Fachbereich Mathematik - GSI

4.1 Numerische Minimierung mit Linesearch-Verfahren
Üblicherweise wird im zweiten Punkt des allgemeinen Linesearch-Verfahrens als
Abbruchkriterium die Stationarität an der Stelle Nk getestet, also:
∇χ 2 ( Nk) = 0 . (4.5)
Dieses Abbruchkriterium ist zum einem numerisch nicht realisierbar und zum anderen
kann es bei restringierten Optimierungsproblemen nicht verwendet werden, da in
diesem Fall Minima nicht notwendigerweise (4.5) erfüllen müssen. Dieser Fall kann
zum Beispiel eintreten, wenn das Minimum auf dem Rand der zulässigen Menge liegt.
Dies wurde bereits in Abschnitt 3.4 angesprochen. Um unnötig lange Rechenzeiten
zu vermeiden, können folgende Abbruchkriterien verwendet werden:
• Die relative Änderung der Zielfunktionswerte unterscheidet in aufeinanderfolgenden
Iterationsschritten einen bestimmten Wert:
|χ 2 ( Nk−1) − χ 2 ( Nk)|
χ 2 ( Nk−1)
< ɛ1 , χ 2 ( Nk−1) = 0 ∀ k . (4.6)
• Wenn der Abstand zwischen zweier aufeinanderfolgender Schritte einen bestimmten
Wert unterschreitet:
|| Nk−1 − Nk|| < ɛ2 . (4.7)
Als Norm wird irgendeine von den p-Normen für endlichdimensionale Vektorräume
R n verwendet. In der Regel wird p = 2 (Euklidische Norm) oder p = ∞
(Maximumsnorm) bevorzugt.
• Ein Abbruchtest, ob mit einem Verfahren ein stationärer Punkt erreicht wurde,
muss wie folgt implementiert werden:
∇χ 2 (
< ɛ3 falls (−Nk)j < 0 ,
Nk)j =
(4.8)
≥ 0 sonst .
Hierbei handelt es sich um eine numerische Umsetzung der KKT-Bedingungen
aus (3.36).
• Wird keines der oberen Abbruchkriterien erfüllt, dann steigt das Verfahren
nach einer festgelegten Anzahl an Iterationsschritten aus.
Bemerkungen:
• Für ɛ1, ɛ2 und ɛ3 werden üblicherweise Werte aus dem Intervall [10 −2 , 10 −8 ]
gewählt.
• Die ersten zwei Abbruchbedingungen können erst ab der zweiten Iteration des
Linesearch-Verfahrens geprüft werden.
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