Fachbereich Mathematik - GSI

6 BFGS-Verfahren
6.6 Weitere implementierte und ausgewertete
Varianten des inversen BFGS-Verfahrens und
zusätzliche Bemerkungen
Der Vollständigkeit halber werden hier alle anderen Varianten des inversen BFGS-
Verfahrens angegeben, die in TRiP implementiert und ausgewertet wurden. Die
anderen Varianten haben schlechtere Ergebnisse geliefert als das inverse BFGS-
Verfahren aus Abschnitt 6.4. Aus diesem Grund werden von den anderen Varianten
an dieser Stelle keine Konvergenzergebnisse gezeigt. Des Weiteren werden in diesem
Abschnitt zusätzliche Bemerkungen zum inversen BFGS-Verfahren aus Abschnitt
6.4 gemacht.
74
• Bei allen Varianten des inversen BFGS-Verfahrens war der Winkeltest notwendig
für ein gutes Konvergenzverhalten. D.h., dass im Verfahren öfters Suchrichtungen
dBFGS k erzeugt wurden, die nahe an der Höhenlinie lagen. Ohne den
Winkeltest war die Konvergenzgeschwindigkeit des entsprechenden inversen
BFGS-Verfahrens sehr langsam (sogar wesentlich langsamer als beim GRV).
[HDK10]
• Beim Winkeltest wurden für den kritischen Winkelwert τ in allen inversen
BFGS-Varianten Werte von 0.05, 0.1, 0.15, ...,0.5 getestet. In den meisten
Fällen wurden mit τ = 0.15 die besten Konvergenzergebnisse erzielt. War der
Wert kleiner, dann wurden BFGS-Suchrichtungen zugelassen, die zu nah an
den Höhenlinien waren. Daraus folgte oft eine sehr geringe Minimierung der
Zielfunktion. Bei größeren Werten für τ verhielt sich das Verfahren sehr ähnlich
wie das GRV.
• Wurde als Suchrichtung die BFGS-Suchrichtung verwendet, also
dk = d BFGS
k , (6.26)
dann wurden die besten Konvergenzergebnisse erzielt, wenn die Startschrittweite
µmax,k für das Armijo-Verfahren über das Minimum der quadratischen
Interpolation (4.12) berechnet wurde. Näheres dazu im übernächsten Punkt.
• Ergibt sich aus dem Winkeltest, dass die aktuelle Suchrichtung der negative
Gradient ist, also:
dk = −∇χ 2 ( Nk) , (6.27)
dann werden die besten Konvergenzergebnisse erreicht, wenn die Startschrittweite
µmax,k für das Armijo-Verfahren über µBio aus (4.10) berechnet wird.
Näheres dazu im nächsten Punkt.
• Auswertungen haben folgendes ergeben: Für die Norm der Suchrichtung über
den negativen Gradienten gilt || − ∇χ2 ( Nk)|| < 1 ∀ k und für die Norm der
BFGS-Suchrichtung gilt || dBFGS k || > 1 ∀ k. Es konnte beobachtet werden, dass