Fachbereich Mathematik - GSI

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3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems 48 Weiter soll hier auf die "Abadie Constraint Qualification" und "Constraint Qualifications" nicht eingegangen werden, da dies umfangreich ist und im weiteren Verlauf dieser Arbeit nicht mehr benötigt wird. Näheres dazu findet sich z.B in [Ulb07, GK02].
4 Nichtlineare Optimierung In diesem Kapitel wird das Wichtigste zur numerischen Lösung des Optimierungsproblems (2.8)-(2.9) zusammengefasst. Der erste Abschnitt gibt eine Einführung in die sogenannten Linesearch-Verfahren. Im darauffolgenden Abschnitt werden zwei Schrittweitenstrategien vorgestellt. In Abschnitt 4.3 wird die Voroptimierung erklärt. Diese ist wichtig, den das Ergebnis der Voroptimierung wird als Startpunkt für die Linesearch-Verfahren verwendet. Der letzte Abschnitt behandelt noch einige Details zur numerischen Optimierung, wie z.B. die verwendete Rechnerarchitektur und der verwendete Bestrahlungsplan, über die Bewertung der Verfahren und abschließend zwei Bemerkungen zur Implementierung der Verfahren. Bemerkung: Die Kapitel 4, 5 und 6 beschäftigen sich mit der numerischen Lösung des Optimierungsproblemes (2.8)-(2.9). Dabei wird ausschließlich die RBW-gewichtete Dosis optimiert. Die RBW-Werte werden in dieser Arbeit mit der ersten Version des LEMs, das LEM I, berechnet. Aus Platzgründen wird die Zielfunktion in den Kapiteln 4, 5 und 6 nicht mehr mit χ2 Bio(ana) oder χ2Bio bezeichnet, sondern nur noch mit χ2 . 4.1 Numerische Minimierung mit Linesearch-Verfahren Die Nichtlinearität des Optimierungsproblemes (2.8)-(2.9) lässt keine analytische Lösung zu. Die einzige Möglichkeit, einen Lösungsvektor NOpt zu erhalten, ist eine Lösung mit numerischen Methoden. Da die Zielfunktion minimiert werden soll, ist es naheligend, mit einem Iterationsverfahren ein Abstiegsverfahren zu erzeugen. Bei einem Abstiegsverfahren erüllt eine Folge Nk, ausgehend von einem Startpunkt N0, die folgende Bedingung: χ 2 ( Nk+1) < χ 2 ( Nk) , k = 0, 1, 2, 3, . . . . (4.1) k ist der Iterationsindex des Verfahrens. Ziel ist es, dass die Folge Nk gegen ein NOpt konvergiert. Es gibt zwei Klassen von Abstiegsverfahren, die sogenannten Linesearch-Verfahren und die Trust-Region-Verfahren [Ulb07]. In dieser Arbeit werden nur Linesearch-Verfahren verwendet. Linesearch-Verfahren sind die klassischen Verfahren zur Lösung nichtlinearer Optimierungsaufgaben und sind bis jetzt besser untersucht. Trust-Region-Verfahren spielen eher bei neueren Verfahrenskonzepten eine Rolle [Alt02]. 49
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Erklärung Hiermit versichere ich,
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