Fachbereich Mathematik - GSI

6.3 Das BFGS-Update
Eine Herleitung und weiteres zu der Quasi-Newton-Gleichung findet man z.B. in
[Ulb07]. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden die folgenden Abkürzungen verwendet:
sk = Nk+1 − Nk und yk = ∇χ 2 ( Nk+1) − ∇χ 2 ( Nk) , (6.13)
mit sk ∈ R p und yk ∈ R p . Mit den oberen Abkürzungen kann die Quasi-Newton-
Gleichung kompakter aufgeschrieben werden:
Hk+1 · sk = yk . (6.14)
Bei den Quasi-Newton-Verfahren beschränkt man sich bei den Aufdatierungsformeln
auf folgende Abbildung:
Hk+1 = Φ(Hk, sk, yk) , (6.15)
mit Φ : R p×p × R p × R p → R p×p .
Bemerkungen:
• Als Startmatrix H0 wird oft die Einheitsmatrix I verwendet. Die Einheitsmatrix
ist symmetrisch und positiv definit.
• Bei einem guten Update sollte die Matrix Hk+1 symmetrisch, positiv definit
und notwendigerweise die Quasi-Newton-Gleichung erfüllen.
• Nach Möglichkeit sollte ein Update wenig Rechenaufwand erfordern.
• Unter gewissen Voraussetzungen gilt
lim
k→∞ ||Hk+1 − Hk|| = 0 . (6.16)
Ist (6.16) erfüllt, dann kann von dem entsprechenden Quasi-Newton-Verfahren,
über die Dennis-Moré-Bedingung, superlineare Konvergenz gezeigt werden.
Die Matrix Hk+1 in der Quasi-Newton-Gleichung ist nicht eindeutig bestimmt. Aus
diesem Grund existieren mehrere Aufdatierungvarianten, wie z.B. das SR1-, DFPoder
BFGS-Update. Das BFGS-Update ist das Bewährteste unter ihnen, da es sich
in der Praxis als das numerisch effizienteste erwiesen hat. Daher wurde bis jetzt
nur dieses in TRiP implementiert und ist Gegenstand im weiteren Verlauf dieses
Kapitels.
6.3 Das BFGS-Update
Es wird nochmals an die Abkürzungen
sk = Nk+1 − Nk und yk = ∇χ 2 ( Nk+1) − ∇χ 2 ( Nk) (6.17)
67