Fachbereich Mathematik - GSI

7 Zusammenfassung und Ausblick
7.1 Zusammenfassung
Im Pilotprojket der GSI wurden von 1997 bis 2008 ca. 440 Tumorpatienten mit
schweren Ionen unter Verwendung des Rasterscan-Verfahrens bestrahlt. Dabei wurden
ausschließlich Kohlenstoffionen verwendet, da diese durch ihren scharfen Bragg-
Peak und ihre hohe RBW besonders geeignete Eigenschaften besitzen. Die Erfolgsquoten
von dieser neuartigen Strahlentherpaie waren so vielversprechend, dass seit
2008 das dedizierte Heidelberger Ionenstrahl-Therapiezentrum HIT die Schwerionentherapie
im klinischen Routinebetrieb weiterführt. Die Patiententherapie findet nur
noch am HIT statt, dennoch ist die Schwerionentherapie weiterhin Gegenstand intensiver
Forschung an der GSI.
Für jeden Patienten muss vor der Bestrahlung ein individueller Bestrahlungsplan
erstellt werden. Dafür wurde an der GSI die Bestrahlungsplanungssoftware
TRiP entwickelt. Ein wesentlicher Bestandteil der Bestrahlungsplanung ist die Optimierung
der Dosis. Das Ziel dabei ist eine homogene Dosisverteilung durch den
Tumor zu erhalten, die nahe an der vorgeschriebenen Dosis liegt. Des Weiteren
soll die resultierende Dosisverteilung im gesunden Gewebe so niedrig wie möglich
sein und in kritischen Organen gewisse Dosis-Grenzwerte nicht überschreiten. Diese
Kriterien können mathematisch in einem Optimierungsproblem formuliert werden.
Werden biologische Effekte berücksichtigt, d.h. eine Einbeziehung der RBW, dann
wird das Optimierungsproblem nichtlinear. Der Kerngedanke der Optimierung ist,
dass die quadratischen Abweichungen zwischen vorgeschriebener Dosis und tatsächlich
erzeugter Dosis in den Voxeln minimiert werden, was mit einem Zielfunktional
modelliert wird. Dabei sind die Teilchenzahlen für die Rasterpunkte die freien und zu
optimierenden Variablen. Eine mathematische Analyse des Optimierungsproblems
ergibt, dass es sich um eine nichtlineare endlichdimensionale ungleichungsrestringierte
Funktionalminimierung handelt. Die theoretische Betrachtung und numerische
Lösung des Optimierungsproblemes waren Schwerpunkt dieser Master-Thesis.
Nach der Beschreibung des Optimierungsproblemes wurde dieses theoretisch betrachtet.
Eine Stetigkeitsuntersuchung der Zielfunktion ergab, dass diese wegen der
vorkommenden Heaviside-Funktion nicht stetig ist. Für die Existenzuntersuchung
konnte damit der Extremwertsatz von Weierstraß nicht angewendet werden, da dieser
die Stetigkeit der Zielfunktion voraussetzt. Zudem ist die zulässige Menge des
Optimierungsproblems nicht beschränkt, was eine weitere Voraussetzung des Extremwertsatzes
von Weierstraß ist. Aus diesem Grund wurde für den Existenzbeweis
eine Erweiterung des Extremwertsatzes von Weierstraß verwendet, die die Unter-
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