Fachbereich Mathematik - GSI

6.5 Konvergenzergebnisse und Diskussion
schlechte Approximation mit dem Winkeltest abgesichert werden. Anstelle eines
Schrittes, in dem die schlecht approximierte Matrix verwertet wird, kann der Schritt
mit dem robusten Gradientenverfahren ersetzt werden. Dies trägt zur allgemeinen
Robustheit des Verfahrens bei und verbessert in der Regel auch die Konvergenzgeschwindigkeit.
Neben dem hier beschriebenen Winkeltest gibt es noch den "allgemeinen
Winkeltest", der in [Ulb07] beschrieben ist.
Weitere Bemerkungen zum BFGS-Algorithmus:
• Die Konstanten δ und γ werden für das Armijo-Verfahren verwendet.
• Bei dem obigen BFGS-Verfahren wird als Startmatrix die Einheitsmatrix I
verwendet. Daher ist der erste Schritt des Verfahrens ein Schritt des GRVs.
• Die Wahl der Startschrittweite für das Armijo-Verfahren hängt von der letztendlich
verwendeten Suchrichtung dk ab. Wird die BFGS-Suchrichtung verwendet,
dann wird die Startschrittweite über das Minimum der quadratischen
Interpolation (4.12) berechnet (Schritt 7 im BFGS-Algorithmus). Wird als
Suchrichtung der negative Gradient verwendet, dann wird als Startschrittweite
µBio aus (4.10) verwendet (Schritt 8 im BFGS-Algorithmus), da sich diese
bereits bei dem GRV und KGV bewährt hat. Dies wird nochmals in Abschnitt
6.6 aufgegriffen und näher erklärt.
• Für allgemeine nichtlineare Zielfunktionen ist der Beweis der globalen Konvergenz
des inversen BFGS-Verfahrens mit Armijo-Schrittweite ein offenes Problem
5 . Ist die Zielfunktion auf einer Niveau-Menge gleichmäßig konvex, dann
kann die globale Konvergenz gezeigt werden [Ulb07]. Ist die Hesse-Matrix der
Zielfunktion in einer lokalen Umgebung eines Minimums Lipschitz-Stetig, dann
konvergiert das Verfahren in dieser Umgebung superlinear.
6.5 Konvergenzergebnisse und Diskussion
Abbildung 6.1 zeigt die Minimierung der χ 2 -Funktion mit dem inversen BFGS-
Verfahren, welches im vorherigen Abschnitt detailliert beschrieben wurde, als Funktion
der Iterationsschritte. Diesmal wurden 150 Iterationsschritte zugelassen. Abbildung
6.2 zeigt das entsprechende Ergebnis der Minimierung bzgl. der Rechenzeit.
Für einen Vergleich werden die Ergebnisse mit denen des KGVs, da sich dieses gegenüber
dem GRV sowohl in den Iterationsschritten als auch in der Rechenzeit als
das bessere Verfahren gezeigt hatte, gegenübergestellt.
Bei der Minimierung bzgl. der Iterationsschritte ist beim BFGS-Verfahren am
Anfang ein relativ steiler Abfall der Funktionswerte der χ 2 -Funktion zu erkennen.
5 Konvergenzuntersuchungen zu Quasi-Newton-Verfahren gestalten sich generell als sehr schwierig,
da neben Approximationseigenschaften der Update-Matrizen Hk für die Aufdatierungen
Störungsaussagen aus der linearen Algebra einbezogen werden müssen.
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