Fachbereich Mathematik - GSI

4 Nichtlineare Optimierung
4.2 Schrittweitenstrategien
Um konvergente Linesearch-Verfahren zu erhalten, müssen effiziente Schrittweiten 1
berechnet werden. Es ist naheliegend, die Schrittweite µk über das eindimensionale
Optimierungsproblem
µk = argmin µ∈[0, µmax] χ 2 ( Nk + µ dk) , µmax ∈ (0, ∞] , (4.9)
zu berechnen. Diese Schrittweite wird exakte Schrittweite genannt [Alt02]. In der
Regel kann bei nichtlinearen Optimierungsproblemen die exakte Schrittweite analytisch
nicht berechnet werden. Eine numerische Lösung ist prinzipiell möglich, jedoch
zu zeitaufwendig.
Im folgenden werden zwei Schrittweitenstrategien beschrieben, mit denen eine gute
Näherung der exakten Schrittweite berechnet werden kann, ohne den Ausdruck
(4.9) numerisch lösen zu müssen. Mit beiden Varianten kann viel Rechenzeit gespart
werden.
4.2.1 Schrittweitenbestimmung über Dämpfung der
Physik-Schrittweite
Vorab werden für diesen Unterabschnitt die folgenden Bezeichnungen eingeführt:
• Exakte Schrittweite bei Optimierung der RBW-gewichteten Dosis := µBio.
• Exakte Schrittweite bei Optimierung der physikalischen Dosis und Vernachlässigung
des OAR-Terms := µPhys.
Optimierung der RBW-gewichteten Dosis ist nichtlinear und das daraus resultierende
eindimensionale Optimierungsproblem (4.9) für die exakte Schrittweite µBio kann
analytisch nicht gelöst werden. Bei Optimierung der linearen physikalischen Dosis
und Vernachlässigung des OAR-Terms in der Zielfunktion (OAR-Term muss wegen
der Heaviside-Funktion weggelassen werden) liegt ein quadratisches Optimerungsproblem
vor. In diesem Fall ergibt sich dann für (4.9) ebenfalls ein quadratisches
Optimierungsproblem. Dieses ist sogar streng konvex und das eindeutige µPhys kann
analytisch berechnet werden. Ziel ist es hier, über die Schrittweite µPhys durch Skalierung
an eine gute Schrittweite µBio zu gelangen.
Die genaue Berechnungsvorschrift von µPhys befindet sich im Anhang in Abschnitt
8.9. Die Idee bei der hier beschriebenen Schrittweitenstrategie ist, µPhys zu berechnen
und anschließend mit einem Faktor fµ zu skalieren um an eine gute Approximation
von µBio zu gelangen. Die Approximation von µBio wird mit µBio bezeichnet und
berechnet sich demnach wie folgt:
µBio = fµ · µPhys , fµ ∈ R>0 . (4.10)
1 Effiziente Schrittweiten implizieren sog. zulässige Schrittweiten. Die Definition von effizienten
und zulässigen Schrittweiten findet sich z.B. in [Ulb07].
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