Fachbereich Mathematik - GSI

5 Gradientenverfahren und konjugiertes Gradientenverfahren
7. Berechne dk+1 = −∇χ 2 ( Nk+1).
8. Berechne βk = dT k+1 · dk+1
d T k · ,
dk
dT k · dk = 0, βk ∈ R≥0.
9. Berechne hk+1 = dk+1 + βk hk.
10. Setze k := k + 1 und gehe zurück zu Schritt 4.
Bemerkungen:
• Das KGV arbeitet lediglich mit Vektoren und Skalaren und ist daher nicht
Speicheraufwändig. Daher eignet es sich, wie das GRV, für hochdimensionale
Optimierungsprobleme.
• Mit der gleichen Begründung wie beim GRV ist das KGV für Minima in flachen
Regionen ineffizient.
• Wird das βk wie in Schritt 8. berechnet, dann handelt es sich bei dem konjugierten
Gradientenverfahren um die Variante nach "Fletcher-Reeves". Es existieren
neben dieser Variante noch einige andere, wie z.B. die nach "Hestenes-
Stiefel" oder "Polak-Ribiere". Bei den anderen Varianten wird das βk jeweils
leicht abgeändert berechnet. Für nichtlineare Optimierungsprobleme erhält
man jedoch meistens mit der "Fletcher-Reeves"-Variante die besten Konvergenzergebnisse
[Alt02]. In [Bus09] wurde gezeigt, dass man bei der numerischen
Lösung des Optimierungsproblems (2.8)-(2.9) mit der "Fletcher-
Reeves"-Variante die besten Konvergenzergebnisse erhält.
• Wie das GRV, so ist auch das KGV bei bestimmten Voraussetzungen ein global
konvergentes Verfahren.
5.3 Konvergenzergebnisse und Diskussion
Abbildung 5.1 zeigt die Minimierung der χ 2 -Funktion mit dem GRV und KGV als
Funktion der Iterationsschritte und Abbildung 5.2 als Funktion der Rechenzeit bei
Verwendung des Patientenplanes #135 (genaueres zum Bestrahlungsplan befindet
sich in Abschnitt 4.4.2).
Bei der Minimierung der χ 2 -Funktion bzgl. der Iterationsschritte ist sowohl beim
GRV als auch beim KGV ein typisches Verhalten dieser Verfahren zu beobachten.
Die ersten 10-15 Iterationsschritte läuft die Minimierung mit größeren Schritten.
Danach ist nur noch ein langsamer, streng monotoner, Abfall der χ 2 -Funktion zu
beobachten. Diese Ergebnisse lassen vermuten, dass sich die Verfahren in den ersten
10-15 Iterationsschritten im Einzugsgebiet befinden. Das Minimum scheint in
einer eher flachen Region lokalisiert zu sein, in welche die Verfahren nach dem Einzugsgebiet
eintreten. Von Anfang an arbeitet das KGV mit größeren Schritten zum
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