Fachbereich Mathematik - GSI

8 Anhang
f
Abbildung 8.1: Beispiel einer unstetigen Funktion, die unterhalbstetig ist. Man sieht, dass die
Funktion f an keiner Stelle nach unten springt. Der Sprung nach oben an der Stelle x0 verletzt die
Bedingung der Unterhalbstetigkeit nicht.
8.6 Radiale Unbeschränktheit einer Funktion
Bei der Minimierung einer Funktion spielt die radiale Unbeschränktheit der Funktion
eine bedeutende Rolle. Eine radial unbeschränkte Funktion ist wie folgt definiert:
Definition 8.7
Eine Funktion f : R n → R mit
heißt radial unbeschränkt.
Bemerkungen:
lim f(x) = +∞ (8.18)
||x||→∞
• Manchmal wird eine radial unbeschränkte Funktion auch "koerziv" genannt.
• Anschaulich bedeutet die radiale Unbeschränktheit einer Funktion, dass die
Funktionswerte gegen unendlich gehen, wenn die Eingabewerte gegen unendlich
gehen.
• Sind die Funktionen f und g radial unbeschränkt, so ist auch deren Summe
f + g radial unbeschränkt.
8.7 Erweiterungen des Extremwertsatzes von
Weierstraß
In Abschnitt 8.4 ist die "Standardversion" des Extremwertsatzes von Weierstraß
angegeben. Diese benötigt Stetigkeit der Funktion und Kompaktheit der Menge, auf
der die Funktion betrachtet wird. Der Extremwertsatz von Weierstraß gilt auch unter
schwächeren Voraussetzungen. Z.B. besitzt Satz 8.1 seine Gültigkeit, wenn die
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