Fachbereich Mathematik - GSI

Bemerkungen:
5.2 Das konjugierte Gradientenverfahren
• Das GRV ist robust und einfach zu implementieren, weswegen es häufig in den
Anwendungen benutzt wird.
• Bei gewissen Voraussetzungen ist das GRV ein global konvergentes Verfahren 1
[Ulb07].
• Oftmals konvergiert das GRV langsam, da es sich dem Minimum mit einem
Zick-Zack-Kurs nähert.
• Der Betrag/Norm des Gradienten an einer Stelle Nk ist ein Maß für die Steigung
der Funktion an dieser Stelle. Ist das Minimum in einer flachen Region
lokalisiert, so ist das GRV dort ineffizient, de es in der Regel nur noch kleine
Schritte macht. Auf der anderen Seite arbeitet das GRV im Einzugsgebiet
relativ schnell.
• Da das GRV lediglich mit dem Gradienten der Zielfunktion und einer Schrittweite
arbeitet, müssen keine großen Speicherressourcen zur Verfügung gestellt
werden.
5.2 Das konjugierte Gradientenverfahren
Bei dem konjugierten Gradientenverfahren (KGV), auch Verfahren konjugierter Richtungen
genannt, handelt es sich um eine Modifizierung des Gradientenverfahrens.
Die Idee der Verwendung von konjugierten Richtungen [Ste04] ist, dass die Information,
über die Abstiegsrichtung aus dem vorherigen Iterationsschritt, in den neuen
Schritt mitgenommen wird. Dadurch kann ein ausgeprägter Zick-Zack-Verlauf des
Verfahrens vermieden werden und das Verfahren besitzt in der Regel bessere Konvergenzeigenschaften
als das GRV. Die Struktur der Iterationsvorschrift ist etwas
aufwändiger, jedoch kostet ein Schritt nicht viel mehr Rechenzeit als beim GRV.
Algorithmus: Konjugiertes Gradientenverfahren (KGV)
1. Wähle einen Startpunkt N0.
2. Berechne h0 = d0 = −∇χ 2 ( N0).
3. Setze k := 0.
4. Bestimme eine Schrittweite µk.
5. Berechne einen neuen Teilchenzahlenvektor Nk+1 = Nk + µk hk.
6. Falls eine Abbruchbedingung erfüllt ist, dann steige aus.
1 Unter globaler Konvergenz versteht man, dass ein Verfahren unabhängig vom Startpunkt zu
einer Lösung hin konvergiert.
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