Fachbereich Mathematik - GSI

4 Nichtlineare Optimierung
Ein Linesearch-Verfahren verwendet bei der Berechnung von Nk+1 eine Abstiegsrichtung
dk mit der Eigenschaft
∇χ 2 ( Nk) T · dk < 0 , dk ∈ R p
. (4.2)
Bei dem Ausdruck in (4.2) handelt es sich um die Richtungsableitung der Funktion
χ 2 an der Stelle Nk in Richtung dk. Ist diese Richtungsableitung negativ, dann heißt
das, dass wenn man an der Stelle Nk in Richtung dk losläuft, man sich zumindest
anfangs in der Zielfunktionstopologie nach unten bewegt. Des Weiteren wird noch
eine Schrittweite µk benötigt, so dass
gilt und die Abnahme
χ 2 ( Nk + µk dk) < χ 2 ( Nk) , µk ∈ R>0 , (4.3)
χ 2 ( Nk) − χ 2 ( Nk + µk dk) (4.4)
ausreichend groß ist. Berechnung der Schrittweite wird als Schrittweitenbestimmung
oder -steuerung bezeichnet. Auf diese wird im nächsten Abschnitt näher eingegangen.
Bemerkung: Die mathematischen Forderungen k = 0, 1, 2, 3, . . ., dk ∈ R p und µk ∈
R>0 gelten für den Rest dieser Arbeit und werden im weiteren Verlauf nicht mehr
explizit angegeben.
Ohne die Berechnung von Abstiegsrichtungen dk und Schrittweiten µk zu spezifizieren,
hat ein Linesearch-Verfahren im allgemeinen folgende Verfahrensvorschrift:
Algorithmus: Allgemeines Linesearch-Verfahren
1. Wähle einen Startpunkt N0 und setze k := 0.
2. Falls eine Abbruchbedingung erfüllt ist, dann steige mit der Lösung Nk aus.
3. Bestimme eine Abstiegsrichtung dk.
4. Berechne eine Schrittweite µk.
5. Berechne einen neuen Teilchenzahlenvektor Nk+1 = Nk + µk dk.
6. Setze k := k + 1 und gehe zurück zu Schritt 2.
Bemerkungen:
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• Sind die Abstiegsrichtungen dk hinreichend gut und die Schrittweiten µk realisieren
einen ausreichenden Abstieg, dann ist in der Regel die Konvergenz eines
Linesearch-Verfahrens gewährleistet.
• Mit einem Linesearch-Verfahren können nur lokale Minima bestimmt werden.