Fachbereich Mathematik - GSI

4 Nichtlineare Optimierung
In diesem Kapitel wird das Wichtigste zur numerischen Lösung des Optimierungsproblems
(2.8)-(2.9) zusammengefasst. Der erste Abschnitt gibt eine Einführung in
die sogenannten Linesearch-Verfahren. Im darauffolgenden Abschnitt werden zwei
Schrittweitenstrategien vorgestellt. In Abschnitt 4.3 wird die Voroptimierung erklärt.
Diese ist wichtig, den das Ergebnis der Voroptimierung wird als Startpunkt
für die Linesearch-Verfahren verwendet. Der letzte Abschnitt behandelt noch einige
Details zur numerischen Optimierung, wie z.B. die verwendete Rechnerarchitektur
und der verwendete Bestrahlungsplan, über die Bewertung der Verfahren und abschließend
zwei Bemerkungen zur Implementierung der Verfahren.
Bemerkung: Die Kapitel 4, 5 und 6 beschäftigen sich mit der numerischen Lösung des
Optimierungsproblemes (2.8)-(2.9). Dabei wird ausschließlich die RBW-gewichtete
Dosis optimiert. Die RBW-Werte werden in dieser Arbeit mit der ersten Version
des LEMs, das LEM I, berechnet. Aus Platzgründen wird die Zielfunktion in den
Kapiteln 4, 5 und 6 nicht mehr mit χ2 Bio(ana) oder χ2Bio bezeichnet, sondern nur noch
mit χ2 .
4.1 Numerische Minimierung mit
Linesearch-Verfahren
Die Nichtlinearität des Optimierungsproblemes (2.8)-(2.9) lässt keine analytische
Lösung zu. Die einzige Möglichkeit, einen Lösungsvektor NOpt zu erhalten, ist eine
Lösung mit numerischen Methoden. Da die Zielfunktion minimiert werden soll, ist
es naheligend, mit einem Iterationsverfahren ein Abstiegsverfahren zu erzeugen. Bei
einem Abstiegsverfahren erüllt eine Folge Nk, ausgehend von einem Startpunkt N0,
die folgende Bedingung:
χ 2 ( Nk+1) < χ 2 ( Nk) , k = 0, 1, 2, 3, . . . . (4.1)
k ist der Iterationsindex des Verfahrens. Ziel ist es, dass die Folge Nk gegen ein
NOpt konvergiert. Es gibt zwei Klassen von Abstiegsverfahren, die sogenannten
Linesearch-Verfahren und die Trust-Region-Verfahren [Ulb07]. In dieser Arbeit werden
nur Linesearch-Verfahren verwendet. Linesearch-Verfahren sind die klassischen
Verfahren zur Lösung nichtlinearer Optimierungsaufgaben und sind bis jetzt besser
untersucht. Trust-Region-Verfahren spielen eher bei neueren Verfahrenskonzepten
eine Rolle [Alt02].
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