Fachbereich Mathematik - GSI

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6 BFGS-Verfahren Im weiteren Verlauf wird dieser Abfall stets flacher. Im Vergleich zum KGV arbeitet das BFGS-Verfahren im Einzugsgebiet schlechter. Nach dem Einzugsgebiet ist das BFGS-Verfahren effizienter als das KGV, da der Abfall der χ 2 -Funktionswerte steiler ist. Dies kann wahrscheinlich damit begründet werden, dass das BFGS-Verfahren Krümmungsinformationen der Zielfunktion verarbeitet und damit in der flachen Region besser arbeitet. Da jedoch das KGV im Einzugsgebiet deutlich effizienter ist, schafft es das BFGS-Verfahren auch nicht nach 150 Iterationsschritten das KGV zu überholen (besser zu minimieren). Beim 150 Iterationsschritt ist jedoch mit beiden Verfahren ein Level von ca. 0.9 der χ 2 -Funktion erreicht. Das Abbruchkriterium (4.6) (siehe Abschnitt 4.4.4), mit ɛ1 = 10 −8 , wird mit beiden Verfahren nicht erfüllt. Weitere Auswertungen haben ergeben, dass das inverse BFGS-Verfahren das KGV ca. im 180. Iterationsschritt überholt. Im weiteren Verlauf kann jedoch mit dem inversen BFGS-Verfahren nur noch eine wenig bessere Minimierung der χ 2 -Funktion errreicht werden. Dies liegt daran, dass sich beide Verfahren bereits in relativ niedrigen Bereichen befinden, in denen nicht mehr viel minimiert werden kann. Die Minimierung der χ 2 -Funktion bzgl. der Rechenzeit ist in Abbildung 6.2 zu sehen. Man sieht, dass das BFGS-Verfahren nicht wesentlich mehr Rechenzeit als das KGV benötigt, ein Unterschied ist jedoch sichtbar. Dies liegt daran, dass beim BFGS-Verfahren in jedem Iterationsschritt das Matrixupdate stattfindet. Das KGV benötigt bis zum Ende ca. 2100s. Das BFGS-Verfahren benötigt zu dem fast gleichen Endpunkt ca. 3250s. Dies ist ein Faktor von ca. 1.55 mehr Rechenzeit. Im Gesamturteil ist das KGV besser als das BFGS-Verfahren. Nach 150 Iterationsschritten ist zwar ein ähnliches Level der χ 2 -Funktion erreicht, das BFGS- Verfahren benötigt aber mehr Rechenzeit. Ein weiterer Nachteil des BFGS-Verfahrens gegenüber dem KGV ist, dass in jedem Iterationsschritt die Update-Matrix gespeichert werden muss. Schon bei dem "kleinen" Patientenplan #135 besitzt die Update-Matrix ca. 19600 2 Elemente. Werden die Matrixelemente in doppelter Genauigkeit abgespeichert (also in der Programmiersprache C im "double"-Format mit 8 Byte pro Matrixelement), dann ergibt sich ein Speicheraufwand von ca. 2.9GB für die Update-Matrix. Z.B. bei einem Optimierungsproblem mit der Dimension von 80000 beträgt der Speicheraufwand für die Update-Matrix ca. 47.7GB bei doppelter Genauigkeit, was eine hohe Anforderung ist. Auswertungen haben ergeben, dass die Hesse-Matrizen ∇ 2 χ 2 ( Nk), unabhängig von k, schwach besetzt sind. Ca. 80-90% der Werte sind 0 oder vernachlässigbar klein. Die restlichen Werte sind in Clustern durch die gesamte Matrix verteilt [Hor08]. Auch wenn die Hesse-Matrizen ∇ 2 χ 2 ( Nk) schwach besetzt sind, sind die Update- Matrizen Hk in der Regel voll besetzt [Spe99]. Es ist schwieriger, mit einer vollbesetzten Matrix Hk die dünnbesetzte Matrix ∇ 2 χ 2 ( Nk) gut zu approximieren, was die Voraussetzung für ein gutes Konvergenzverhalten eines Quasi-Newton-Verfahrens ist. Dies könnte ein Grund sein, warum das inverse BFGS-Verfahren bzgl. der Iterationsschritte nicht effizienter als das KGV arbeitet. 72
χ 2 6.5 Konvergenzergebnisse und Diskussion Iteration Abbildung 6.1: Minimierung der χ 2 -Funktion mit dem BFGS-Verfahren und KGV als Funktion der Iterationsschritte. Detaillierte Bildbeschreibung und Diskussion befindet sich im Text. χ 2 KGV ca. 2100s ❏ ❏❏❏❏❏❏❫ χ2-Level von ca. 0.9 ❏ ❏❏❫ Zeit [s] BFGS ca. 3250s ❏ ❏❏❏❫ Abbildung 6.2: Minimierung der χ 2 -Funktion mit dem BFGS-Verfahren und KGV als Funktion der Rechenzeit. Detaillierte Bildbeschreibung und Diskussion befindet sich im Text. 73
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Technische Universität Darmstadt -
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Abstract In the GSI therapy pilot p
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Inhaltsverzeichnis 4.2.1 Schrittwei
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Abbildungsverzeichnis 1.1 Überlage
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1 Einleitung 1.1 Die Krankheit Kreb
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1 Einleitung Abbildung 1.2: Dosisve
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1 Einleitung Strahlaufweitung [mm]
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1 Einleitung z [nm] 12 C-Ionen Rön
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1 Einleitung Relative Dosis [%] Aus
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1 Einleitung Eine schematische Dars
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