werden. Dies erfordert das Einsetzen von Di Bio(ana) (siehe (2.6)) für
Di act in der Zielfunktion. Die Zielfunktion wird dann mit χ2 Bio(ana) bezeichnet und
36

hat folgende Gestalt:
χ 2 Bio(ana)( N) =
3.1 Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften der Zielfunktion
Di pre − Di Bio(ana) ( 2 N)
∆D
i∈Target
2 pre
Di max − Di Bio(ana) ( 2 N)
+
i∈OAR
∆D 2 max
· Θ D i Bio(ana)( N) − D i
max
,
(3.1)
mit χ2 Bio(ana) : Rp≥0
→ R≥0.
Zuerst wird die Stetigkeit von χ2 Bio(ana) betrachtet. Dabei wird der Target- und
der OAR-Term seperat diskutiert. Anschließend folgt eine Zusammenfassung der
Stetigkeitseigenschaften der gesamten χ2 Bio(ana) -Funktion mit Angabe der Differenzierbarkeitseigenschaften.
Stetigkeitsbetrachtung des Target-Terms
Es ist ausreichend, die Stetigkeit für ein Target-Voxel i zu zeigen, denn für jedes
Target-Voxel i ist die Struktur im Target-Term die Gleiche. Ist die Stetigkeit für
alle Target-Voxel i gezeigt, kann für den Target-Term die Eigenschaft angewendet
werden, dass eine endliche Summe stetiger Funktionen stetig ist.
Wie bereits in Abschnitt 2.2.2 erwähnt wurde, das Funktional Di Bio(ana) ist stetig
für alle i. Di pre und ∆D2 pre sind Zahlen, die trivialerweise stetig sind. Die Differenz
im Zähler ist auch stetig. Die Differenz im Quadrat kann als quadratische Funktion
interpretiert werden, die ebenfalls stetig ist. Damit liegt in jedem Target-Voxel i eine
stetige Funktion vor, denn es handelt sich um eine Verkettung von ausschließlich
stetigen Teilen. Dies führt zur Stetigkeit des Target-Terms. 1
Stetigkeitsbetrachtung des OAR-Terms
Betrachtet man den OAR-Term ohne die Heaviside-Funktion Θ, dann gilt das Gleiche
wie oben, es muss nur D i pre und ∆D 2 pre mit D i max und ∆D 2 max ersetzt werden.
Da aber für jedes OAR-Voxel i die Heaviside-Funktion als Faktor vorkommt, ist der
OAR-Term unstetig, da die Heaviside-Funktion eine Sprungfunktion ist.
Zusammenfassung und Differenzierbarkeitseigenschaften
Da der OAR-Term unstetig ist, ist die χ2 Bio(ana) -Funktion unstetig. Die Unstetigkeit
wird ausschließlich durch die Heaviside-Funktion Θ induziert. Da die Heaviside-
Funktion eine Sprungfunktion ist, ist die χ2 Bio(ana) -Funktion im klassischen Sinne
nicht differenzierbar.
1 Alle hier getroffenen Aussagen zur Stetigkeit sind z.B. in [Heu84] zu finden.
37

3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems
3.2 Existenz und Eindeutigkeit eines Minimums
3.2.1 Existenz eines Minimums
In diesem Unterabschnitt soll die Existenz eines globalen Minimums von dem Optimierungsproblem
(2.8)-(2.9) gezeigt werden. Dabei wird die χ2 Bio(ana) -Funktion als
Zielfunktion verwendet. Das Standardargument für die Existenz eines Minimums ist
der Extremwertsatz von Weierstraß (siehe Satz 8.1 im Anhang). Dieser setzt die Stetigkeit
der Funktion und Kompaktheit der Menge, auf der die Funktion betrachtet
wird, voraus. Da die χ2 Bio(ana) -Funktion unstetig und die zulässige Menge (2.9) nicht
kompakt ist, so kann nicht der Extremwertsatz von Weierstraß, weder in der Form
in Satz 8.1 noch mit Betrachtung von Niveau-Mengen wie in Satz 8.3, als Existenzkriterium
verwendet werden. Ist jedoch die Zielfunktion unterhalbstetig und radial
unbeschränkt, kann die erweiterte Version des Extremwertsatzes von Weierstraß aus
Abschnitt 8.7 angewendet werden. Dies ist das Ziel in diesem Unterabschnitt.
Im Weiteren wird in 3.2.1.1 die Unterhalbstetigkeit und in 3.2.1.2 die radiale
Unbeschränktheit der χ2 Bio(ana) -Funktion bewiesen. Mit diesen Ergebnissen wird dann
in 3.2.1.3 die Existenz mindestens eines globalen Minimums gezeigt.
3.2.1.1 Unterhalbstetigkeit der Zielfunktion
An dieser Stelle soll gezeigt werden, dass die χ2 Bio(ana) -Funktion unterhalbstetig ist.
Die dafür benötigten Definitionen, Eigenschaften und Veranschaulichungen zu unterhalbstetigen
Funktionen befinden sich im Anhang in Abschnitt 8.5.
Als erstes wird gezeigt, dass die Heaviside-Funktion Θ unterhalbstetig ist. Dabei
genügt es, die Unterhalbstetigkeit für ein beliebiges OAR-Voxel i zu zeigen, denn
die Struktur der Heaviside-Funktion ist in jedem OAR-Voxel die Gleiche. Für eine
bessere Übersicht wird die Heaviside-Funktion hier nochmals angegeben:
Θ D i Bio(ana)( N) − D i
max =
1 : D i Bio(ana) ( N) > D i max ,
0 : D i Bio(ana) ( N) ≤ D i max .
(3.2)
Eine graphische Veranschaulichung der obigen Heaviside-Funktion zeigt Abbildung
3.1.
Satz 3.1
Die äußere Heaviside-Funktion Θ mit der inneren Verkettung D i Bio(ana) ( N) − D i max
in (3.2) ist unterhalbstetig.
Beweis: Für das Argument der Heaviside-Funktion wird die Hilfsvariable ξ eingeführt,
also:
ξ := D i Bio(ana)( N) − D i max . (3.3)
In diesem Beweis wird dann Θ(ξ) betrachtet. Man kann im weiteren Verlauf dieses
Beweises mit der Substitution (3.3) arbeiten. Ist die Unterhalbstetigkeit für die
38

3.2 Existenz und Eindeutigkeit eines Minimums
Θ
Abbildung 3.1: Graphische Veranschaulichung der Heaviside-Funktion aus (3.2) in Abhängigkeit
der Hilfsvariable ξ. Die Heaviside-Funktion in dieser Form ist unterhalbstetig. Die Unterhalbstetigkeit
ist unter anderem daran zu erkennen, dass die Funktion an keiner Stelle nach unten springt.
aüßere Funktion Θ gezeigt, dann bleibt diese mit der inneren Verkettung unterhalbstetig,
da der innere Teil D i Bio(ana) ( N) − D i max stetig ist. Eine unterhalbstetige
Funktion mit einer inneren verkettet, wobei die innere Funktion stetig ist, bleibt
unterhalbstetig. Die Heaviside-Funktion ist überall stetig mit Ausnahme der Stelle
ξ = 0. Diese Stelle wird mit ξ0 bezeichnet. Sie repräsentiert den Fall:
ξ0
ξ0 := 0 =⇒ D i Bio(ana)( N) = D i max . (3.4)
Wegen der Stetigkeit der Heaviside-Funktion außerhalb der Stelle ξ0 ist sie dort
auch unterhalbstetig (siehe Eigenschaften in Abschnitt 8.5). Jetzt muss nur noch
Unterhalbstetigkeit in ξ0 gezeigt werden und die Unterhalbstetigkeit der Heaviside-
Funktion ist bewiesen. Unterhalbstetigkeit in ξ0 lässt sich dann aus Definition 8.4
folgern. Für jedes ɛ > 0 existiert eine beliebige Umgebung U von ξ0, so dass
Θ(y) > Θ(ξ0) − ɛ (3.5)
für ein beliebiges y ∈ U gilt. Θ(y) kann nur die Werte 1 oder 0 annehmen und daraus
können sich in (3.5) lediglich die beiden folgenden Fälle ergeben:
1 > 0 − ɛ , (3.6)
0 > 0 − ɛ . (3.7)
Bei Betrachtung von Abbildung 3.1 sieht man, dass die Heaviside-Funktion aus
(3.2) an keiner Stelle nach unten springt, was die anschauliche Bedeutung einer unterhalbstetigen
Funktion ist.
Aus der Unterhalbstetigkeit der Heaviside-Funktion in jedem OAR-Voxel i folgt:
ξ
39

3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems
Satz 3.2
Die Zielfunktion χ 2 Bio(ana)
ist unterhalbstetig.
Beweis: Hier kann mit den Eigenschaften unterhalbstetiger Funktionen aus Abschnitt
8.5 argumentiert werden. Der Target-Term und der OAR-Term (ohne die
Heaviside-Funktion Θ) sind unterhalbstetig, da diese stetig sind. Der gesamte OAR-
Term ist unterhalbstetig, da dieser ein Produkt von zwei nichtnegativen und unterhalbstetigen
Funktionen ist. Die χ2 Bio(ana) -Funktion ist damit eine Summe zweier
unterhalbstetiger Funktionen, die wiederum unterhalbstetig ist.
3.2.1.2 Radiale Unbeschränktheit der Zielfunktion
Hier soll die radiale Unbeschränktheit der χ2 Bio(ana) -Funktion gezeigt werden. Die Definition
einer radial unbeschränkten Funktion befindet sich im Anhang in Abschnitt
8.6. Für die radiale Unbeschränktheit der χ2 Bio(ana) -Funktion wird noch der folgende
Satz benötigt:
Satz 3.3
Der analytische Ausdruck für die RBW-gewichtete Dosis D i Bio(ana) ( N) aus (2.6) ist
auf der zulässigen Menge Z radial unbeschränkt.
Beweis: Der Beweis wird wieder für ein beliebiges Voxel i gezeigt, denn in jedem
Voxel hat D i Bio(ana) ( N) die gleiche Struktur. Für die radiale Unbeschränktheit kön-
nen in dem Ausdruck für D i Bio(ana) ( N) alle αx, βx, αi und βi vernachlässigt werden,
da diese positive Konstanten sind. Daher kann man sich auf folgenden Ausdruck
beschränken:
D i Bio(ana)( N) =
(c T i · N) + (c T i · N) 2 . (3.8)
Als erstes soll der Ausdruck unter der Wurzel betrachtet werden, also:
lim
||
(c
N||→∞
T i · N) + (c T i · N) 2
. (3.9)
Aus den Gesetzen der Grenzwertbildung folgt:
lim
|| (c
N||→∞
T i · N) + lim
|| (c
N||→∞
T i · N) 2
. (3.10)
Die Komponenten von c T i sind alle nichtnegativ und es gilt die Einschränkung N ∈
R p
≥0 . Man muss hier noch den Fall ausschließen, dass bei einem cT i alle Komponenten
Null sind. c T i sind Zeilen aus der Dosis-Korrelations-Matrix C. Würden in den Zeilen
alle Komponenten den Wert 0 haben, dann würde dass den Fall repräsentieren,
dass keine Strahlung auf irgendeine Materie trifft, was im Hinblick auf die Therapie
keinen Sinn ergeben würde. Daher werden in dem kanonischen Skalarprodukt c T i · N
40

3.2 Existenz und Eindeutigkeit eines Minimums
positive Zahlen miteinander multipliziert und addiert. Daraus folgt, wenn man N
gegen unendlich laufen lässt:
lim
|| (c
N||→∞
T i · N) + lim
|| (c
N||→∞
T i · N) 2 = ∞ + ∞ = ∞ . (3.11)
Dieses Ergebnis und das streng monotone Wachstum der Wurzelfunktion ergibt:
lim
|| D
N||→∞
i Bio(ana)( N) = +∞ . (3.12)
Damit ist der Satz bewiesen, denn aus der radialen Unbeschränktheit von D i Bio(ana)( N)
folgt die radiale Unbeschränktheit von D i Bio(ana) ( N).
Mit der radialen Unbeschränktheit von D i Bio(ana) ( N) kann nun der folgende Satz
angegeben und bewiesen werden:
Satz 3.4
Die Zielfunktion χ 2 Bio(ana)
ist radial unbeschränkt.
Beweis: Da der OAR-Term eine nichtnegative Funktion ist, kann er bei der Betrachtung
der radialen Unbeschränktheit der χ2 Bio(ana) -Funktion vernachlässigt werden
und man kann sich auf folgenden Ausdruck beschränken:
χ 2 Bio(ana)( N) =
i∈Target
Di pre − Di Bio(ana) ( 2 N)
∆D 2 pre
. (3.13)
Aus der radialen Unbeschränktheit von χ2 Bio(ana) folgt die radiale Unbeschränktheit
von χ2 Bio(ana) . Es ist ausreichend, die radiale Unbeschränktheit für ein Target-Voxel
i zu zeigen, also für:
Di pre − Di Bio(ana) ( 2 N)
, (3.14)
∆D 2 pre
denn in jedem i liegt die gleiche Struktur vor. Da ∆D 2 pre eine positive Konstante
ist, so ist der Ausdruck in (3.14) eine positive quadratische Funktion 2 , mit dem
Argument
D i pre − D i Bio(ana)( N) . (3.15)
D i pre ist ebenfalls eine positive Konstante. Da D i Bio(ana) ( N) radial unbeschränkt ist
und wegen der radialen Unbeschränktheit einer positiven quadratischen Funktion
gilt:
lim
|| N||→∞
Di pre − Di Bio(ana) ( 2 N)
∆D 2 pre
= +∞ . (3.16)
2 Mit einer positiv quadratischen Funktion ist eine nach oben geöffnete Parabel gemeint.
41

3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems
Damit ist in jedem Target-Voxel i eine radial unbeschränkte Funktion vorhanden.
Die Summe von radial unbeschränkten Funktionen ist wiederum radial unbeschränkt
(siehe Bemerkungen in Abschnitt 8.6) und somit folgt:
lim
|| χ
N||→∞
2 Bio(ana)( N) = +∞ . (3.17)
Da aus der radialen Unbeschränktheit von χ2 Bio(ana) die radiale Unbeschränktheit
von χ2 Bio(ana) folgt, ist der Satz bewiesen.
3.2.1.3 Anwendung auf den Extremwertsatz von Weierstraß
Mit dem Ergebnis, dass die χ2 Bio(ana) -Funktion unterhalbstetig und radial unbeschränkt
ist, kann folgende Existenzaussage getroffen und bewiesen werden:
Satz 3.5
Das Optimierungsproblem
min χ 2 Bio(ana)( N) , (3.18)
u. d. N.
N ∈ Z = R p
≥0
, (3.19)
besitzt mindestens ein globales Minimum auf der zulässigen Menge Z.
Beweis: Hier kann der erweiterte Satz von Weierstraß (Satz 8.8) aus dem Anhang
angewendet werden. Die zulässige Menge Z ist nichtleer und abgeschlossen. Des Weiteren
ist die Zielfunktion χ2 Bio(ana) unterhalbstetig (Satz 3.2) und radial unbeschränkt
(Satz 3.4) auf Z. Dies sind alle Forderungen, die in Satz 8.8 gestellt werden. Damit
besitzt die χ2 Bio(ana) -Funktion mindestens ein globales Minimum auf Z.
3.2.2 Eindeutigkeit eines Minimums
Die iterativen Verfahren, die zur numerischen Lösung des Optimierungsproblems
verwendet werden (siehe Abschnitt 4.1), können nur lokale Minima ermitteln. Da die
Existenz mindestens eines Minimums gezeigt ist, ist es von großer Bedeutung, ob das
Minimum eindeutig ist oder ob noch andere existieren können. Dies ist wichtig, denn
bei mehreren Minima könnte der entsprechende Algorithmus bei unterschiedlichen
Startpunkten gegen unterschiedliche Lösungen konvergieren.
Ob ein lokales Minimum gleichzeitig globales Minimum ist, wird in der Regel
über die Konvexität der Zielfunktion gezeigt. Für den Nachweis der Eindeutigkeit
des Minimums wird die strengere Bedingung der strikten Konvexität benötigt. Der
entsprechene Satz dazu befindet sich im Anhang in Abschnitt 8.8. Der Nachweis der
strikten Konvexität einer Zielfunktion ist alles andere als trivial, da zum Beispiel
die positive Definitheit der Hesse-Matrix der Zielfunktion auf der zulässigen Menge
42

3.3 Glättung der Zielfunktion
gezeigt werden muss3 . Bei hochgradig nichtlinearen Optimierungsproblemen ist dies
oft nicht möglich.
Ist die Zielfunktion nicht konvex, heißt es nicht notwendigerweise, dass mehrere
Minima existieren müssen. Funktionen, die nicht konvex sind, können ein eindeutiges
Minimum haben, der Nachweis davon ist allerdings noch schwieriger als im strikt
konvexen Fall. Dies ist jedoch die Situation bei der χ2 Bio(ana) -Funktion. Im OAR-Term
ist die Heaviside-Funktion enthalten, diese ist nicht konvex und damit ist dann auch
im Optimierungsproblem die Zielfunktion χ 2 Bio(ana)
nicht konvex. Aufgrund dieser
komplexen Situation wird auf den Nachweis der Eindeutigkeit eines Minimums im
weiteren verzichtet.
In [Sch06] konnte gezeigt werden, dass ein iteratives Verfahren bei unterschiedlichen
Sartwerten in das gleiche Minimum läuft. Dies ist zwar kein mathematischer
Nachweis der Eindeutigkiet eines Minimums, lässt dies aber vermuten.
3.3 Glättung der Zielfunktion
Im nächsten Abschnitt soll für das Optimierungsproblem (2.8)-(2.9) die notwendige
Optimalitätsbedingung erster Ordnung hergeleitet werden. Bei einem restringierten
Optimierungsproblem sind das die bekannten Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
(KKT-Bedingungen). Diese besitzen jedoch nur ihre Gültigkeit, wenn die Zielfunktion
stetig differenzierbar4 , also eine C1-Funktion, ist [GK02].
Betrachtung der Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften der χ2 Bio(ana) -
Funktion fand in Abschnitt 3.1 statt, mit dem Resultat, dass der Target-Term und
der OAR-Term, ohne die Heaviside-Funktion Θ, stetig ist. Bei genauerem hinsehen
erkennt man schnell, dass diese beiden Objekte auch stetig-differenzierbar sind,
da sie sich ausschließlich aus stetig-differenzierbaren Teilen zusammensetzen. Lediglich
die Heaviside-Funktion Θ ist nicht stetig, da diese eine Sprungfunktion ist. In
diesem Abschnitt soll diese adäquat geglättet, also mit einer glatten Funktion approximiert,
werden. Mit einer hinreichend5 guten Glättung der Heaviside-Funktion
Θ kann eine hinreichend gute Approximation der χ2 Bio(ana) -Funktion erreicht werden,
die stetig-differenzierbar ist. Für die geglättete Zielfunktion können dann anschließend
im folgenden Abschnitt die KKT-Bedingungen hergeleitet werden.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Heaviside-Funktion Θ hinreichend gut zu glätten.
Eine Möglichkeit wäre, sie mit einem Polynom, z.B. einem Polynom dritten Grades,
zu glätten. In dieser Arbeit soll die Heaviside-Funktion Θ mit einer angepassten Tangens
Hyperbolicus-Funktion geglättet werden, da sich diese dafür relativ gut eignet.
Eine Tangens Hyperbolicus-Funktion ist glatt und damit stetig-differenzierbar.
3 Der Nachweis der positiven Definitheit einer Matrix kann oft nur über die Eigenwerte gezeigt
werden. Bei großen Matrizen ist die Eigenwertberechnung extrem aufwendig.
4 Eine stetig differenzierbare Funktion besitzt die Eigenschaft, dass ihre Ableitung mindestens
stetig ist.
5 Mit hinreichend glatt ist gemeint, dass eine Funktion hinreichend oft differenzierbar ist.
43

3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems
a = 1
a = 2
a = 10
Θ(x)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
4 2 2 4
0
Abbildung 3.2: Graphische Veranschaulichung der Glättung der Heaviside-Funktion Θ(x). Die
Heaviside-Funktion ist die rote Funktion, die Tangens Hyperbolicus-Funktionen werden von den
anderen Farben repräsentiert. Es ist zu erkennen, dass die Heaviside-Funktion Θ(x) gut mit der
tanh-Funktion aus (3.20) im glatten Sinne approximiert werden kann. Je größer der Parameter
a > 0 gewählt wird, desto besser ist die Approximation der Heaviside-Funktion Θ(x). Bereits
mit a = 10 erhält man eine relativ gute Approximation, da der Sprung an der Stelle x = 0 gut
nachgestellt werden kann.
Eine Heaviside-Funktion Θ(x), x ∈ R, kann mit folgender Funktion im glatten
Sinne hinreichend gut approximiert werden:
Θ(x) ≈ 1 1
+ · tanh(a · x) =
2 2
1
1 + e −2a·x , x ∈ R , a ∈ R>0 . (3.20)
Je größer der Parameter a, desto besser ist diese Approximation, da der vertikale
Sprung an der Stelle x = 0 besser nachgestellt werden kann (siehe Abbildung 3.2).
Des weiteren gilt, wenn x = 0 vorausgesetzt wird:
1 1
Θ(x) = lim + · tanh(a · x) . (3.21)
a→∞ 2 2
Die Konvergenzgeschwindigkeit in (3.21) hängt von der Variablen x ab.
Obiges kann dann einfach auf die Heaviside-Funktion Θ in der Zielfunktion
aus (3.1) folgendermaßen übertragen werden:
χ 2 Bio(ana)
Θ D i Bio(ana)( N) − D i
max ≈ 1 1
+ · tanh a · D
2 2 i Bio(ana)( N) − D i
max
x
, (3.22)
mit einem hinreichend großen a > 0. Jetzt ist es möglich eine hinreichend gute
Approximation der Zielfunktion χ2 Bio(ana) mit einer stetig-differenzierbaren Funktion
anzugeben. Die Approximierende wird mit χ2 Bio(glatt) bezeichnet und hat folgende
44

Struktur:
χ 2 Bio(glatt)( N) =
+
i∈OAR
mit χ 2 Bio(glatt)
Di pre − Di Bio(ana) ( 2 N)
∆D
i∈Target
2 pre
Di max − Di Bio(ana) ( 2 N)
∆D 2 max
·
3.4 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
1 1
+ · tanh a · D
2 2 i Bio(ana)( N) − D i
max
: Rp
≥0 → R≥0. Bei einem hinreichend großen a > 0 gilt dann:
,
(3.23)
χ 2 Bio(ana)( N) ≈ χ 2 Bio(glatt)( N) . (3.24)
Es ist offensichtlich, dass je größer der Parameter a > 0 gewählt wird, desto besser
ist die Approximation in (3.24).
Die χ2 Bio(glatt) -Funktion ist glatt, da sie ausschließlich aus glatten Teilen besteht.
Eine Komposition von glatten Funktionen induziert wiederum eine glatte Funktion.
Daher kann mindestens davon ausgegangen werden, dass die χ2 Bio(glatt) -Funktion
stetig-differenzierbar ist, also dass mindestens
und damit
χ 2 Bio(glatt) ∈ C 1 ( N) (3.25)
∇χ 2 Bio(glatt) ∈ C 0 ( N) p
(3.26)
gilt. Die Bedingungen (3.25) und (3.26) sind mathematisch ausreichend für die im
folgenden stattfindende Herleitung und Diskussion der KKT-Bedingungen.
3.4 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
In der Optimierung spielen die notwendigen Optimalitätsbedingungen eine bedeutende
Rolle. Notwendige Optimalitätsbedingungen sind Kriterien, die notwendigerweise
von einem lokal optimalen Punkt NOpt erfüllt werden müssen.
Bei der unrestringierten Optimierung ist die notwendige Optimalitätsbedingung
erster Ordnung einfach. Diese ist nichts weiter, als das ein lokal optimaler Punkt
NOpt stationär 6 sein muss, also dass folgendes gilt:
∇χ 2 ( NOpt) = 0 . (3.27)
Für die restringierte Optimierung kann die notwendige Optimalitätsbedingung erster
Ordnung aus (3.27) nicht einfach so übernommen werden. Der Grund ist, dass bei
der restringierten Optimierung lokal optimale Punkte nicht notwendigerweise (3.27)
6 Mit Stationarität ist der geometrisch anschauliche Fall gemeint, dass in einem Punkt die Tangenten
in alle möglichen Richtungen keine Steigung haben.
45

3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems
erfüllen müssen. Daher muss (3.27) geeignet erweitert werden, was zu den Karush-
Kuhn-Tucker-Bedingungen (KKT-Bedingungen) führt.
Bevor die KKT-Bedingungen hergeleitet werden, wird hier nochmals für eine bessere
Übersicht das Optimierungsproblem aufgeschrieben. Dabei wird als Zielfunktion
χ 2 Bio(glatt) betrachtet:
min χ 2 Bio(glatt)( N) , (3.28)
u. d. N. Nj ≥ 0 ⇔ −Nj ≤ 0 ∀ j = 1, . . . , p , (3.29)
p ist der größte/letzte Index eines Rasterpunktes.
Die KKT-Bedingungen lassen sich übersichtlicher mit der Lagrange-Funktion
aufstellen. Zu dem obigen Optimierungsproblem (3.28)-(3.29) sieht die Lagrange-
Funktion L wie folgt aus:
L( N, λ) = χ 2 Bio(glatt)( N) +
p
λj · (−Nj) , (3.30)
mit L : R p × R p → R. λ ist der sogenannte Lagrange-Multiplikator. Die Lagrange-
Funktion fasst somit ein allgemeines Optimierungsproblem (also Zielfunktion und
alle Nebenbedingungen) in einer Funktion L zusammen. Weiteres zur Lagrange-
Funktion findet sich z.B. in [Ulb07, GK02].
Mit Hilfe der Lagrange-Funktion L aus (3.30) können jetzt die KKT-Bedingungen
angegeben werden:
Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen zu (3.28)-(3.29)
Es existiert ein ¯ λ ∈ R p mit
1) −N Opt
j
j=1
≤ 0 ∀ j = 1, . . . , p (Zulässigkeit) , (3.31)
2) ∇ N L( NOpt, ¯ λ) = 0 (Multiplikatorregel) , (3.32)
3) ¯ λ ≥ 0 , ¯ λ T · (− NOpt) = 0 (Komplementaritätsbedingung) . (3.33)
1) ist offensichtlich und besagt nichts weiter, als dass alle Optimierungskomponenten
in der zulässigen Menge (3.29) liegen müssen. Die Ungleichung in 3) ist komponentenweise
zu verstehen. Der Ausdruck in 2)
∇ N L( NOpt, ¯ λ) (3.34)
ist der Gradient der Lagrange-Funktion bzgl. der Variablen N. Ausgeschrieben sieht
dieser folgendermaßen aus:
∇ N L( NOpt, ¯ λ) = ∇χ 2 Bio(glatt)( NOpt) − ¯ λ . (3.35)
Mit den obigen KKT-Bedingungen kann jetzt für das Optimierungsproblem (3.28)-
(3.29) die notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung angegeben werden:
46

3.4 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
Satz 3.6
Sei NOpt ein lokales Minimum des Optimierungsproblemes (3.28)-(3.29). Sind zudem
die Zielfunktion und alle auftretenden Nebenbedingungen stetig-differenzierbar,
dann gelten für NOpt die KKT-Bedingungen (3.31)-(3.33).
Bemerkungen:
• Das Resultat, dass die Zielfunktion (3.28) stetig-differenzierbar ist, befindet
sich in Abschnitt 3.3. Dass die Nebenbedingungen (3.29) stetig-differenzierbar
sind, ist trivial.
• Ein Punkt NOpt, der (3.31)-(3.33) erfüllt, wird KKT-Punkt oder stationärer
Punkt des Optimierungsproblems genannt.
• Die KKT-Bedingungen können als eine Art der Abstraktion des geometrischen
Begriffes der Stationarität interpretiert werden.
• Das KKT-System kann, weil die Nebenbedingungen in (3.29) einfach sind, in
die äquivalente und anschaulichere Form umformuliert werden:
∇χ 2 Bio(glatt)( NOpt)j =
0 falls − N Opt
j
≥ 0 sonst .
< 0 ,
(3.36)
Bei der ersten Zeile in (3.36) ist die Optimierungskomponente j im strikt inneren
der zulässigen Menge und bei der zweiten Zeile liegt die Optimierungskomponente
j auf dem Rand der zulässigen Menge.
(3.36) kann in einem numerischen Optimierungsverfahren, in leicht abgewandelter
Form, als Abbruchkriterium verwendet werden. Dazu mehr am Ende
von Abschnitt 4.1.
• In der KKT-Theorie spielt der Begriff "Abadie Constraint Qualification" eine
wesentliche Rolle. Dabei sind die Begriffe Tangentialkegel und Linearisierungskegel,
als auch deren Beziehung zueinander, von großer Bedeutung. Die
KKT-Bedingungen gelten nämlich nur, wenn für ein lokales Optimum NOpt
die "Abadie Constraint Qualification" erfüllt ist. Bedingungen, die die "Abadie
Constraint Qualification" sicherstellen, werden in der Optimierung als
"Constraint Qualifications" bezeichnet, von denen mehrere existieren. Eine
von den "Constraint Qualifications" ist, dass in einem nichtlinearen Optimierungsproblem
alle auftretenden Nebenbedingungen linear sind. Dies ist bei
dem Optimierungsproblem (3.28)-(3.29) der Fall und damit gilt die "Abadie
Constraint Qualification" für ein lokales Minimum NOpt. Daher besitzen die
KKT-Bedingungen (3.31)-(3.33) für das Optimierungsproblem (3.28)-(3.29)
ihre Gültigkeit.
47

3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems
48
Weiter soll hier auf die "Abadie Constraint Qualification" und "Constraint
Qualifications" nicht eingegangen werden, da dies umfangreich ist und im weiteren
Verlauf dieser Arbeit nicht mehr benötigt wird. Näheres dazu findet sich
z.B in [Ulb07, GK02].

4 Nichtlineare Optimierung
In diesem Kapitel wird das Wichtigste zur numerischen Lösung des Optimierungsproblems
(2.8)-(2.9) zusammengefasst. Der erste Abschnitt gibt eine Einführung in
die sogenannten Linesearch-Verfahren. Im darauffolgenden Abschnitt werden zwei
Schrittweitenstrategien vorgestellt. In Abschnitt 4.3 wird die Voroptimierung erklärt.
Diese ist wichtig, den das Ergebnis der Voroptimierung wird als Startpunkt
für die Linesearch-Verfahren verwendet. Der letzte Abschnitt behandelt noch einige
Details zur numerischen Optimierung, wie z.B. die verwendete Rechnerarchitektur
und der verwendete Bestrahlungsplan, über die Bewertung der Verfahren und abschließend
zwei Bemerkungen zur Implementierung der Verfahren.
Bemerkung: Die Kapitel 4, 5 und 6 beschäftigen sich mit der numerischen Lösung des
Optimierungsproblemes (2.8)-(2.9). Dabei wird ausschließlich die RBW-gewichtete
Dosis optimiert. Die RBW-Werte werden in dieser Arbeit mit der ersten Version
des LEMs, das LEM I, berechnet. Aus Platzgründen wird die Zielfunktion in den
Kapiteln 4, 5 und 6 nicht mehr mit χ2 Bio(ana) oder χ2Bio bezeichnet, sondern nur noch
mit χ2 .
4.1 Numerische Minimierung mit
Linesearch-Verfahren
Die Nichtlinearität des Optimierungsproblemes (2.8)-(2.9) lässt keine analytische
Lösung zu. Die einzige Möglichkeit, einen Lösungsvektor NOpt zu erhalten, ist eine
Lösung mit numerischen Methoden. Da die Zielfunktion minimiert werden soll, ist
es naheligend, mit einem Iterationsverfahren ein Abstiegsverfahren zu erzeugen. Bei
einem Abstiegsverfahren erüllt eine Folge Nk, ausgehend von einem Startpunkt N0,
die folgende Bedingung:
χ 2 ( Nk+1) < χ 2 ( Nk) , k = 0, 1, 2, 3, . . . . (4.1)
k ist der Iterationsindex des Verfahrens. Ziel ist es, dass die Folge Nk gegen ein
NOpt konvergiert. Es gibt zwei Klassen von Abstiegsverfahren, die sogenannten
Linesearch-Verfahren und die Trust-Region-Verfahren [Ulb07]. In dieser Arbeit werden
nur Linesearch-Verfahren verwendet. Linesearch-Verfahren sind die klassischen
Verfahren zur Lösung nichtlinearer Optimierungsaufgaben und sind bis jetzt besser
untersucht. Trust-Region-Verfahren spielen eher bei neueren Verfahrenskonzepten
eine Rolle [Alt02].
49

4 Nichtlineare Optimierung
Ein Linesearch-Verfahren verwendet bei der Berechnung von Nk+1 eine Abstiegsrichtung
dk mit der Eigenschaft
∇χ 2 ( Nk) T · dk < 0 , dk ∈ R p
. (4.2)
Bei dem Ausdruck in (4.2) handelt es sich um die Richtungsableitung der Funktion
χ 2 an der Stelle Nk in Richtung dk. Ist diese Richtungsableitung negativ, dann heißt
das, dass wenn man an der Stelle Nk in Richtung dk losläuft, man sich zumindest
anfangs in der Zielfunktionstopologie nach unten bewegt. Des Weiteren wird noch
eine Schrittweite µk benötigt, so dass
gilt und die Abnahme
χ 2 ( Nk + µk dk) < χ 2 ( Nk) , µk ∈ R>0 , (4.3)
χ 2 ( Nk) − χ 2 ( Nk + µk dk) (4.4)
ausreichend groß ist. Berechnung der Schrittweite wird als Schrittweitenbestimmung
oder -steuerung bezeichnet. Auf diese wird im nächsten Abschnitt näher eingegangen.
Bemerkung: Die mathematischen Forderungen k = 0, 1, 2, 3, . . ., dk ∈ R p und µk ∈
R>0 gelten für den Rest dieser Arbeit und werden im weiteren Verlauf nicht mehr
explizit angegeben.
Ohne die Berechnung von Abstiegsrichtungen dk und Schrittweiten µk zu spezifizieren,
hat ein Linesearch-Verfahren im allgemeinen folgende Verfahrensvorschrift:
Algorithmus: Allgemeines Linesearch-Verfahren
1. Wähle einen Startpunkt N0 und setze k := 0.
2. Falls eine Abbruchbedingung erfüllt ist, dann steige mit der Lösung Nk aus.
3. Bestimme eine Abstiegsrichtung dk.
4. Berechne eine Schrittweite µk.
5. Berechne einen neuen Teilchenzahlenvektor Nk+1 = Nk + µk dk.
6. Setze k := k + 1 und gehe zurück zu Schritt 2.
Bemerkungen:
50
• Sind die Abstiegsrichtungen dk hinreichend gut und die Schrittweiten µk realisieren
einen ausreichenden Abstieg, dann ist in der Regel die Konvergenz eines
Linesearch-Verfahrens gewährleistet.
• Mit einem Linesearch-Verfahren können nur lokale Minima bestimmt werden.

4.1 Numerische Minimierung mit Linesearch-Verfahren
Üblicherweise wird im zweiten Punkt des allgemeinen Linesearch-Verfahrens als
Abbruchkriterium die Stationarität an der Stelle Nk getestet, also:
∇χ 2 ( Nk) = 0 . (4.5)
Dieses Abbruchkriterium ist zum einem numerisch nicht realisierbar und zum anderen
kann es bei restringierten Optimierungsproblemen nicht verwendet werden, da in
diesem Fall Minima nicht notwendigerweise (4.5) erfüllen müssen. Dieser Fall kann
zum Beispiel eintreten, wenn das Minimum auf dem Rand der zulässigen Menge liegt.
Dies wurde bereits in Abschnitt 3.4 angesprochen. Um unnötig lange Rechenzeiten
zu vermeiden, können folgende Abbruchkriterien verwendet werden:
• Die relative Änderung der Zielfunktionswerte unterscheidet in aufeinanderfolgenden
Iterationsschritten einen bestimmten Wert:
|χ 2 ( Nk−1) − χ 2 ( Nk)|
χ 2 ( Nk−1)
< ɛ1 , χ 2 ( Nk−1) = 0 ∀ k . (4.6)
• Wenn der Abstand zwischen zweier aufeinanderfolgender Schritte einen bestimmten
Wert unterschreitet:
|| Nk−1 − Nk|| < ɛ2 . (4.7)
Als Norm wird irgendeine von den p-Normen für endlichdimensionale Vektorräume
R n verwendet. In der Regel wird p = 2 (Euklidische Norm) oder p = ∞
(Maximumsnorm) bevorzugt.
• Ein Abbruchtest, ob mit einem Verfahren ein stationärer Punkt erreicht wurde,
muss wie folgt implementiert werden:
∇χ 2 (
< ɛ3 falls (−Nk)j < 0 ,
Nk)j =
(4.8)
≥ 0 sonst .
Hierbei handelt es sich um eine numerische Umsetzung der KKT-Bedingungen
aus (3.36).
• Wird keines der oberen Abbruchkriterien erfüllt, dann steigt das Verfahren
nach einer festgelegten Anzahl an Iterationsschritten aus.
Bemerkungen:
• Für ɛ1, ɛ2 und ɛ3 werden üblicherweise Werte aus dem Intervall [10 −2 , 10 −8 ]
gewählt.
• Die ersten zwei Abbruchbedingungen können erst ab der zweiten Iteration des
Linesearch-Verfahrens geprüft werden.
51

4 Nichtlineare Optimierung
4.2 Schrittweitenstrategien
Um konvergente Linesearch-Verfahren zu erhalten, müssen effiziente Schrittweiten 1
berechnet werden. Es ist naheliegend, die Schrittweite µk über das eindimensionale
Optimierungsproblem
µk = argmin µ∈[0, µmax] χ 2 ( Nk + µ dk) , µmax ∈ (0, ∞] , (4.9)
zu berechnen. Diese Schrittweite wird exakte Schrittweite genannt [Alt02]. In der
Regel kann bei nichtlinearen Optimierungsproblemen die exakte Schrittweite analytisch
nicht berechnet werden. Eine numerische Lösung ist prinzipiell möglich, jedoch
zu zeitaufwendig.
Im folgenden werden zwei Schrittweitenstrategien beschrieben, mit denen eine gute
Näherung der exakten Schrittweite berechnet werden kann, ohne den Ausdruck
(4.9) numerisch lösen zu müssen. Mit beiden Varianten kann viel Rechenzeit gespart
werden.
4.2.1 Schrittweitenbestimmung über Dämpfung der
Physik-Schrittweite
Vorab werden für diesen Unterabschnitt die folgenden Bezeichnungen eingeführt:
• Exakte Schrittweite bei Optimierung der RBW-gewichteten Dosis := µBio.
• Exakte Schrittweite bei Optimierung der physikalischen Dosis und Vernachlässigung
des OAR-Terms := µPhys.
Optimierung der RBW-gewichteten Dosis ist nichtlinear und das daraus resultierende
eindimensionale Optimierungsproblem (4.9) für die exakte Schrittweite µBio kann
analytisch nicht gelöst werden. Bei Optimierung der linearen physikalischen Dosis
und Vernachlässigung des OAR-Terms in der Zielfunktion (OAR-Term muss wegen
der Heaviside-Funktion weggelassen werden) liegt ein quadratisches Optimerungsproblem
vor. In diesem Fall ergibt sich dann für (4.9) ebenfalls ein quadratisches
Optimierungsproblem. Dieses ist sogar streng konvex und das eindeutige µPhys kann
analytisch berechnet werden. Ziel ist es hier, über die Schrittweite µPhys durch Skalierung
an eine gute Schrittweite µBio zu gelangen.
Die genaue Berechnungsvorschrift von µPhys befindet sich im Anhang in Abschnitt
8.9. Die Idee bei der hier beschriebenen Schrittweitenstrategie ist, µPhys zu berechnen
und anschließend mit einem Faktor fµ zu skalieren um an eine gute Approximation
von µBio zu gelangen. Die Approximation von µBio wird mit µBio bezeichnet und
berechnet sich demnach wie folgt:
µBio = fµ · µPhys , fµ ∈ R>0 . (4.10)
1 Effiziente Schrittweiten implizieren sog. zulässige Schrittweiten. Die Definition von effizienten
und zulässigen Schrittweiten findet sich z.B. in [Ulb07].
52

fµ
Dosis [Gy (RBW)]
4.2 Schrittweitenstrategien
Abbildung 4.1: "Ideale" Skalierungswerte fµ für µPhys in Abhängigkeit der vorgeschriebenen Dosis.
Die Daten wurden aus zwei verschiedenen Patientenplänen mit zwei unterschiedlichen Methoden
ermittelt. Die "Dreicek"-Daten wurden aus einem Patientenplan mit einem dynamischen Suchalgorithmus
gewonnen. Dies ist detailliert in [Hor08] beschrieben. Die "Quadrat"-Daten wurden in
einem anderen Patientenplan mit vielen statistischen Auswertungen ermittelt. Näheres hierzu ist in
[Sch06] veröffentlicht. Die gute Übereinstimmung beider Datensätze und gute Konvergenzergebnisse
mit diesen Daten in anderen Patientenplänen deuten auf deren allgemeine Gültigkeit. Deutlich
ist zu erkennen, dass bei steigender vorgeschriebener Dosis der Skalierungsfaktor fµ erhöht werden
sollte.
Es hat sich gezeigt, dass ein guter Parameter fµ von der vorgeschriebenen Dosis
Dpre abhängt. Zum Beispiel werden die besten Konvergenzergebnisse bei einer vorgeschriebenen
Dosis von 3Gy (RBW) mit dem Dämpfungsfaktor fµ = 0.5 erreicht.
Weitere "Idealwerte" von fµ zu verschiedenen vorgeschriebenen Dosen können aus
Abbildung 4.1 entnommen werden. Weitere Details und die Beschaffung der Werte
aus dieser Abbildung befinden sich in [Sch06] und [Hor08].
4.2.2 Die Schrittweitenregel von Armijo
Die Armijo-Regel ist ein einfach zu implementierendes Schrittweitenverfahren mit
dem relativ schnell eine geeignete Schrittweite µk berechnet werden kann. Sie wird
oft bei nichtlinearen Optimierungsproblemen zur Schrittweitensteuerung verwendet.
Hier wird nur das Nötigste zur Armijo-Regel angegeben. Eine ausführlichere Behandlung
findet sich z.B. in [Alt02, Ulb07].
Armijo-Verfahren:
Es wird eine hinreichend große Startschrittweite benötigt, die als µmax bezeichnet
wird. Des Weiteren seien δ ∈ (0, 1) und γ ∈ (0, 1) fest gewählte Konstanten.
Bestimme die größte Schrittweite µk ∈ {µmax, µmaxδ, µmaxδ 2 , . . .}, für welche die
53

4 Nichtlineare Optimierung
folgende Ungleichung erfüllt ist:
Bemerkungen:
χ 2 ( Nk) − χ 2 ( Nk + µk dk) ≥ −γµk∇χ 2 ( Nk) T · dk . (4.11)
• Häufig wird für die Parameter δ = 0.5 und γ = 10 −2 gewählt [Alt02]. Beide
Konstanten sind unabhängig von Nk und dk.
• Bei bestimmten Voraussetzungen ist das Armijo-Verfahren wohldefiniert und
liefert nach endlich vielen Schritten eine effiziente Schrittweite.
• Die Startschrittweite µmax sollte hinreichend groß gewählt werden, da das
Armijo-Verfahren die Schrittweite nur verkleinern kann.
• Das Armijo-Verfahren greift in der Regel schnell, wenn für µmax eine gute
Approximation der exakten Schrittweite gewählt wird.
• Als Startschrittweite kann zum Beispiel µPhys oder µBio (siehe vorherigen Unterabschnitt)
gewählt werden.
• Die Schrittweite
µmax,k = −
∇χ 2 ( Nk) T · dk
2(χ 2 ( Nk + dk) − χ 2 ( Nk) − ∇χ 2 ( Nk) T · dk)
(4.12)
ist eine Approximation der exakten Schrittweite und damit geeignet als Startschrittweite
für das Armijo-Verfahren. Setzt man
ϕk(µ) = χ 2 ( Nk + µ dk) , (4.13)
mit ϕk : R≥0 → R≥0 ∀k, so ist die Schrittweite (4.12) die exakte Schrittweite
des quadratischen Interpolationspolynomes von (4.13) durch die Punkte
ϕ(0) = χ 2 ( Nk) , ϕ ′ (0) = ∇χ 2 ( Nk) T · dk , ϕ(1) = χ 2 ( Nk + dk) . (4.14)
4.3 Voroptimierung
Linesearch-Verfahren arbeiten ausgehend von einem Startpunkt N0. Generell hat
die Wahl des Startvektors einen großen Einfluss auf das Konvergenzverhalten des
entsprechenden Verfahrens. Sind bei einer Zielfunktion mehrere Minima vorhanden,
dann läuft der Algorithmus in der Regel vom Startpunkt in das nächstgelegene Minimum.
Je näher der Startvektor an einem Minimum liegt, desto schneller konvergiert
in der Regel das Verfahren. Die besten Konvergenzergebnisse können erwartet werden,
wenn der Startvektor eine gute Approximation des gesuchten Minimums ist,
also:
N0 ≈ NOpt . (4.15)
54

4.4 Ressourcen, Daten und Bemerkungen zur Optimierung
Da der Startvektor für das Konvergenzverhalten des Verfahrens von großer Bedeutung
ist, wird er nicht willkürlich gewählt. Bevor die eigentliche Optimierung
beginnt, ist in TRiP ein Voroptimierung implementiert, die einen geeigneten Startvektor
N0 generiert. Die Voroptimierung läuft als Einzelfeldoptimierung ab, wo die
Felder einzeln und unabhängig voneinander optimiert werden. Dabei werden OAR’s
nicht berücksichtigt. Mit dem aus der Voroptimierung resultierendem Startvektor
N0 kann bereits eine gute Dosisverteilung im Targetvolumen erzeugt werden, jedoch
eine hohe Dosis in den OAR’s. Die Voroptimierung dauert in der Regel weniger als
eine Minute. Details zur Voroptimierung finden sich in [G + 08, K + 00].
4.4 Ressourcen, Daten und Bemerkungen zur
Optimierung
4.4.1 Verwendete Rechnerarchitektur
Alle Berechnungen wurden mit einem IBM PS701 Blade Server Rechner auf einem
3GHz Power7 Prozessor ausgeführt.
4.4.2 Verwendeter Patientenplan
Als Referenz für die Minimierungsergebnisse der χ 2 -Funktion wird der Patientenplan
#135 verwendet. Eine bearbeitete CT-Scheibe dieses Patientenplans ist in Abbildung
2.1 zu sehen. Neben dem Tumor (Targetvolumen) wird als OAR lediglich
der Hirnstamm betrachtet. Dies ist ein vereinfachter Patientenplan, da bei der Bestrahlungsplanung
oft mehrere OAR’s betrachtet werden müssen. Die Hinzunahme
weiterer OAR’s ändert jedoch nicht die mathematische Struktur der Zielfunktion.
Die vorgeschriebene Dosis D i pre wird in jedem Target-Voxel i auf 3Gy (RBW) gesetzt.
Die maximale Dosisgrenze D i max wird für jedes OAR-Voxel i auf 1.5Gy (RBW)
gesetzt. Dies sind typische Werte für einzelne Fraktionen in der Therapie. Minimierungsergebnisse
in anderen Patientenplänen mit diesen Einstellungen sind alle ähnlich.
Es folgen noch einige Daten zum hier verwendeten Patientenplan #135:
Anzahl der Voxel im Targetvolumen : 19200
Anzahl der Voxel im OAR-Volumen : 4400
Anzahl der Rasterpunkte : 19600
Anzahl der Bestrahlungsfelder : 2
Speicher für die Dosis-Korrelations-Matrix : 440MB
Bemerkung: Die Anzahl der Rasterpunkte in einem Patientenplan ist zugleich die
Dimension des Optimierungsproblems p. Bei p = 19600, wie im oberen Beispiel,
55

4 Nichtlineare Optimierung
handelt es sich eher um einen kleineren Tumor. Bis zu 100000 Rasterpunkte als
auch Voxel können in der Bestrahlungsplanung auftreten.
4.4.3 Bewertung der Algorithmen
In den folgenden Kapiteln werden verschiedene Linesearch-Verfahren auf das Optimierungsproblem
(2.8)-(2.9) angewendet bei Verwendung des obigen Patientenplanes.
Für die einzelnen Verfahren werden in dieser Arbeit die folgenden Bewertungsmaßstäbe
betrachtet:
• Minimierung der Zielfunktion als Funktion der Iterationsschritte.
• Minimierung der Zielfunktion als Funktion der Rechenzeit.
• Speicheranforderung des entsprechenden Verfahrens.
Bei den Minimierungsplots werden auf der Ordinatenachse die Funktionswerte der
χ 2 -Funktion dividiert durch die Anzahl der Freiheitsgrade, also NDF (siehe Unterabschnitt
2.3.1), dargestellt. Dies kann als eine Art "Normierung" interpretiert
werden. Des Weiteren wird die Ordinatenachse logarithmisch angezeigt.
4.4.4 Bemerkungen und Details zur Implementierung
Detektionslimit der Ionisationskammern
Bei der Bestrahlung werden die Teilchenzahlen für die Rasterpunkte werden mit
Ionisationskammern gemessen (siehe Abschnitt 1.5). Ionisationskammern besitzen
ein unteres Detektionslimit. Unter dem Detektionslimit kann die genaue Anzahl der
durchquerenden Teilchen nicht mehr sicher bestimmt werden. Das untere Detektionslimit,
der bei GSI verwendeten Ionisationskammern, beträgt 5000. Dieses muss
bei der Bestrahlungsplanung berücksichtigt werden und ist daher in TRiP eingearbeitet.
[G + 08]
In jedem Iterationsschritt werden am Ende neue Teilchenzahlen Nk+1 berechnet.
Ist von dem neuen Teilchenzahlenvektor Nk+1 eine Komponente kleiner als 5000,
dann wird diese auf 0 gesetzt. Im darauffolgenden Iterationsschritt besteht für die
Komponente wieder die Möglichkeit auf mindestens 5000 zu gelangen. Es hat sich
jedoch gezeigt, dass wenn eine Komponente während der Iteration auf 0 fällt, dass
diese fast immer in den darauffolgenden Iterationsschritten unter 5000 bleibt. Auswertungen
haben ergeben, dass von diesem Effekt weniger als 5% der Rasterpunkte
(also Komponenten von Nk+1) betroffen sind [Sch06]. Daher würde sich eine Dimensionsverkleinerung
des Optimierungsproblems, während dem Optimierungsprozess,
um Rechenzeit zu sparen, nicht besonders lohnen.
56

Abbruchkriterien für die Iteration
4.4 Ressourcen, Daten und Bemerkungen zur Optimierung
Am Ende von Abschnitt 4.1 werden mögliche numerische Abbruchkriterien für ein
Linesearch-Verfahren genannt. Gegenwärtig ist in TRiP nur das erste implementiert,
also (4.6). Dabei wird ɛ1 = 10 −8 gewählt. Die Abbruchschranke ɛ1 wird hier
bewusst so klein gewählt, damit die Algorithmen länger "ausgereizt" werden und ihr
Konvergenzverhalten kann in einem längeren Iterationsprozess beobachtet werden.
Es ist geplant, in naher Zukunft, auch das zweite und dritte Abbruchkriterium, also
(4.7) und (4.8), zu implementieren.
Falls nicht anders erwähnt, wird die maximale Anzahl der Iterationsschritte auf
100 gesetzt.
57

5 Gradientenverfahren und
konjugiertes
Gradientenverfahren
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den Gradientenverfahren. Abschnitt 5.1 geht auf
das Gradientenverfahren ein und Abschnitt 5.2 auf das konjugierte Gradientenverfahren.
Dabei werden Bemerkungen, Vor- und Nachteile und die Iterationsvorschrift
der Verfahren angegeben. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels werden die Minimierungsergebnisse,
die mit beiden Verfahren erzielt werden, gezeigt und diskutiert.
Bemerkung: Als Schrittweite wird beim Gradientenverfahren als auch beim konjugierten
Gradientenverfahren die gedämpfte Physik-Schrittweite, also µBio, verwendet.
D.h., es wird ein µPhys berechnet (siehe Abschnitt 8.9) und dieses wird mit einem
Parameter fµ multipliziert. Genaueres zu dieser Schrittweitensteuerung findet sich
in Unterabschnitt 4.2.1. Da als vorgeschriebene Dosis 3Gy (RBW) verwendet wird,
so wird für den Dämpfungsfaktor fµ = 0.5 gewählt (siehe Abbildung 4.1). Eine Implementierung
der Armijo-Schrittweite in das Gradientenverfahren und konjugierte
Gradientenverfahren ist in naher Zukunft geplant.
5.1 Das Gradientenverfahren
Das Gradientenverfahren (GRV), auch Verfahren des steilsten Abstiegs genannt, ist
ein klassisches Verfahren der nichtlinearen Optimierung. Das GRV macht in jedem
Iterationsschritt einen Schritt in die Richtung des steilsten Abstiegs der Zielfunktion.
Die Richtung des steilsten Abstiegs einer Funktion ist der negative Gradient der
Funktion.
Algorithmus: Gradientenverfahren (GRV)
Da das GRV ein so einfacher und übersichtlicher Algorithmus ist, wird hier nicht die
ganze Verfahrensvorschrift angegeben. Das GRV kann sehr einfach in das allgemeine
Linesearch-Verfahren aus Abschnitt 4.1 eingebaut werden. Der einzige Punkt,
der beachtet werden muss, ist, dass in jedem Iterationsschritt die Suchrichtung
dk = −∇χ 2 ( Nk) verwendet wird.
58

Bemerkungen:
5.2 Das konjugierte Gradientenverfahren
• Das GRV ist robust und einfach zu implementieren, weswegen es häufig in den
Anwendungen benutzt wird.
• Bei gewissen Voraussetzungen ist das GRV ein global konvergentes Verfahren 1
[Ulb07].
• Oftmals konvergiert das GRV langsam, da es sich dem Minimum mit einem
Zick-Zack-Kurs nähert.
• Der Betrag/Norm des Gradienten an einer Stelle Nk ist ein Maß für die Steigung
der Funktion an dieser Stelle. Ist das Minimum in einer flachen Region
lokalisiert, so ist das GRV dort ineffizient, de es in der Regel nur noch kleine
Schritte macht. Auf der anderen Seite arbeitet das GRV im Einzugsgebiet
relativ schnell.
• Da das GRV lediglich mit dem Gradienten der Zielfunktion und einer Schrittweite
arbeitet, müssen keine großen Speicherressourcen zur Verfügung gestellt
werden.
5.2 Das konjugierte Gradientenverfahren
Bei dem konjugierten Gradientenverfahren (KGV), auch Verfahren konjugierter Richtungen
genannt, handelt es sich um eine Modifizierung des Gradientenverfahrens.
Die Idee der Verwendung von konjugierten Richtungen [Ste04] ist, dass die Information,
über die Abstiegsrichtung aus dem vorherigen Iterationsschritt, in den neuen
Schritt mitgenommen wird. Dadurch kann ein ausgeprägter Zick-Zack-Verlauf des
Verfahrens vermieden werden und das Verfahren besitzt in der Regel bessere Konvergenzeigenschaften
als das GRV. Die Struktur der Iterationsvorschrift ist etwas
aufwändiger, jedoch kostet ein Schritt nicht viel mehr Rechenzeit als beim GRV.
Algorithmus: Konjugiertes Gradientenverfahren (KGV)
1. Wähle einen Startpunkt N0.
2. Berechne h0 = d0 = −∇χ 2 ( N0).
3. Setze k := 0.
4. Bestimme eine Schrittweite µk.
5. Berechne einen neuen Teilchenzahlenvektor Nk+1 = Nk + µk hk.
6. Falls eine Abbruchbedingung erfüllt ist, dann steige aus.
1 Unter globaler Konvergenz versteht man, dass ein Verfahren unabhängig vom Startpunkt zu
einer Lösung hin konvergiert.
59

5 Gradientenverfahren und konjugiertes Gradientenverfahren
7. Berechne dk+1 = −∇χ 2 ( Nk+1).
8. Berechne βk = dT k+1 · dk+1
d T k · ,
dk
dT k · dk = 0, βk ∈ R≥0.
9. Berechne hk+1 = dk+1 + βk hk.
10. Setze k := k + 1 und gehe zurück zu Schritt 4.
Bemerkungen:
• Das KGV arbeitet lediglich mit Vektoren und Skalaren und ist daher nicht
Speicheraufwändig. Daher eignet es sich, wie das GRV, für hochdimensionale
Optimierungsprobleme.
• Mit der gleichen Begründung wie beim GRV ist das KGV für Minima in flachen
Regionen ineffizient.
• Wird das βk wie in Schritt 8. berechnet, dann handelt es sich bei dem konjugierten
Gradientenverfahren um die Variante nach "Fletcher-Reeves". Es existieren
neben dieser Variante noch einige andere, wie z.B. die nach "Hestenes-
Stiefel" oder "Polak-Ribiere". Bei den anderen Varianten wird das βk jeweils
leicht abgeändert berechnet. Für nichtlineare Optimierungsprobleme erhält
man jedoch meistens mit der "Fletcher-Reeves"-Variante die besten Konvergenzergebnisse
[Alt02]. In [Bus09] wurde gezeigt, dass man bei der numerischen
Lösung des Optimierungsproblems (2.8)-(2.9) mit der "Fletcher-
Reeves"-Variante die besten Konvergenzergebnisse erhält.
• Wie das GRV, so ist auch das KGV bei bestimmten Voraussetzungen ein global
konvergentes Verfahren.
5.3 Konvergenzergebnisse und Diskussion
Abbildung 5.1 zeigt die Minimierung der χ 2 -Funktion mit dem GRV und KGV als
Funktion der Iterationsschritte und Abbildung 5.2 als Funktion der Rechenzeit bei
Verwendung des Patientenplanes #135 (genaueres zum Bestrahlungsplan befindet
sich in Abschnitt 4.4.2).
Bei der Minimierung der χ 2 -Funktion bzgl. der Iterationsschritte ist sowohl beim
GRV als auch beim KGV ein typisches Verhalten dieser Verfahren zu beobachten.
Die ersten 10-15 Iterationsschritte läuft die Minimierung mit größeren Schritten.
Danach ist nur noch ein langsamer, streng monotoner, Abfall der χ 2 -Funktion zu
beobachten. Diese Ergebnisse lassen vermuten, dass sich die Verfahren in den ersten
10-15 Iterationsschritten im Einzugsgebiet befinden. Das Minimum scheint in
einer eher flachen Region lokalisiert zu sein, in welche die Verfahren nach dem Einzugsgebiet
eintreten. Von Anfang an arbeitet das KGV mit größeren Schritten zum
60

5.3 Konvergenzergebnisse und Diskussion
Minimum hin als das GRV. Für ein χ 2 -Level von 2.8, für welches das GRV 100 Iterationsschritte
benötigt, braucht das KGV nur 17 Iterationsschritte. Dies lässt sich
damit erklären, dass das KGV eine Modifizierung des GRVs ist und eine angepasstere
Iterationsvorschrift besitzt. Das Abbruchkriterium (4.6) (siehe Abschnitt 4.4.4),
mit ɛ1 = 10 −8 , wird mit beiden Verfahren nicht erfüllt.
Bei der Minimierung der χ 2 -Funktion bzgl. der Rechenzeit ist der Verlauf sehr
ähnlich wie in Abbildung 5.1. Dies lässt sich damit begründen, dass das GRV und das
KGV für einen Iterationsschritt ungefähr die selbe Rechenzeit benötigen. Trotz der
komplexeren Iterationssvorschrift ist der Mehraufwand beim KGV in einer Iteration,
gegenüber dem des GRVs, gering. Für ein χ 2 -Level von 2.8, für welches das GRV
ca. 1420 Sekunden benötigt, braucht das KGV lediglich ca. 240 Sekunden. Beide
Verfahren benötigen zu ihrem Endpunkt (100. Iterationsschritt) ca. 1420 Sekunden.
D.h., dass mit diesen Verfahren der Optimierungsschritt, in diesem Bestrahlungsplan
und den gegebenen Einstellungen, weniger als eine halbe Stunde dauert.
Bei der Minimierung der χ 2 -Funktion arbeitet das KGV bzgl. der Iterationsschritte
als auch der Rechenzeit wesentlich effizienter als das GRV. Die Minimierung konnte
mit dem KGV in den Iterationen als auch in der Rechenzeit um einen Faktor von
fast sechs verschnellert werden. In anderen Patientenplänen konnte ein ähnlicher Effekt
beobachtet werden. Beide Verfahren besitzen einen ähnlichen Speicheraufwand
und somit ist hier das KGV dem GRV gegenüber deutlich im Vorteil.
61

5 Gradientenverfahren und konjugiertes Gradientenverfahren
χ 2
✡ ✡✡✣
KGV
17 Schritte
χ 2 -Level von ca. 2.8
Iteration
GRV
100 Schritte
❏
❏❏❏❫
Abbildung 5.1: Minimierung der χ 2 -Funktion mit dem GRV und KGV als Funktion der Iterationsschritte.
Detaillierte Bildbeschreibung und Diskussion befindet sich im Text.
χ 2
✡ ✡✡✣
KGV
ca. 240s
χ 2 -Level von ca. 2.8
Zeit [s]
GRV
ca. 1420s
❏
❏
❏❏❫
Abbildung 5.2: Minimierung der χ 2 -Funktion mit dem GRV und KGV als Funktion der Rechenzeit.
Detaillierte Bildbeschreibung und Diskussion befindet sich im Text.
62

6 BFGS-Verfahren
In diesem Kapitel wird das BFGS-Verfahren behandelt. Die Konvergenzergebnisse
mit dem KGV sind zwar zufriedenstellend, es soll aber getestet werden, ob mit dem
BFGS-Verfahren evtl. noch bessere Konvergenzergebnisse erreicht werden können.
Der erste Abschnitt beschreibt das Newton-Verfahren. Das Newton-Verfahren ist
wichtig für das Verständnis der Arbeitsweise des BFGS-Verfahrens. In Abschnitt 6.2
wird das wichtigste zu den Quasi-Newton-Verfahren genannt, zu deren Klasse das
BFGS-Verfahren gehört. In Abschnitt 6.3 geht es um das BFGS-Update, besonders
um das inverse BFGS-Update, welches Kern des BFGS-Verfahrens ist. Die Iterationsvorschrift
des BFGS-Verfahrens, mit der die besten Konvergenzergebnisse erzielt
werden, wird detailliert in Abschnitt 6.4 geschildert. Anschließend werden die Konvergenzergebnisse
des BFGS-Verfahrens diskutiert. Im letzten Abschnitt werden die
weiteren Varianten des BFGS-Verfahrens genannt, die in TRiP implementiert und
ausgewertet wurden.
Bemerkung: In diesem Abschnitt spielt die zweite Ableitung der χ 2 -Funktion, also
die Hesse-Matrix, eine bedeutende Rolle. Die Hesse-Matrix der Zielfunktion wird
hier mit ∇ 2 χ 2 ( N) bezeichnet. Des Weiteren wird in diesem Abschnitt die Matrix H
oft verwendet. Für beide Matrizen gilt die mathematische Forderung
∇ 2 χ 2 ( N) ∧ H ∈ R p×p , (6.1)
die im weiteren Verlauf nicht mehr explizit angegeben wird.
6.1 Das Newton-Verfahren
Das Newton-Verfahren (NV) spielt in der numerischen Mathematik als auch der
nichtlinearen Optimierung eine bedeutende Rolle, da es lokal sehr gute Konvergenzeigenschaften
besitzt. Das Bedeutende im NV ist die Newton-Richtung, die auch
Grundlage für andere Suchrichtungen ist. Hier wird nur das vom NV behandelt, was
später in dieser Arbeit benötigt wird. Details zum NV finden sich in nahezu allen
Büchern zur numerischen Mathematik und nichtlinearen Optimierung.
Die Arbeitsweise des NVs wird hier über einen anschaulicheren Ansatz motiviert.
Eine Erklärung der Arbeitsweise über die Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystemes
findet sich z.B. in [Ulb07].
Für die Minimierung der χ 2 -Funktion kann diese um den Punkt N0 (dieser wird
nach Abschnitt 4.3 berechnet) mit einem Taylor-Polynom zweiten Grades approxi-
63

6 BFGS-Verfahren
miert werden:
χ 2 ( N) ≈ Q( N) = χ 2 ( N0) + ( N − N0) T · ∇χ 2 ( N0)
+ 1
2 · ( N − N0) T · ∇ 2 χ 2 ( N0) · ( N − N0) .
(6.2)
Ist die Hesse-Matrix ∇ 2 χ 2 ( N0) positiv definit, so ist die Funktion Q( N) streng konvex
und ihr eindeutiges Minimum kann analytisch folgendermaßen berechnet werden:
NMin, Q := ∇Q( N) = 0 , (6.3)
=⇒ ∇χ 2 ( N0) + ∇ 2 χ 2 ( N0) · ( N − N0) = 0 , (6.4)
=⇒ NMin, Q =
N0 − ∇ 2 χ 2 ( −1 N0) · ∇χ 2 ( N0) . (6.5)
Bei (6.3) handelt es sich um die notwendige Optimalitätsbedingung 1. Ordnung.
D.h., man sucht einen stationären Punkt der Funktion Q. Für den Fall, dass die
Approximation in (6.2) gut ist, so liegt das Minimum NMin, Q näher an dem Minimum
der χ2-Funktion als der Punkt N0. Durch wiederholtes Anwenden dieser Prozedur,
immer ausgehend von dem neu erhaltenen Punkt, kann in den meisten Fällen die
Näherung an das gesuchte Minimum NOpt stets verbessert werden. Daraus ergibt
sich im NV der sogenannte Newton-Schritt:
Nk+1 =
Nk − ∇ 2 χ 2 ( −1 Nk) · ∇χ 2 ( Nk) . (6.6)
Hier ist dk die sog. Newton-Richtung. Diese und der Newton-Schritt können leicht
in das allgemeine Linesearch-Verfahren aus Kapitel 4.1 eingebaut werden.
Bemerkungen:
64
• Bei der Anwendung auf ein Minimierungsproblem wird das NV manchmal
auch "Minimierung mit quadratischer Form" genannt [Bra99].
• Man ersetzt beim NV somit die Aufgabe der Minimierung der χ 2 -Funktion
durch das einfachere quadratische Optimierungsproblem (6.3) und löst dieses
analytisch. Ist die Hesse-Matrix ∇ 2 χ 2 ( Nk) positiv definit, dann liegt ein eindeutiges
Minimum des quadratischen Problems vor und die Suchrichtung dk
ist eine Abstiegsrichtung. Weiteres zu quadratischen Optimierungsproblemen
findet sich z.B. in [Alt02, Ulb07].
• Das NV, welches in diesem Abschnitt beschrieben wird, wird als "Standard"oder
"gewöhnliches"-NV bezeichnet [Hor79]. Bei diesem wird die Schrittweite
µk = 1∀k verwendet. In diesem Fall kann bei einer schlechten Wahl des
Startpunktes N0 das NV sogar divergieren. Durch eine geeignete Schrittweitensteuerung
kann globale Konvergenz (sog. Globalisierung des Verfahrens)
erreicht werden.
dk

6.1 Das Newton-Verfahren
• Liegt der Startwert N0 nahe am Minimum der χ 2 -Funktion, dann konvergiert
das NV in der Regel schnell. Bei bestimmten Voraussetzungen liegt sogar quadratische
Konvergenz 1 vor [Ulb07]. Die guten Konvergenzeigenschaften erhält
man allerdings nur in einer lokalen Umgebung des Minimums.
• Nachteil des NVs ist, dass in jedem Iterationsschritt die Hesse-Matrix ∇ 2 χ 2 ( Nk)
aufgestellt und gespeichert werden muss. Das Aufstellen der Hesse-Matrix kann
viel Rechenzeit beanspruchen. Der Speicheraufwand kann bei hochdimensionalen
Problemen mehrere Gigabytes erfordern.
• Neben dem hier beschriebenen "Standard"-NV gibt es noch die Newton-artigen-Verfahren,
die inexakten NV und die Quasi-Newton-Verfahren. Bei den
Newton-artigen-Verfahren wird die Hesse-Matrix ∇ 2 χ 2 ( Nk) in jedem Iterationsschritt
k approximiert. Der Begriff der inexakten NV wird weiter unten
in diesem Abschnitt erklärt. Mit den Quasi-Newton-Verfahren, zu denen das
BFGS-Verfahren gehört, beschäftigt sich der nächste Abschnitt ausführlicher.
Die Berechnung der Newton-Richtung
dk = − ∇ 2 χ 2 ( −1 Nk) · ∇χ 2 ( Nk) (6.7)
erfordert in jedem Iterationsschritt k das Invertieren der Hesse-Matrix ∇ 2 χ 2 ( Nk)
und die anschließende Multiplikation mit dem Gradienten ∇χ 2 ( Nk). Dieses Vorgehen
wäre numerisch nicht sinnvoll, da das Invertieren einer Matrix mit einem großen
Rechenaufwand verbunden ist [EMR96]. Daher wird der Ausdruck (6.7) in den folgenden
überführt
∇ 2 χ 2 ( Nk) · dk = −∇χ 2 ( Nk) , (6.8)
der als Newton-Gleichung bezeichnet wird. Die Newton-Gleichung ist ein lineares
Gleichungssystem mit der gleichen Ordnung wie die Dimension des Optimierungsproblems
(hier also der Ordnung p). Die Koeffizientenmatrix ist die Hesse-Matrix
der Zielfunktion und die rechte Seite der negative Gradient der Zielfunktion. Das
Gleichungssystem (6.8) ist symmetrisch, da die Hesse-Matrix nach dem Satz von
Schwarz symmetrisch ist [Heu83]. Wird das Gleichungssystem nur näherungsweise
gelöst, dann handelt es sich um ein inexaktes NV. Dabei wird in der Regel die
Konvergenzgeschwindigkeit des NVs niedriger, auf der anderen Seite kann viel Rechenzeit
gespart werden. Für die Konvergenzordnung von inexakten NV als auch
Newton-artigen-Verfahren spielt die Dennis-Moré-Bedingung eine fundamentale Rolle
[Ulb07].
Es gibt prinzipiell zwei Ansätze um ein lineares Gleichungssystem zu lösen, die
direkten und iterativen Methoden/Verfahren [Sch93]. Die direkten Verfahren, z.B.
1 Die Definition von quadratischer Konvergenz und anderen Konvergenzgeschwindigkeiten, wie
z.B. die lineare oder superlinerae Konvergenz, findet sich in fast allen Lehrbüchern zur numerischen
Mathematik.
65

6 BFGS-Verfahren
Cholesky-Zerlegung oder Gauß-Algorithmus, haben den Vorteil, dass sie eine exakte
Lösung des Gleichungssystems liefern [F + 92]. Der Nachteil ist, dass die direkten
Verfahren O(p 3 ) Punktoperationen benötigen und damit immer noch aufwendig
sind. Bei den iterativen Verfahren eignen sich besonders die Krylov-Unterraum-
Verfahren, wie z.B. das CG-Verfahren, für die Lösung der Gleichungssysteme [Hac93,
Saa03]. Diese liefern zwar nur eine angenäherte Lösung, benötigen jedoch pro Iterationsschritt
lediglich O(p) Punktoperationen. Werden bei den Krylov-Unterraum-
Verfahren zusätzlich Vorkonditionierungstechniken angewendet, dann konvergieren
die Verfahren meistens schnell. Es ist offensichtlich, dass je höher die Ordnung des
Gleichungssystem ist, desto eher eignen sich die Krylov-Unterraum-Verfahren. Dabei
muss jedoch eine Verringerung der Konvergenzgeschwindigkeit des NVs in kauf genommen
werden. Diese haben zusätzlich den direkten Verfahren gegenüber den Vorteil,
dass sie die Besetzungsstruktur der Koeffizientenmatrix, wie z.B. eine dünne Besetzungsstruktur,
ausnutzen können. Zudem sind die Krylov-Unterraum-Verfahren
robust und einfach zu implementieren.
6.2 Quasi-Newton-Verfahren
Wie bereits erwähnt wurde, die Berechnung der Newton-Richtung ist aufwendig. In
jedem Iterationsschritt muss die Hesse-Matrix ∇ 2 χ 2 ( Nk) aufgestellt und invertiert
werden oder statt der Invertierung kann das Gleichungssystem (6.8) gelöst werden.
Bei den Newton-artigen-Verfahren werden geeignete Approximationen Hk der
Hesse-Matrix verwendet, also:
Hk ≈ ∇ 2 χ 2 ( Nk) . (6.9)
Die Suchrichtung dk kann anschließend durch Lösung der Newton-artigen-Gleichung
Hk · dk = −∇χ 2 ( Nk) (6.10)
bestimmt werden.
Die Idee bei den Quasi-Newton-Verfahren ist, dass ausgehend von einer symmetrischen
und invertierbaren 2 Matrix H0 durch Updates die Matrizen Hk erzeugt
werden. Das Update (auch als Aufdatierung bezeichnet) soll dabei durch eine Korrektur
der aktuellen Matrix Hk berechnet werden, also:
Hk+1 = Hk + Korrektur ∀k . (6.11)
Damit können Informationen 3 aus der Matrix Hk an die neue Matrix Hk+1 weitergegeben
werden.
Eine fundamentale Rolle bei den Quasi-Newton-Verfahren spielt die Quasi-Newton-Gleichung:
Hk+1 · ( Nk+1 − Nk) = ∇χ 2 ( Nk+1) − ∇χ 2 ( Nk) . (6.12)
2 Invertierbare Matrizen werden auch reguläre Matrizen genannt.
3 Die Matrizen Hk enthalten z.B. Informationen über die Krümmung der Zielfunktion.
66

6.3 Das BFGS-Update
Eine Herleitung und weiteres zu der Quasi-Newton-Gleichung findet man z.B. in
[Ulb07]. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden die folgenden Abkürzungen verwendet:
sk = Nk+1 − Nk und yk = ∇χ 2 ( Nk+1) − ∇χ 2 ( Nk) , (6.13)
mit sk ∈ R p und yk ∈ R p . Mit den oberen Abkürzungen kann die Quasi-Newton-
Gleichung kompakter aufgeschrieben werden:
Hk+1 · sk = yk . (6.14)
Bei den Quasi-Newton-Verfahren beschränkt man sich bei den Aufdatierungsformeln
auf folgende Abbildung:
Hk+1 = Φ(Hk, sk, yk) , (6.15)
mit Φ : R p×p × R p × R p → R p×p .
Bemerkungen:
• Als Startmatrix H0 wird oft die Einheitsmatrix I verwendet. Die Einheitsmatrix
ist symmetrisch und positiv definit.
• Bei einem guten Update sollte die Matrix Hk+1 symmetrisch, positiv definit
und notwendigerweise die Quasi-Newton-Gleichung erfüllen.
• Nach Möglichkeit sollte ein Update wenig Rechenaufwand erfordern.
• Unter gewissen Voraussetzungen gilt
lim
k→∞ ||Hk+1 − Hk|| = 0 . (6.16)
Ist (6.16) erfüllt, dann kann von dem entsprechenden Quasi-Newton-Verfahren,
über die Dennis-Moré-Bedingung, superlineare Konvergenz gezeigt werden.
Die Matrix Hk+1 in der Quasi-Newton-Gleichung ist nicht eindeutig bestimmt. Aus
diesem Grund existieren mehrere Aufdatierungvarianten, wie z.B. das SR1-, DFPoder
BFGS-Update. Das BFGS-Update ist das Bewährteste unter ihnen, da es sich
in der Praxis als das numerisch effizienteste erwiesen hat. Daher wurde bis jetzt
nur dieses in TRiP implementiert und ist Gegenstand im weiteren Verlauf dieses
Kapitels.
6.3 Das BFGS-Update
Es wird nochmals an die Abkürzungen
sk = Nk+1 − Nk und yk = ∇χ 2 ( Nk+1) − ∇χ 2 ( Nk) (6.17)
67

6 BFGS-Verfahren
erinnert. Das BFGS-Update wurde 1970 mit unterschiedlichen Ansätzen von Broyden,
Fletcher, Goldfarb und Shanno unabhängig voneinander entwickelt [Bro70,
Fle70, Gol70, Sha70]. Die BFGS-Aufdatierungsformel hat folgende Struktur:
Hk+1 = Hk + yk · y T k
y T k · sk
Bemerkungen:
− Hk · sk · (Hk · sk) T
s T k · Hk · sk
, y T k · sk = 0 , s T k · Hk · sk = 0 . (6.18)
• Eine Herleitung der BFGS-Aufdatierungsformel findet man z.B. in [Alt02].
• Es kann leicht gezeigt werden, dass die BFGS-Aufdatierungsformel die Quasi-
Newton-Gleichung erfüllt.
• Ist die Matrix Hk symmetrisch, positiv definit und gilt y T k · sk > 0, dann ist
die Matrix Hk+1, die über (6.18) berechnet wurde, ebenfalls symmetrisch und
positiv definit. Die resultierende Suchrichtung dk+1 ist dann eine Abstiegsrichtung.
Wie beim NV kann auch bei einem Quasi-Newton-Verfahren die Suchrichtung dk,
anstelle der Lösung der Gleichung (6.10), über Matrixinversion berechnet werden:
dk = −H −1
k · ∇χ 2 ( Nk) . (6.19)
Damit wird mit H −1
k eine gute Approximation der inversen Hesse-Matrix angestrebt:
H −1
k ≈
∇ 2 χ 2 ( Nk)
−1
. (6.20)
Der Vorteil beim BFGS-Update ist, dass neben den Updates der Matrix Hk auch
Updates der inversen Matrix H −1
k berechnet werden können. Über die "Sherman-
Morrison-Woodbury-Formel" [GT97] kann aus (6.18) der folgende Ausdruck hergeleitet
werden, der als inverser BFGS-Update bezeichnet wird:
H −1
k+1 = H−1
k + (sk − H −1
k · yk) · s T k + sk · (sk − H −1
k · yk) T
y T k · sk
− (sk − H −1
k · yk) T · yk
(y T · (sk · s
k · sk) 2
T k ) , y T k · sk = 0 .
(6.21)
Hier kommt nun die Stärke des BFGS-Updates zur Geltung. Anstelle des Updates
(6.18) kann der inverse Update (6.21) verwendet werden. Der Rechenaufwand dieser
beiden Updates ist ungefähr der Gleiche. Nach dem inversen BFGS-Update kann
über (6.19) (also lediglich eine Matrix-Vektor-Multiplikation) die Suchrichtung dk
berechnet werden. Damit kann das Lösen eines linearen Gleichungssystemes oder
eine Matrixinvertierung vollständig umgangen werden.
Bemerkungen:
68

6.4 Das inverse BFGS-Verfahren mit Armijo-Schrittweite und Winkeltest
• Wird das inverse BFGS-Update verwendet, dann wird das Verfahren inverses
BFGS-Verfahren genannt.
• Beim inversen BFGS-Verfahren muss als Startmatrix anstelle von H0 eine inverse
H −1
0 vorgegeben werden. Es kann weiterhin als Startmatrix die Einheitsmatrix
I verwendet werden, denn trivialerweise gilt:
H0 = I =⇒ H −1
0 = I . (6.22)
• Die Auswertung der inversen BFGS-Aufdatierungsformel (6.21) benötigt O(p 2 )
Punktoperationen [Alt02].
6.4 Das inverse BFGS-Verfahren mit
Armijo-Schrittweite und Winkeltest
Unten wird die Iterationsvorschrift des BFGS-Verfahrens angegeben, die in TRiP
implementiert ist. Dabei wird das inverse BFGS-Update verwendet und zur Schrittweitensteuerung
wird das Armijo-Verfahren benutzt. Des Weiteren ist ein Winkeltest
implementiert, der für das Konvergenzverhalten des Verfahrens eine große Rolle
spielt und weiter unten näher betrachtet wird. Mit der angegeben Variante wurden
die besten Ergebnisse beim BFGS-Verfahren erzielt. Die anderen Varianten, die
ebenfalls in TRiP implementiert sind und ausgewertet wurden, werden in Abschnitt
6.6 diskutiert.
Algorithmus: BFGS-Verfahren (BFGS)
1. Setze δ = 0.5, γ = 10 −2 und τ = 0.15.
2. Wähle als Startmatrix H −1
0 = I.
3. Bestimme einen Startpunkt N0 und setze k := 0.
4. Falls eine Abbruchbedingung erfüllt ist, dann steige mit der Lösung Nk aus.
5. Berechne die BFGS-Suchrichtung d BFGS
k
6. Falls
−∇χ2 ( Nk) T · dBFGS k
||∇χ2 ( Nk)|| · || dBFGS k
erfüllt ist, dann verwende als Suchrichtung
= −H −1
k · ∇χ 2 ( Nk).
|| ≥ τ , ||∇χ2 ( Nk)|| ∧ || d BFGS
k || = 0 , (6.23)
dk = d BFGS
k , (6.24)
69

6 BFGS-Verfahren
führe Schritt 7 aus und überspringe Schritt 8.
Ist (6.23) nicht erfüllt, dann verwende als Suchrichtung
und mache weiter mit Schritt 8.
7. Berechne die Startschrittweite µmax,k über (4.12).
dk = −∇χ 2 ( Nk) (6.25)
8. Berechne die Startschrittweite µmax,k über µBio aus (4.10).
9. Bestimme eine Schrittweite µk über das Armijo-Verfahren.
10. Berechne einen neuen Teilchenzahlenvektor Nk+1 = Nk + µk dk.
11. Berechne sk = Nk+1 − Nk und yk = ∇χ 2 ( Nk+1) − ∇χ 2 ( Nk).
12. Berechne H −1
k+1 nach dem inversen BFGS-Update (6.21).
13. Setze k := k + 1 und gehe zurück zu Schritt 4.
Bei (6.23) handelt es sich um den sogenannten Winkeltest. Dabei wird der Winkel
zwischen dem negativen Gradienten der χ2-Funktion an der Stelle Nk und der
BFGS-Suchrichtung dBFGS k berechnet. Der negative Gradient der Zielfunktion steht
orthogonal auf den Höhenlinien. Ist der Winkel zwischen −∇χ2 ( Nk) und dBFGS k exakt
90 ◦ , dann würde das den Fall repräsentieren, dass man mit der BFGS-Suchrichtung
anfangs entlang der Höhenlinie läuft. In dem entsprechenden Iterationsschritt könnte
dann die Zielfunktion nicht minimiert werden. Ist der Winkel nahe bei 90 ◦ (z.B.
zwischen 80 ◦ und 90 ◦ ), würde man mit dem Schritt die Zielfunktion wahrscheinlich
nur geringfügig minimieren können. Mit dem Winkeltest kann dies verhindert
werden. Die Idee dabei ist, dass wenn die berechnete BFGS-Suchrichtung zu nahe
an den Höhenlinien liegt, dass diese dann verworfen wird und in dem aktuellen Iterationsschritt
der negative Gradient als Suchrichtung verwendet wird. Man ersetzt
damit in einem Iterationsschritt den BFGS-Schritt mit einem Schritt des GRVs.
In dem hier angegebenen BFGS-Algorithmus wird τ = 0.15 als kritischer Winkel-
wert verwendet. Es gilt4 arccos(0.15) ≈ 81, 373. D.h., dass zwischen dem negativem
Gradienten der Zielfunktion an der Stelle Nk und der BFGS-Suchrichtung dBFGS k ein
Winkel von 81, 37◦ noch toleriert wird. Ist der Winkel größer (und damit ziemlich
nahe an der entsprechenden Höhenlinie), dann wird die BFGS-Suchrichtung mit der
Suchrichtung vom GRV überschrieben.
Der Winkeltest ist bei Newton-artigen-Verfahren als auch bei Quasi-Newton-
Verfahren sinnvoll, obwohl man ihn selten in der Literatur findet. Bei beiden Verfahren
werden in jedem Iterationsschritt Approximationen für die Hesse-Matrix verwendet.
Ist in einem Iterationsschritt die Approximation schlecht, dann kann die
4 Für den Winkel φ zwischen den Vektoren v und w gilt:
70
〈v,w〉
||v||·||w|| = cos φ.

6.5 Konvergenzergebnisse und Diskussion
schlechte Approximation mit dem Winkeltest abgesichert werden. Anstelle eines
Schrittes, in dem die schlecht approximierte Matrix verwertet wird, kann der Schritt
mit dem robusten Gradientenverfahren ersetzt werden. Dies trägt zur allgemeinen
Robustheit des Verfahrens bei und verbessert in der Regel auch die Konvergenzgeschwindigkeit.
Neben dem hier beschriebenen Winkeltest gibt es noch den "allgemeinen
Winkeltest", der in [Ulb07] beschrieben ist.
Weitere Bemerkungen zum BFGS-Algorithmus:
• Die Konstanten δ und γ werden für das Armijo-Verfahren verwendet.
• Bei dem obigen BFGS-Verfahren wird als Startmatrix die Einheitsmatrix I
verwendet. Daher ist der erste Schritt des Verfahrens ein Schritt des GRVs.
• Die Wahl der Startschrittweite für das Armijo-Verfahren hängt von der letztendlich
verwendeten Suchrichtung dk ab. Wird die BFGS-Suchrichtung verwendet,
dann wird die Startschrittweite über das Minimum der quadratischen
Interpolation (4.12) berechnet (Schritt 7 im BFGS-Algorithmus). Wird als
Suchrichtung der negative Gradient verwendet, dann wird als Startschrittweite
µBio aus (4.10) verwendet (Schritt 8 im BFGS-Algorithmus), da sich diese
bereits bei dem GRV und KGV bewährt hat. Dies wird nochmals in Abschnitt
6.6 aufgegriffen und näher erklärt.
• Für allgemeine nichtlineare Zielfunktionen ist der Beweis der globalen Konvergenz
des inversen BFGS-Verfahrens mit Armijo-Schrittweite ein offenes Problem
5 . Ist die Zielfunktion auf einer Niveau-Menge gleichmäßig konvex, dann
kann die globale Konvergenz gezeigt werden [Ulb07]. Ist die Hesse-Matrix der
Zielfunktion in einer lokalen Umgebung eines Minimums Lipschitz-Stetig, dann
konvergiert das Verfahren in dieser Umgebung superlinear.
6.5 Konvergenzergebnisse und Diskussion
Abbildung 6.1 zeigt die Minimierung der χ 2 -Funktion mit dem inversen BFGS-
Verfahren, welches im vorherigen Abschnitt detailliert beschrieben wurde, als Funktion
der Iterationsschritte. Diesmal wurden 150 Iterationsschritte zugelassen. Abbildung
6.2 zeigt das entsprechende Ergebnis der Minimierung bzgl. der Rechenzeit.
Für einen Vergleich werden die Ergebnisse mit denen des KGVs, da sich dieses gegenüber
dem GRV sowohl in den Iterationsschritten als auch in der Rechenzeit als
das bessere Verfahren gezeigt hatte, gegenübergestellt.
Bei der Minimierung bzgl. der Iterationsschritte ist beim BFGS-Verfahren am
Anfang ein relativ steiler Abfall der Funktionswerte der χ 2 -Funktion zu erkennen.
5 Konvergenzuntersuchungen zu Quasi-Newton-Verfahren gestalten sich generell als sehr schwierig,
da neben Approximationseigenschaften der Update-Matrizen Hk für die Aufdatierungen
Störungsaussagen aus der linearen Algebra einbezogen werden müssen.
71

6 BFGS-Verfahren
Im weiteren Verlauf wird dieser Abfall stets flacher. Im Vergleich zum KGV arbeitet
das BFGS-Verfahren im Einzugsgebiet schlechter. Nach dem Einzugsgebiet ist das
BFGS-Verfahren effizienter als das KGV, da der Abfall der χ 2 -Funktionswerte steiler
ist. Dies kann wahrscheinlich damit begründet werden, dass das BFGS-Verfahren
Krümmungsinformationen der Zielfunktion verarbeitet und damit in der flachen Region
besser arbeitet. Da jedoch das KGV im Einzugsgebiet deutlich effizienter ist,
schafft es das BFGS-Verfahren auch nicht nach 150 Iterationsschritten das KGV zu
überholen (besser zu minimieren). Beim 150 Iterationsschritt ist jedoch mit beiden
Verfahren ein Level von ca. 0.9 der χ 2 -Funktion erreicht. Das Abbruchkriterium
(4.6) (siehe Abschnitt 4.4.4), mit ɛ1 = 10 −8 , wird mit beiden Verfahren nicht erfüllt.
Weitere Auswertungen haben ergeben, dass das inverse BFGS-Verfahren das KGV
ca. im 180. Iterationsschritt überholt. Im weiteren Verlauf kann jedoch mit dem inversen
BFGS-Verfahren nur noch eine wenig bessere Minimierung der χ 2 -Funktion
errreicht werden. Dies liegt daran, dass sich beide Verfahren bereits in relativ niedrigen
Bereichen befinden, in denen nicht mehr viel minimiert werden kann.
Die Minimierung der χ 2 -Funktion bzgl. der Rechenzeit ist in Abbildung 6.2 zu
sehen. Man sieht, dass das BFGS-Verfahren nicht wesentlich mehr Rechenzeit als
das KGV benötigt, ein Unterschied ist jedoch sichtbar. Dies liegt daran, dass beim
BFGS-Verfahren in jedem Iterationsschritt das Matrixupdate stattfindet. Das KGV
benötigt bis zum Ende ca. 2100s. Das BFGS-Verfahren benötigt zu dem fast gleichen
Endpunkt ca. 3250s. Dies ist ein Faktor von ca. 1.55 mehr Rechenzeit.
Im Gesamturteil ist das KGV besser als das BFGS-Verfahren. Nach 150 Iterationsschritten
ist zwar ein ähnliches Level der χ 2 -Funktion erreicht, das BFGS-
Verfahren benötigt aber mehr Rechenzeit. Ein weiterer Nachteil des BFGS-Verfahrens
gegenüber dem KGV ist, dass in jedem Iterationsschritt die Update-Matrix
gespeichert werden muss. Schon bei dem "kleinen" Patientenplan #135 besitzt die
Update-Matrix ca. 19600 2 Elemente. Werden die Matrixelemente in doppelter Genauigkeit
abgespeichert (also in der Programmiersprache C im "double"-Format mit
8 Byte pro Matrixelement), dann ergibt sich ein Speicheraufwand von ca. 2.9GB für
die Update-Matrix. Z.B. bei einem Optimierungsproblem mit der Dimension von
80000 beträgt der Speicheraufwand für die Update-Matrix ca. 47.7GB bei doppelter
Genauigkeit, was eine hohe Anforderung ist.
Auswertungen haben ergeben, dass die Hesse-Matrizen ∇ 2 χ 2 ( Nk), unabhängig
von k, schwach besetzt sind. Ca. 80-90% der Werte sind 0 oder vernachlässigbar klein.
Die restlichen Werte sind in Clustern durch die gesamte Matrix verteilt [Hor08].
Auch wenn die Hesse-Matrizen ∇ 2 χ 2 ( Nk) schwach besetzt sind, sind die Update-
Matrizen Hk in der Regel voll besetzt [Spe99]. Es ist schwieriger, mit einer vollbesetzten
Matrix Hk die dünnbesetzte Matrix ∇ 2 χ 2 ( Nk) gut zu approximieren, was die
Voraussetzung für ein gutes Konvergenzverhalten eines Quasi-Newton-Verfahrens
ist. Dies könnte ein Grund sein, warum das inverse BFGS-Verfahren bzgl. der Iterationsschritte
nicht effizienter als das KGV arbeitet.
72

χ 2
6.5 Konvergenzergebnisse und Diskussion
Iteration
Abbildung 6.1: Minimierung der χ 2 -Funktion mit dem BFGS-Verfahren und KGV als Funktion
der Iterationsschritte. Detaillierte Bildbeschreibung und Diskussion befindet sich im Text.
χ 2
KGV
ca. 2100s
❏
❏❏❏❏❏❏❫
χ2-Level von ca. 0.9
❏
❏❏❫
Zeit [s]
BFGS
ca. 3250s
❏
❏❏❏❫
Abbildung 6.2: Minimierung der χ 2 -Funktion mit dem BFGS-Verfahren und KGV als Funktion
der Rechenzeit. Detaillierte Bildbeschreibung und Diskussion befindet sich im Text.
73

6 BFGS-Verfahren
6.6 Weitere implementierte und ausgewertete
Varianten des inversen BFGS-Verfahrens und
zusätzliche Bemerkungen
Der Vollständigkeit halber werden hier alle anderen Varianten des inversen BFGS-
Verfahrens angegeben, die in TRiP implementiert und ausgewertet wurden. Die
anderen Varianten haben schlechtere Ergebnisse geliefert als das inverse BFGS-
Verfahren aus Abschnitt 6.4. Aus diesem Grund werden von den anderen Varianten
an dieser Stelle keine Konvergenzergebnisse gezeigt. Des Weiteren werden in diesem
Abschnitt zusätzliche Bemerkungen zum inversen BFGS-Verfahren aus Abschnitt
6.4 gemacht.
74
• Bei allen Varianten des inversen BFGS-Verfahrens war der Winkeltest notwendig
für ein gutes Konvergenzverhalten. D.h., dass im Verfahren öfters Suchrichtungen
dBFGS k erzeugt wurden, die nahe an der Höhenlinie lagen. Ohne den
Winkeltest war die Konvergenzgeschwindigkeit des entsprechenden inversen
BFGS-Verfahrens sehr langsam (sogar wesentlich langsamer als beim GRV).
[HDK10]
• Beim Winkeltest wurden für den kritischen Winkelwert τ in allen inversen
BFGS-Varianten Werte von 0.05, 0.1, 0.15, ...,0.5 getestet. In den meisten
Fällen wurden mit τ = 0.15 die besten Konvergenzergebnisse erzielt. War der
Wert kleiner, dann wurden BFGS-Suchrichtungen zugelassen, die zu nah an
den Höhenlinien waren. Daraus folgte oft eine sehr geringe Minimierung der
Zielfunktion. Bei größeren Werten für τ verhielt sich das Verfahren sehr ähnlich
wie das GRV.
• Wurde als Suchrichtung die BFGS-Suchrichtung verwendet, also
dk = d BFGS
k , (6.26)
dann wurden die besten Konvergenzergebnisse erzielt, wenn die Startschrittweite
µmax,k für das Armijo-Verfahren über das Minimum der quadratischen
Interpolation (4.12) berechnet wurde. Näheres dazu im übernächsten Punkt.
• Ergibt sich aus dem Winkeltest, dass die aktuelle Suchrichtung der negative
Gradient ist, also:
dk = −∇χ 2 ( Nk) , (6.27)
dann werden die besten Konvergenzergebnisse erreicht, wenn die Startschrittweite
µmax,k für das Armijo-Verfahren über µBio aus (4.10) berechnet wird.
Näheres dazu im nächsten Punkt.
• Auswertungen haben folgendes ergeben: Für die Norm der Suchrichtung über
den negativen Gradienten gilt || − ∇χ2 ( Nk)|| < 1 ∀ k und für die Norm der
BFGS-Suchrichtung gilt || dBFGS k || > 1 ∀ k. Es konnte beobachtet werden, dass

6.6 Weitere implementierte und ausgewertete Varianten des inversen
BFGS-Verfahrens und zusätzliche Bemerkungen
wenn die Norm der Suchrichtung klein ist, dass sich als Startschrittweite für
das Armijo-Verfahren µBio besser eignet. Ist die Norm der Suchrichtung größer,
dann eignet sich als Startschrittweite für das Armijo-Verfahren das Minimum
aus der quadratischen Interpolation (4.12). Daher erhält man die besten Konvergenzergebnisse
mit dem inversen BFGS-Verfahren, wenn die Startschrittweite
für das Armijo-Verfahren vom Typen der Suchrichtung abhängt.
Mit der Variante des inversen BFGS-Verfahrens aus Abschnitt 6.4 erhält man
die besten Konvergenzergebnisse. Es konnte sogar beobachtet werden, dass
mit dieser Variante dass Armijo-Verfahren in fast allen Iterationsschritten die
Startschrittweite nicht verkleinern muss. Dies lässt folgendes vermuten: Falls in
einem Iterationsschritt die Suchrichtung −∇χ2 ( Nk) verwendet wird, wird mit
der Schrittweite µBio eine gute Approximation der exakten Schrittweite erzielt.
Wird als Suchrichtung dBFGS k verwendet, dann erhält man über das Minimum
der quadratischen Interpolation (4.12) eine gute Approximation der exakten
Schrittweite. Dass die Startschrittweite des Armijo-Kriteriums (4.11) fast immer
akzeptiert wird, spielt für die benötigte Gesamtrechenzeit des Verfahrens
eine bedeutende Rolle. Es werden dann keine zusätzlichen Funktionsauswertungen
benötigt. Diese sind hier relativ teuer, da bei einer Auswertung der
χ2-Funktion die RBW-Werte berechnet werden müssen, was zeitaufwendig ist.
• Wurden die Werte für die Startschrittweite für das Armijo-Verfahren manuell
gewählt, z.B. µmax,k = 1, 2 oder 4, dann waren die Konvergenzergebnisse nicht
schlecht aber auch nicht zufriedenstellend.
• Bei der BFGS-Suchrichtung dBFGS k wurde für das Armijo-Verfahren als Startschrittweite
die folgende implementiert:
µmax,k = || Nk||
|| dk||
, || dk|| = 0 . (6.28)
Auswertungen haben ergeben, dass diese Startschrittweite zu groß ist. Das
Armijo-Verfahren musste die Startschrittweite oft (ca. 5-10) verkleinern. Durch
die zusätzlichen Auswertungen der χ 2 -Funktion wird damit viel Rechenzeit
beansprucht. Die Ergebnisse mit dieser Startschrittweite bzgl. der Iterationsschritte
waren ähnlich wie in Abbildung 6.1. Durch die langen Rechenzeiten
war das Ergebnis bzgl. der Rechenzeit relativ schlecht.
Weitere Auswertungen haben ergeben, dass bei der Startschrittweite (6.28)
die letztendlich akzeptierte Schrittweite ähnlich wie die Schrittweite aus dem
Minimum der quadratischen Interpolation ist. Dies festigt die Vermutung, die
schon weiter oben genannt wurde, dass mit der Schrittweite aus dem Minimum
der quadratischen Interpolation (4.12) eine gute Approximation der exakten
Schrittweite erzielt wird.
• Für die Konstanten δ und γ im Armijo-Verfahren wurden in allen Varianten
des inversen BFGS-Verfahrens verschiedene Werte überprüft. Es wur-
75

6 BFGS-Verfahren
76
den jeweils, in Kombination miteinander, δ = 0.75, 0.66, 0.5, 0.33, 0.25 und
γ = 10 −1 , 10 −2 , 10 −3 , . . . , 10 −5 ausprobiert. Die besten Konvergenzergebnisse
wurden mit δ = 0.5 und γ = 10 −2 erzielt. Dies konnte in den meisten Varianten
des inversen BFGS-Verfahrens beobachtet werden.
• Restarts beim inversen BFGS-Verfahren (D.h., dass die Update-Matrix H −1
k
in einem gewissen Iterationsschritt k mit der Einheitsmatrix I "neu gestartet"
wird [Alt02]) zeigten stets eine Verschlechterung der Konvergenzergebnisse.

7 Zusammenfassung und Ausblick
7.1 Zusammenfassung
Im Pilotprojket der GSI wurden von 1997 bis 2008 ca. 440 Tumorpatienten mit
schweren Ionen unter Verwendung des Rasterscan-Verfahrens bestrahlt. Dabei wurden
ausschließlich Kohlenstoffionen verwendet, da diese durch ihren scharfen Bragg-
Peak und ihre hohe RBW besonders geeignete Eigenschaften besitzen. Die Erfolgsquoten
von dieser neuartigen Strahlentherpaie waren so vielversprechend, dass seit
2008 das dedizierte Heidelberger Ionenstrahl-Therapiezentrum HIT die Schwerionentherapie
im klinischen Routinebetrieb weiterführt. Die Patiententherapie findet nur
noch am HIT statt, dennoch ist die Schwerionentherapie weiterhin Gegenstand intensiver
Forschung an der GSI.
Für jeden Patienten muss vor der Bestrahlung ein individueller Bestrahlungsplan
erstellt werden. Dafür wurde an der GSI die Bestrahlungsplanungssoftware
TRiP entwickelt. Ein wesentlicher Bestandteil der Bestrahlungsplanung ist die Optimierung
der Dosis. Das Ziel dabei ist eine homogene Dosisverteilung durch den
Tumor zu erhalten, die nahe an der vorgeschriebenen Dosis liegt. Des Weiteren
soll die resultierende Dosisverteilung im gesunden Gewebe so niedrig wie möglich
sein und in kritischen Organen gewisse Dosis-Grenzwerte nicht überschreiten. Diese
Kriterien können mathematisch in einem Optimierungsproblem formuliert werden.
Werden biologische Effekte berücksichtigt, d.h. eine Einbeziehung der RBW, dann
wird das Optimierungsproblem nichtlinear. Der Kerngedanke der Optimierung ist,
dass die quadratischen Abweichungen zwischen vorgeschriebener Dosis und tatsächlich
erzeugter Dosis in den Voxeln minimiert werden, was mit einem Zielfunktional
modelliert wird. Dabei sind die Teilchenzahlen für die Rasterpunkte die freien und zu
optimierenden Variablen. Eine mathematische Analyse des Optimierungsproblems
ergibt, dass es sich um eine nichtlineare endlichdimensionale ungleichungsrestringierte
Funktionalminimierung handelt. Die theoretische Betrachtung und numerische
Lösung des Optimierungsproblemes waren Schwerpunkt dieser Master-Thesis.
Nach der Beschreibung des Optimierungsproblemes wurde dieses theoretisch betrachtet.
Eine Stetigkeitsuntersuchung der Zielfunktion ergab, dass diese wegen der
vorkommenden Heaviside-Funktion nicht stetig ist. Für die Existenzuntersuchung
konnte damit der Extremwertsatz von Weierstraß nicht angewendet werden, da dieser
die Stetigkeit der Zielfunktion voraussetzt. Zudem ist die zulässige Menge des
Optimierungsproblems nicht beschränkt, was eine weitere Voraussetzung des Extremwertsatzes
von Weierstraß ist. Aus diesem Grund wurde für den Existenzbeweis
eine Erweiterung des Extremwertsatzes von Weierstraß verwendet, die die Unter-
77

7 Zusammenfassung und Ausblick
halbstetigkeit und radiale Unbeschränktheit der Zielfunktion voraussetzt. Nach dem
diese beiden Eigenschaften für das Zielfunktional bewiesen werden konnten, konnte
die Existenz mindestens eines globalen Minimums des Optimierungsproblemes bewiesen
werden. Die Eindeutigkeit eines globalen Minimums konnte nicht nachgewiesen
werden, da die Zielfunktion nicht konvex ist. Damit können Standardtechniken,
mit denen Eindeutigkeitsbeweise für Minima geführt werden, nicht angewendet werden.
Des Weiteren wurde die Zielfunktion in dieser Arbeit mit einer angepassten
Tangens Hyperbolicus-Funktion geglättet. Dies war notwendig, damit die Karush-
Kuhn-Tucker-Bedingungen zu dem Optimierungsproblem angegeben werden konnten.
Diese sind die notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung und besitzen
nur bei einer stetig-differenzierbaren Zielfunktion ihre Gültigkeit.
Für die numerische Lösung des Optimierungsproblemes wurden Linesearch-Verfahren
verwendet. Als erstes wurden diese allgemein eingeführt und deren Arbeitsweise
geschildert. Als Schrittweitensteurung wurden in dieser Arbeit zwei Techniken
verwendet. Bei der einen Technik wird eine skalierte Schrittweite von einem
einfacheren linearen Optimierungsproblem verwendet, bei dem die biologischen
Effekte vernachlässigt werden und die andere Technik ist die bekannte Armijo-
Schrittweitensteuerung. Bei der Armijo-Schrittweite wurden unterschiedliche Startschrittweiten
verwendet. Als Linesearch-Verfahren wurden in dieser Arbeit das Gradientenverfahren,
das konjugierte Gradientenverfahren und das inverse BFGS-Verfahren
in TRiP implementiert und ausgewertet. Deren Arbeitsweise, Vor- und Nachteile
als auch diverse Varianten dieser Verfahren wurden diskutiert. Die besten Minimierungsergebnisse
von den Varianten dieser Verfahren wurden bei Verwendung
des Patientenplanes #135 bzgl. der Iterationsschritte als auch der Rechenzeit gegenübergestellt.
Das Gradientenverfahren schneidet dabei am schlechtesten ab. Bzgl. der
Iterationsschritte arbeiten das inverse BFGS-Verfahren und das konjugierte Gradientenverfahren
ähnlich effizient. Wegen den benötigten Matrixupdates braucht jedoch
das inverse BFGS-Verfahren ca. um einen Faktor von 1.5 mehr Rechenzeit als das
konjugierte Gradientenverfahren. Obwohl beim inversen BFGS-Verfahren viele Varianten
versucht wurden, konnten mit diesem keine besseren Konvergenzergebnisse
als mit dem konjugierten Gradientenverfahren erzielt werden.
In [Hor08] wurde die Levenberg-Marquardt-Minimierung [Lev44, Mar63] für die numerische
Lösung des Optimierungsproblemes untersucht. Dabei konnte beobachtet
werden, das dass Minimierungsergebnis bzgl. der Iterationsschritte sehr gut ist (sogar
deutlich besser als beim konjugierten Gradientenverfahren). Da die auftretenden
Gleichungssysteme in jedem Iterationsschritt mit dem Cholesky-Verfahren gelöst
wurden, ist die Levenberg-Marquardt-Minimierung in dieser Variante extrem zeitaufwendig.
Damit ist das konjugierte Gradientenverfahren im Gesamturteil immer
noch geeigneter für die Optimierung in der Bestrahlungsplanung als diese Variante
der Levenberg-Marquardt-Minimierung.
In der Arbeit [Bus09] wurden die auftretenden linearen Gleichungssysteme in
der Levenberg-Marquardt-Minimierung mit den Krylov-Unterraum-Verfahren gelöst.
Dabei konnten die Rechenzeiten zwar signifikant verringert werden, die Ge-
78

7.2 Ausblick
samtrechenzeit der Levenberg-Marquardt-Minimierung war dennoch deutlich höher
als beim konjugierten Gradientenverfahren.
Ein weiterer Schwerpunkt der Arbeit [Bus09] war das konjugierte Gradientenverfahren.
Dort wurden viele Varianten von diesem untersucht, wie z.B. die von Polak-
Ribiere und Hestenes-Stiefel. Auch in der Arbeit [Bus09] hat sich gezeigt, dass die
besten Konvergenzergebnisse bei der numerischen Lösung des Optimierungsproblemes
mit der Fletcher-Reeves Variante des konjugierten Gradientenverfahrens erreicht
werden.
Der gegenwärtige Stand ist, dass bei der nichtlinearen Dosisoptimierung in der
Schwerionentherapie die Fletcher-Reeves Variante des konjugierten Gradientenverfahrens
das geeignetste Verfahren ist. Mit diesem Verfahren kann der Optimierungsschritt
in der Bestrahlungsplanung in einer angemessen Zeit durchgeführt werden.
Die gegenwärtigen Konvergenzergebnisse als auch die resultierenden Dosisverteilungen
sind relativ zufriedenstellend. Des Weiteren eignet sich das konjugierte Gradientenverfahren,
da es keine großen Speicherressourcen beansprucht und robust ist.
7.2 Ausblick
Folgende Ideen könnten in der Zukunft bei der nichtlinearen Dosisoptimierung eingebracht
werden:
• Es könnten Modifikationen an der Zielfunktion vorgenommen werden. Z.B.
könnten Optimierungsergebnisse betrachtet werden, wenn als Zielfunktion die
geglättete Zielfunktion aus (3.23) verwendet wird.
• Für die numerische Lösung des Optimierungsproblemes könnten die sog. Innere-
Punkte-Verfahren getestet werden.
• Die auftretenden Gleichungssysteme bei der Levenberg-Marquardt-Minimierung
könnten mit UMFPACK [Dav04] gelöst werden. Damit könnte das gute
Konvergenzverhalten der Levenberg-Marquardt-Minimierung bzgl. der Iterationsschritte
ausgenutzt werden. Mit UMFPACK können dünnbesetzte lineare
Gleichungssysteme sehr schnell gelöst werden. Dabei werden Matrixpermutationen
geschickt eingesetzt.
• Beim KGV könnte eine Implementierung des Winkeltestes, ähnlich wie beim
inversen BFGS-Verfahren, untersucht werden.
• Beim KGV könnte die Armijo-Schrittweite und die Powell-Wolfe-Schrittweite
eingebaut werden. Die Powell-Wolfe-Schrittweite ist eine Erweiterung der Armijo-Schrittweite.
Diese kann die Startschrittweite auch vergrößern.
• Beim BFGS-Verfahren könnte die Powell-Wolfe-Schrittweite implementiert werden.
79

7 Zusammenfassung und Ausblick
• Anstelle des BFGS-Updates könnte das Limited-Memory-BFGS-Update (L-
BFGS) verwendet werden. Dabei werden nicht Updates der ganzen Matrix
berechnet, sondern nur von den relevanten Matrixeinträgen. Mit dem L-BFGS-
Verfahren kann viel Speicherplatz gespart werden.
• Es könnten Auswertungen gemacht werden, wie bei der numerischen Lösung
des Optimierungsproblemes die Linesearch-Verfahren geeignet miteinander
kombiniert werden können. Beispielsweise könnte im Einzugsgebiet das KGV
verwendet werden und in einem geeigneten Iterationsschritt könnte dann die
Levenberg-Marquardt-Minimierung oder das inverse BFGS-Verfahren "eingeschaltet"
werden.
In Abschnitt 1.5 wurde erwähnt, dass die GSI an einer Weiterentwicklung der Schwerionentherapie
arbeitet. Zwei Punkte bei der Erweiterung der Therapie, wo die Optimierung
eine Rolle spielt, sind:
80
• Bei der Patientenbehandlung soll in Zukunft die adaptive Therapie angewendet
werden. Hierbei soll z.B. der sogenannte Hypoxia-Effekt berücksichtigt
werden. Dies erfordet eine neue Formulierung des Optimierungsproblemes. Des
Weiteren wird dabei auch der LET optimiert. Näheres dazu findet sich z.B. in
[SKD10].
• Mit dem Schwerionenstrahl sollen auch Tumore bestrahlt werden, die im Thorax
des Patienten liegen und sich unter Einfluss der Atmung und des Herzschlages
bewegen. Dabei wird auch eine Optimierung der Dosis benötigt. Durch die
Tumorbewegung wird die gesamte Bestrahlungsplanung wesentlich aufwendiger
und komplexer als im statischen Fall, was auch zu einer aufwendigeren
Optimierung führt. Weitere Details dazu, als auch zur Dosisoptimierung unter
Einfluss der Bewegung, befindet sich in [BD11].

8 Anhang
8.1 Beschleunigeranlage der GSI
Obere Abbildung zeigt den Grundriß der GSI-Beschleunigeranlage. Im linken Fenster
sieht man die Vergrößerung des Therapieraumes, der sich im gelben Bereich befindet.
Die wichtigsten Beschleunigerkomponenten für die Therapie an der GSI sind:
1. Die Ionenquellen HLI: Hier werden die 12 C-Ionen erzeugt.
2. Der Linearbeschleuniger UNILAC: Dient als Vorstufe der Beschleunigung.
3. Der Schwerionensynchrotron SIS: In dem Kreisbeschleuniger werden die 12 C-
Ionen auf die gewünschte Geschwindigkeit/Energie gebracht.
81

8 Anhang
8.2 Gradient und Hesse-Matrix der Dosis
Hier wird der Gradient und die Hesse-Matrix für die physikalische, RBW-gewichtete
und des analytischen Ausdrucks für die RBW-gewichtete Dosis angegeben. Gradient
und Hesse-Matrix der entsprechenden Dosis werden besonders bei den Ableitungen
der Zielfunktion benötigt (siehe nächsten Abschnitt). Die verschiedenen Dosistypen
werden ausführlich in Abschnitt 2.2 behandelt. Dort sind auch die Bezeichnungen
und mathematischen Forderungen für die vorkommenden Parameter angegeben. Diese
werden hier in den Ableitungen nicht mehr angegeben.
8.2.1 Gradient und Hesse-Matrix der physikalischen Dosis
Hier werden die Ableitungen der physikalischen Dosis
mit D i Phys
Der Gradient ist
mit ∇D i Phys
: Rp
≥0 → R≥0 ∀ i, angegeben.
: Rp≥0
→ Rp≥0
∀ i.
D i Phys( N) = c T i · N , (8.1)
∇D i Phys( N) = ci , (8.2)
Es ist offensichtlich, dass die Hesse-Matrix ∇ 2 D i Phys ( N) in jedem Voxel i die Nullmatrix
ist.
8.2.2 Gradient und Hesse-Matrix der RBW-gewichteten Dosis
Hier werden die Ableitungen der RBW-gewichteten Dosis
mit D i Bio
Der Gradient ist
mit ∇D i Bio
: Rp
≥0 → R≥0 ∀ i, angegeben.
D i Bio( N) = D i Phys( N) · RBW i ( N) , (8.3)
∇D i Bio( N) = ∇D i Phys( N) · RBW i ( N) + D i Phys( N) · ∇RBW i ( N) , (8.4)
: Rp
≥0 → Rp ∀ i.
Die Hesse-Matrix ist
∇ 2 D i Bio( N) = ∇D i Phys( N) · ∇RBW i ( N) T + ∇RBW i ( N) · ∇D i Phys( N) T
mit ∇ 2 D i Bio ( N) ∈ R p×p ∀ i.
82
+ D i Phys( N) · ∇ 2 RBW i ( N) ,
(8.5)

8.3 Gradient und Hesse-Matrix der Zielfunktion
8.2.3 Gradient und Hesse-Matrix des analytischen Ausdrucks
für die RBW-gewichtete Dosis
Hier werden die Ableitungen des analytischen Ausdrucks für die RBW-gewichtete
Dosis
D i Bio(ana)( N) =
αi · (c T i · N) + βi · (c T i · N) 2
mit Di Bio(ana)
obere Ausdruck ist stetig differenzierbar.
Der Gradient ist
βx
+
2 αx
2βx
− αx
2βx
, (8.6)
: Rp
≥0 → R≥0 ∀ i, angegeben. Wie bereits in 2.2.2 erwähnt wurde, der
∇D i Bio(ana)(
αi · (c
N) = 0.5 ·
T i · N) + βi · (c T i · N) 2
βx
αi + βi · 2 · (c T i ·
N)
·
βx
mit ∇Di Bio(ana)
Gradient komponentenweise stetig.
· ci ,
+
αx
2βx
2 −0.5
(8.7)
: Rp
≥0 → Rp ∀ i. Da (8.6) stetig differenzierbar ist, so ist der obere
Aus Platzgründen wird die Hesse-Matrix ∇ 2 D i Bio(ana) ( N) hier nicht angegeben.
8.3 Gradient und Hesse-Matrix der Zielfunktion
In diesem Abschnitt wird der Gradient und die Hesse-Matrix der Zielfunktion angegeben.
Die Zielfunktion wurde in Abschnitt 2.3 eingeführt und dort physikalisch,
technisch und mathematisch diskutiert. Gradient und Hesse-Matrix der Zielfunktion
werden jeweils für den Fall, dass mit der physikalischen, der RBW-gewichteten
und mit dem analytischen Ausdruck für die RBW-gewichtete Dosis optimiert wird,
angegeben. Gradient und Hesse-Matrix spielen bei den Verfahren zur Minimierung
als auch bei der theoretischen Diskussion der Zielfunktion eine tragende Rolle. Wie
bereits in 2.3.2 erwähnt wurde, beim Ableiten der Zielfunktion wird die Heaviside-
Funktion Θ als konstanter Faktor behandelt.
8.3.1 Gradient und Hesse-Matrix bei Optimierung der
physikalischen Dosis
Optimierung der physikalischen Dosis erfordert das Einsetzen von Di Phys für Di act in
die Zielfunktion. Die Zielfunktion wird in diesem Fall mit χ2 Phys bezeichnet und hat
83

8 Anhang
folgende Gestalt:
mit χ 2 Phys
Der Gradient ist
mit ∇χ 2 Phys
χ 2 Phys( N) =
: Rp≥0
→ R≥0.
Di pre − c T i · 2 N
∆D
i∈Target
2 pre
Di max − c T i · 2 N
+
i∈OAR
∇χ 2 Phys( N) = −2
: Rp
≥0 → Rp .
Die Hesse-Matrix ist
− 2
∆D 2 max
Di pre − c T i ·
N
∆D
i∈Target
2 pre
Di max − c T i · N
i∈OAR
∇ 2 χ 2 Phys( N) = 2
mit ∇ 2 χ 2 Phys ( N) ∈ R p×p .
1
∆D
i∈Target
2 pre
+ 2
1
∆D
i∈OAR
2 max
∆D 2 max
· ci · c T i
· ci · c T i
· Θ c T i · N − D i
max
· ci
· ci · Θ c T i · N − D i
max
· Θ c T i · N − D i
max
8.3.2 Gradient und Hesse-Matrix bei Optimierung der
RBW-gewichteten Dosis
,
,
,
(8.8)
(8.9)
(8.10)
Optimierung der RBW-gewichteten Dosis erfordert das Einsetzen von Di Bio für Di act
in die Zielfunktion. Die Zielfunktion wird in diesem Fall mit χ2 Bio bezeichnet und hat
folgende Gestalt:
84
χ 2 Bio( N) =
Di pre − Di Bio ( 2 N)
∆D
i∈Target
2 pre
Di max − Di Bio ( 2 N)
+
i∈OAR
∆D 2 max
· Θ D i Bio( N) − D i
max
,
(8.11)

mit χ 2 Bio
: Rp≥0
→ R≥0.
Der Gradient ist
∇χ 2 Bio( N) = −2
mit ∇χ 2 Bio
− 2
Di pre − Di Bio (
N)
∆D
i∈Target
2 pre
Di max − Di Bio ( N)
i∈OAR
: Rp
≥0 → Rp .
Die Hesse-Matrix ist
∇ 2 χ 2 Bio( N) = 2
⎡
∆D 2 max
⎣
i∈Target
∇Di Bio ( N) · ∇Di Bio ( N) T
∆D2 pre
+ 2
· Θ
⎡
mit ∇ 2 χ 2 Bio ( N) ∈ R p×p .
⎣
i∈OAR
∇Di Bio ( N) · ∇Di Bio ( N) T
∆D2 max
D i Bio( N) − D i
max ,
8.4 Der Extremwertsatz von Weierstraß
· ∇D i Bio( N)
· ∇D i Bio(
N) · Θ D i Bio( N) − D i
max
−
−
Di pre − Di Bio (
N)
∆D2 pre
Di max − Di Bio ( N)
∆D 2 max
,
(8.12)
· ∇ 2 D i Bio( N)
· ∇ 2 D i Bio( N)
8.3.3 Gradient und Hesse-Matrix bei Optimierung mit dem
analytischen Ausdruck für die RBW-gewichtete Dosis
⎤
⎦
⎤
⎦
(8.13)
Bei Optimierung mit dem analytischen Ausdruck für die RBW-gewichtete Dosis
muss Di Bio(ana) für Di act in die Zielfunktion eingesetzt werden. In diesem Fall wird
die Zielfunktion mit χ2 Bio(ana) bezeichnet. Den Ausdruck χ2 Bio(ana) , den Gradienten
∇χ2 Bio(ana) und die Hesse-Matrix ∇2χ2 Bio(ana) erhält man, wenn in χ2Bio , ∇χ2Bio und
∇2χ2 Bio aus dem vorherigem Abschnitt 8.3.2 die Ausdrücke Di Bio , ∇Di Bio und ∇2Di Bio
mit Di Bio(ana) , ∇Di Bio(ana) und ∇2Di Bio(ana) ersetzt werden.
8.4 Der Extremwertsatz von Weierstraß
Satz 8.1
Es sei G ⊂ X, G nichtleer, eine kompakte Menge und f sei auf G eine stetige Funktion.
Dann besitzt f auf G mindestens ein Optimum/Extremwert.
Bemerkungen:
85

8 Anhang
• Der obige Satz ist in der Literatur in verschiedenen Versionen formuliert. Die
obige Version richtet sich nach [GT97].
• Häufig wird der obige Satz auch nur "Satz von Weierstraß" oder "Satz vom
Maximum und Minimum einer Funktion" genannt.
• Im endlichdimensionalen Raum ist die Kompaktheit einer Menge äquivalent
zu ihrer Beschränktheit und Abgeschlossenheit. Diese Äquivalenz gilt nicht in
unendlichdimensionalen Räumen [Trö09].
• Der obige Satz liefert lediglich eine Aussage über die Existenz von mindestens
einem Optimum. Über das Auffinden oder Eindeutigkeitsaussagen von
optimalen Punkten müssen andere Techniken verwendet werden.
Oftmals ist der Definitionsbereich G von f nicht kompakt. Der Satz von Weierstraß
kann dennoch als Existenzkriterium für ein Minimum verwendet werden, wenn
Niveau-Mengen betrachtet werden. Eine Niveau-Menge NM ist wie folgt definiert:
Definition 8.2
Sei G ⊂ R n , G nichtleer, f : G → R und x0 ∈ G. Die Menge
heißt Niveau-Menge der Funktion f.
NM(f, f(x0)) := {x ∈ G | f(x) ≤ f(x0)} (8.14)
Jetzt kann der Satz von Weierstraß auf kompakte Niveau-Mengen angepasst werden.
Satz 8.3
Es sei G ⊂ R n , G nichtleer und f : G → R stetig auf G. Existiert ein x0 ∈ G, so
dass die zugehörige Niveau-Menge
NM(f, f(x0)) := {x ∈ G | f(x) ≤ f(x0)} (8.15)
nichtleer und kompakt ist, dann besitzt f auf G mindestens ein globales Minimum.
8.5 Unterhalbstetigkeit einer Funktion
Die Halbstetigkeit einer Funktion ist eine Erweiterung des Begriffes der Stetigkeit
einer Funktion. Funktionen, die unstetig sind, können unterhalb- oder oberhalbstetig
sein. Bei der Minimierung einer reellwertigen Funktion spielt die Unterhalbstetigkeit
der Funktion eine große Rolle. Da die Zielfunktion in dieser Arbeit minimiert werden
soll, wird im folgenden nur die Unterhalbstetigkeit behandelt. Oft wird anstelle von
Unterhalbstetigkeit der Begriff "nach unten halbstetig" oder "halbstetig von unten"
verwendet.
86

8.5 Unterhalbstetigkeit einer Funktion
Es folgen zwei äquivalente Definitionen für unterhalbstetige Funktionen:
Definition 8.4
Sei X ein topologischer Raum, x0 ∈ X und f : X → R eine reellwertige Funktion.
f heißt im Punkt x0 unterhalbstetig, wenn für jedes ɛ > 0 eine Umgebung U von x0
existiert, so dass f(y) > f(x0) − ɛ für alle y ∈ U gilt.
Definition 8.5
Sei X ein topologischer Raum, x0 ∈ X und f : X → R eine reellwertige Funktion.
Des Weiteren existiert in X eine beliebige Folge xn mit xn → x0. Die Funktion f ist
unterhalbstetig in x0, falls
lim inf f(xn) ≥ f(x0) (8.16)
xn→x0
gilt.
Bei näherer Betrachtung der beiden obigen Definitionen erkennt man, dass bei einer
unterhalbstetigen Funktion die Funktionswerte nicht nach unten springen können.
Analog, wie bei der Stetigkeit einer Funktion, gilt:
Definition 8.6
Die Funktion f heißt unterhalbstetig auf X, wenn sie in jedem Punkt x0 ∈ X unterhalbstetig
ist.
Eigenschaften unterhalbstetiger Funktionen:
• Eine Funktion f ist in einem Punkt x0 stetig, wenn sie in x0 sowohl unterhalbals
auch oberhalbstetig ist.
• Sind f und g in x0 unterhalbstetig, dann ist auch deren Summe f + g in x0
unterhalbstetig.
• Sind f und g nichtnegativ und in x0 unterhalbstetig, dann ist auch deren
Produkt f · g in x0 unterhalbstetig.
Die zweite Eigenschaft zur Addition unterhalbstetiger Funktionen kann über Definition
8.5 leicht gezeigt werden. Aus der Definition von "lim inf" folgt:
lim inf
xn→x0
(f(xn) + g(xn)) ≥ lim inf
xn→x0
f(xn) + lim inf
xn→x0
g(xn) ≥ f(x0) + g(x0) . (8.17)
Analog kann die dritte Eigenschaft zur Multiplikation unterhalbstetiger Funktionen
gezeigt werden.
Abbildung 8.1 zeigt ein Beispiel für eine unstetige Funktion, die unterhalbstetig
ist.
87

8 Anhang
f
Abbildung 8.1: Beispiel einer unstetigen Funktion, die unterhalbstetig ist. Man sieht, dass die
Funktion f an keiner Stelle nach unten springt. Der Sprung nach oben an der Stelle x0 verletzt die
Bedingung der Unterhalbstetigkeit nicht.
8.6 Radiale Unbeschränktheit einer Funktion
Bei der Minimierung einer Funktion spielt die radiale Unbeschränktheit der Funktion
eine bedeutende Rolle. Eine radial unbeschränkte Funktion ist wie folgt definiert:
Definition 8.7
Eine Funktion f : R n → R mit
heißt radial unbeschränkt.
Bemerkungen:
lim f(x) = +∞ (8.18)
||x||→∞
• Manchmal wird eine radial unbeschränkte Funktion auch "koerziv" genannt.
• Anschaulich bedeutet die radiale Unbeschränktheit einer Funktion, dass die
Funktionswerte gegen unendlich gehen, wenn die Eingabewerte gegen unendlich
gehen.
• Sind die Funktionen f und g radial unbeschränkt, so ist auch deren Summe
f + g radial unbeschränkt.
8.7 Erweiterungen des Extremwertsatzes von
Weierstraß
In Abschnitt 8.4 ist die "Standardversion" des Extremwertsatzes von Weierstraß
angegeben. Diese benötigt Stetigkeit der Funktion und Kompaktheit der Menge, auf
der die Funktion betrachtet wird. Der Extremwertsatz von Weierstraß gilt auch unter
schwächeren Voraussetzungen. Z.B. besitzt Satz 8.1 seine Gültigkeit, wenn die
88

8.8 Eindeutigkeit eines Minimums
Forderung der Stetigkeit von f durch Unterhalbstetigkeit ersetzt wird [Ste04]. Wenn
zusätzlich die radiale Unbeschränktheit von f einbezogen wird, so kann der folgende
Satz angegeben werden:
Satz 8.8
Die zulässige Menge G sei nichtleer und abgeschlossen, die Funktion f : G → R sei
auf G unterhalbstetig und radial unbeschränkt, also
lim
||x||→∞, x∈G
f(x) = +∞ . (8.19)
Dann besitzt f auf G mindestens ein globales Minimum.
8.8 Eindeutigkeit eines Minimums
In der Regel werden Eindeutigkeitsaussagen für Minima von Optimierungsproblemen
über Konvexitätseigenschaften der zulässigen Menge und Zielfunktion getroffen.
Satz 8.9
Sei G ⊂ R n eine konvexe Menge und f : G → R eine konvexe Funktion. Dann gilt:
i) Jedes lokale Minimum von f auf G ist auch globales Minimum.
ii) Ist f streng konvex, dann hat f auf G höchstens ein lokales Minimum und dieses
ist dann zugleich das einzige globale Minimum.
Bemerkungen:
• Haüfig wird der Begriff strikt konvex anstelle von streng konvex verwendet.
• Definitionen von konvexen Mengen und Funktion, als auch weitere Bemerkungen,
Sätze und Eigenschaften von solchen, befinden sich z.B. in [GK02, Alt02,
Ulb07].
8.9 Exakte Schrittweitenbestimmung bei
Optimierung der physikalischen Dosis
Optimierung der linearen physikalischen Dosis bei Vernachlässigung des OAR-Terms
in der Zielfunktion hat folgende Gestalt:
χ 2 Phys( N) =
i∈Target
Di pre − c T i · 2 N
∆D 2 pre
, (8.20)
89

8 Anhang
mit χ 2 Phys : R p
≥0 → R≥0. In diesem Fall kann die exakte Schrittweite µPhys (siehe
Abschnitt 4.2) analytisch berechnet werden. Dafür ergibt sich ein streng konvexes
quadratisches Optimierungsproblem. Das eindeutige µPhys muss dann die folgende
notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung erfüllen:
dχ 2 Phys ( N + µPhys d)
dµPhys
= −2
i∈Target
D i pre − c T i · ( N + µPhys d)
∆D 2 pre
·
c T i ·
d = 0 .
(8.21)
Nach einigen analytischen Operationen kann nach dem µPhys eindeutig umgestellt
werden:
µPhys =
⎛
⎝
i∈Target
Di pre − c T i ·
N · c T i · ⎞
⎛
d
⎠ ⎜
/ ⎝
∆D 2 pre
i∈Target
c T i · d
∆D 2 pre
2
⎞
⎟
⎠ . (8.22)
Der Nenner in (8.22) darf nicht 0 werden.
Diese Prozedur muss bei einem Linesearch-Verfahren in jedem Iterationsschritt
k wiederholt werden. D.h., der Iterationsindex k wurde hier für µk, Nk und dk
unterschlagen. Der genaue Rechenweg von (8.21) nach (8.22) findet sich in [Hor08].
90

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97

Danksagung
Hier möchte ich mich bei den vielen Menschen bedanken, die zu dieser Master-Thesis
beigetragen haben.
Als erstes Danke ich Prof. Dr. Christian Meyer dafür, dass er mir die Möglichkeit
gegeben hat, diese externe Master-Thesis anzufertigen. Des Weiteren danke ich
ihm für die zahlreichen Ratschläge und Denkanstöße. Trotz der größeren Entfernung
habe ich mich die ganze Zeit hervorragend betreut gefühlt.
Bei Prof. Dr. Stefan Ulbrich bedanke ich mich herzlichst für die Übernahme der
Korreferentschaft.
Bei PD Dr. Michael Krämer bedanke ich mich für die Übergabe des interessanten
Themas und für die Beantwortung meiner Fragen.
Vielen Dank an Prof. Dr. Michael Gubitz, dass er mich im Jahre 2006 als Praktikanten
an die GSI in die Abteilung Biophysik vermittelt hat. Ohne ihn wäre diese
Arbeit nicht zustande gekommen.
Dem ehemaligen Leiter und Gründer der Biophysik-Abteilung Prof. Dr. Gerhard
Kraft danke ich, dass er mich im Jahre 2006 in seine Abteilung aufgenommen hat.
Dem gegenwärtigem Leiter der Biophysik-Abteilung Prof. Dr. Marco Durante
danke ich herzlichst, dass ich in seiner Abteilung als Werkstudent arbeiten durfte
und diese Master-Thesis erstellen konnte.
Bei den zahlreichen Zimmerkollegen über den längeren Zeitraum dieser Master-
Thesis bedanke ich mich für die angenehme Büroatmosphäre. Besonders danke ich
Alexander Helm, der während dieser Zeit treu mein Platznachbar war und für den
Austausch mit ihm von Biologie- und Mathe-Themen.
Der gesamten Biophysik-Gruppe danke ich für die angenehme Arbeitsatmosphäre
in den letzten 5 1 Jahren. Diese tolle Zeit werde ich mein ganzes Leben lang nicht
2
vergessen!
Abschließend ist es mir ein besonderes Anliegen mich bei meinen Eltern zu bedanken.
An sie geht mein größter Dank, denn sie haben mir überhaupt das Studium
der Mathematik ermöglicht.
99

Erklärung
Hiermit versichere ich, die vorliegende Master-Thesis ohne Hilfe Dritter, nur mit den
angegebenen Quellen und Hilfsmitteln, angefertigt zu haben. Alle Stellen, die aus
den Quellen entnommen wurden, sind als solche kenntlich gemacht worden. Diese
Arbeit hat in gleicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen.
Darmstadt, den 27. Oktober 2011.
(Michael Horcicka)