Fachbereich Mathematik - GSI
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3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems<br />
Satz 3.2<br />
Die Zielfunktion χ 2 Bio(ana)<br />
ist unterhalbstetig.<br />
Beweis: Hier kann mit den Eigenschaften unterhalbstetiger Funktionen aus Abschnitt<br />
8.5 argumentiert werden. Der Target-Term und der OAR-Term (ohne die<br />
Heaviside-Funktion Θ) sind unterhalbstetig, da diese stetig sind. Der gesamte OAR-<br />
Term ist unterhalbstetig, da dieser ein Produkt von zwei nichtnegativen und unterhalbstetigen<br />
Funktionen ist. Die χ2 Bio(ana) -Funktion ist damit eine Summe zweier<br />
unterhalbstetiger Funktionen, die wiederum unterhalbstetig ist.<br />
<br />
3.2.1.2 Radiale Unbeschränktheit der Zielfunktion<br />
Hier soll die radiale Unbeschränktheit der χ2 Bio(ana) -Funktion gezeigt werden. Die Definition<br />
einer radial unbeschränkten Funktion befindet sich im Anhang in Abschnitt<br />
8.6. Für die radiale Unbeschränktheit der χ2 Bio(ana) -Funktion wird noch der folgende<br />
Satz benötigt:<br />
Satz 3.3<br />
Der analytische Ausdruck für die RBW-gewichtete Dosis D i Bio(ana) ( N) aus (2.6) ist<br />
auf der zulässigen Menge Z radial unbeschränkt.<br />
Beweis: Der Beweis wird wieder für ein beliebiges Voxel i gezeigt, denn in jedem<br />
Voxel hat D i Bio(ana) ( N) die gleiche Struktur. Für die radiale Unbeschränktheit kön-<br />
nen in dem Ausdruck für D i Bio(ana) ( N) alle αx, βx, αi und βi vernachlässigt werden,<br />
da diese positive Konstanten sind. Daher kann man sich auf folgenden Ausdruck<br />
beschränken:<br />
D i Bio(ana)( N) =<br />
<br />
(c T i · N) + (c T i · N) 2 . (3.8)<br />
Als erstes soll der Ausdruck unter der Wurzel betrachtet werden, also:<br />
lim<br />
|| <br />
(c<br />
N||→∞<br />
T i · N) + (c T i · N) 2<br />
<br />
. (3.9)<br />
Aus den Gesetzen der Grenzwertbildung folgt:<br />
lim<br />
|| (c<br />
N||→∞<br />
T i · N) + lim<br />
|| (c<br />
N||→∞<br />
T i · N) 2<br />
. (3.10)<br />
Die Komponenten von c T i sind alle nichtnegativ und es gilt die Einschränkung N ∈<br />
R p<br />
≥0 . Man muss hier noch den Fall ausschließen, dass bei einem cT i alle Komponenten<br />
Null sind. c T i sind Zeilen aus der Dosis-Korrelations-Matrix C. Würden in den Zeilen<br />
alle Komponenten den Wert 0 haben, dann würde dass den Fall repräsentieren,<br />
dass keine Strahlung auf irgendeine Materie trifft, was im Hinblick auf die Therapie<br />
keinen Sinn ergeben würde. Daher werden in dem kanonischen Skalarprodukt c T i · N<br />
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