Fachbereich Mathematik - GSI
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8 Anhang<br />
8.2 Gradient und Hesse-Matrix der Dosis<br />
Hier wird der Gradient und die Hesse-Matrix für die physikalische, RBW-gewichtete<br />
und des analytischen Ausdrucks für die RBW-gewichtete Dosis angegeben. Gradient<br />
und Hesse-Matrix der entsprechenden Dosis werden besonders bei den Ableitungen<br />
der Zielfunktion benötigt (siehe nächsten Abschnitt). Die verschiedenen Dosistypen<br />
werden ausführlich in Abschnitt 2.2 behandelt. Dort sind auch die Bezeichnungen<br />
und mathematischen Forderungen für die vorkommenden Parameter angegeben. Diese<br />
werden hier in den Ableitungen nicht mehr angegeben.<br />
8.2.1 Gradient und Hesse-Matrix der physikalischen Dosis<br />
Hier werden die Ableitungen der physikalischen Dosis<br />
mit D i Phys<br />
Der Gradient ist<br />
mit ∇D i Phys<br />
: Rp<br />
≥0 → R≥0 ∀ i, angegeben.<br />
: Rp≥0<br />
→ Rp≥0<br />
∀ i.<br />
D i Phys( N) = c T i · N , (8.1)<br />
∇D i Phys( N) = ci , (8.2)<br />
Es ist offensichtlich, dass die Hesse-Matrix ∇ 2 D i Phys ( N) in jedem Voxel i die Nullmatrix<br />
ist.<br />
8.2.2 Gradient und Hesse-Matrix der RBW-gewichteten Dosis<br />
Hier werden die Ableitungen der RBW-gewichteten Dosis<br />
mit D i Bio<br />
Der Gradient ist<br />
mit ∇D i Bio<br />
: Rp<br />
≥0 → R≥0 ∀ i, angegeben.<br />
D i Bio( N) = D i Phys( N) · RBW i ( N) , (8.3)<br />
∇D i Bio( N) = ∇D i Phys( N) · RBW i ( N) + D i Phys( N) · ∇RBW i ( N) , (8.4)<br />
: Rp<br />
≥0 → Rp ∀ i.<br />
Die Hesse-Matrix ist<br />
∇ 2 D i Bio( N) = ∇D i Phys( N) · ∇RBW i ( N) T + ∇RBW i ( N) · ∇D i Phys( N) T<br />
mit ∇ 2 D i Bio ( N) ∈ R p×p ∀ i.<br />
82<br />
+ D i Phys( N) · ∇ 2 RBW i ( N) ,<br />
(8.5)
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