Fachbereich Mathematik - GSI

6 BFGS-Verfahren
Im weiteren Verlauf wird dieser Abfall stets flacher. Im Vergleich zum KGV arbeitet
das BFGS-Verfahren im Einzugsgebiet schlechter. Nach dem Einzugsgebiet ist das
BFGS-Verfahren effizienter als das KGV, da der Abfall der χ 2 -Funktionswerte steiler
ist. Dies kann wahrscheinlich damit begründet werden, dass das BFGS-Verfahren
Krümmungsinformationen der Zielfunktion verarbeitet und damit in der flachen Region
besser arbeitet. Da jedoch das KGV im Einzugsgebiet deutlich effizienter ist,
schafft es das BFGS-Verfahren auch nicht nach 150 Iterationsschritten das KGV zu
überholen (besser zu minimieren). Beim 150 Iterationsschritt ist jedoch mit beiden
Verfahren ein Level von ca. 0.9 der χ 2 -Funktion erreicht. Das Abbruchkriterium
(4.6) (siehe Abschnitt 4.4.4), mit ɛ1 = 10 −8 , wird mit beiden Verfahren nicht erfüllt.
Weitere Auswertungen haben ergeben, dass das inverse BFGS-Verfahren das KGV
ca. im 180. Iterationsschritt überholt. Im weiteren Verlauf kann jedoch mit dem inversen
BFGS-Verfahren nur noch eine wenig bessere Minimierung der χ 2 -Funktion
errreicht werden. Dies liegt daran, dass sich beide Verfahren bereits in relativ niedrigen
Bereichen befinden, in denen nicht mehr viel minimiert werden kann.
Die Minimierung der χ 2 -Funktion bzgl. der Rechenzeit ist in Abbildung 6.2 zu
sehen. Man sieht, dass das BFGS-Verfahren nicht wesentlich mehr Rechenzeit als
das KGV benötigt, ein Unterschied ist jedoch sichtbar. Dies liegt daran, dass beim
BFGS-Verfahren in jedem Iterationsschritt das Matrixupdate stattfindet. Das KGV
benötigt bis zum Ende ca. 2100s. Das BFGS-Verfahren benötigt zu dem fast gleichen
Endpunkt ca. 3250s. Dies ist ein Faktor von ca. 1.55 mehr Rechenzeit.
Im Gesamturteil ist das KGV besser als das BFGS-Verfahren. Nach 150 Iterationsschritten
ist zwar ein ähnliches Level der χ 2 -Funktion erreicht, das BFGS-
Verfahren benötigt aber mehr Rechenzeit. Ein weiterer Nachteil des BFGS-Verfahrens
gegenüber dem KGV ist, dass in jedem Iterationsschritt die Update-Matrix
gespeichert werden muss. Schon bei dem "kleinen" Patientenplan #135 besitzt die
Update-Matrix ca. 19600 2 Elemente. Werden die Matrixelemente in doppelter Genauigkeit
abgespeichert (also in der Programmiersprache C im "double"-Format mit
8 Byte pro Matrixelement), dann ergibt sich ein Speicheraufwand von ca. 2.9GB für
die Update-Matrix. Z.B. bei einem Optimierungsproblem mit der Dimension von
80000 beträgt der Speicheraufwand für die Update-Matrix ca. 47.7GB bei doppelter
Genauigkeit, was eine hohe Anforderung ist.
Auswertungen haben ergeben, dass die Hesse-Matrizen ∇ 2 χ 2 ( Nk), unabhängig
von k, schwach besetzt sind. Ca. 80-90% der Werte sind 0 oder vernachlässigbar klein.
Die restlichen Werte sind in Clustern durch die gesamte Matrix verteilt [Hor08].
Auch wenn die Hesse-Matrizen ∇ 2 χ 2 ( Nk) schwach besetzt sind, sind die Update-
Matrizen Hk in der Regel voll besetzt [Spe99]. Es ist schwieriger, mit einer vollbesetzten
Matrix Hk die dünnbesetzte Matrix ∇ 2 χ 2 ( Nk) gut zu approximieren, was die
Voraussetzung für ein gutes Konvergenzverhalten eines Quasi-Newton-Verfahrens
ist. Dies könnte ein Grund sein, warum das inverse BFGS-Verfahren bzgl. der Iterationsschritte
nicht effizienter als das KGV arbeitet.
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