Fachbereich Mathematik - GSI

2.3 Mathematische Formulierung der Optimierung
• Optimierung der RBW-gewichteten Dosis, diese ist relevant für die Therapie,
verlangt das Einsetzen von D i Bio oder Di Bio(ana) für Di act in die Zielfunktion.
Aus der Nichtlinearität der RBW-gewichteten Dosis folgt die Nichtlinearität
der Zielfunktion in N und somit liegt ein nichtlineares Optimierungsproblem
vor.
• Z wird ausschließlich durch Ungleichungen beschrieben. Damit ist Z nicht der
gesamte R p und hiermit ist ein ungleichungsrestringiertes Optimierungsproblem
vorhanden.
• Die Dimension des Optimierungsproblems ist p, also die Anzahl der Rasterpunkte
im Bestrahlungsplan. Da p nicht unendlich werden kann handelt es
sich um ein endlichdimensionales Optimierungsproblem.
• Streng gesehen müsste das Optimierungsproblem als ganzzahliges Optimierungsproblem
angesehen werden, da nur ganze Teilchen betrachtet werden
können. Das Optimierungsproblem wird dennoch als kontinuierliches Optimierungsproblem
(Optimierung mit reellen Zahlen) betrachtet. Ein ganzzahliges
Optimierungsproblem gehört zum Teilgebiet der "Diskreten Optimierung",
welche eine ganz andere und komplexere Herangehensweise als die kontinuierliche
Optimierung ist. Die Teilchenzahlen für einen Rasterpunkt liegen in Bereichen
von 5000 bis 500000. Bei so großen Zahlen kann das Optimierungsproblem
als ein kontinuierliches angesehen werden und die Optimierungskomponenten
können nach dem Optimierungsprozess gerundet werden. Dabei entsteht ein
vernachlässigbarer Fehler.
Bei dem Optimierungsproblem (2.8)-(2.9) handelt es sich somit um ein
nichtlineares ungleichungsrestringiertes endlichdimensionales kontinuierliches
Minimierungsproblem
.
Des Weiteren sind in der mathematischen Betrachtung noch folgende Punkte von
Interesse:
• Die zulässige Menge Z ist eine konvexe Menge. Die Diskussion, ob die Zielfunktion
eine konvexe Funktion ist, und ob damit ein konvexes Optimierungsproblem
vorliegt, findet in Unterabschnitt 3.2.2 statt. Konvexität eines Optimierungsproblems
spielt im Hinblick auf Eindeutigkeitsaussagen über eine
Lösung eine wesentliche Rolle.
• Die Heaviside-Funktion ist im klassischen/starken Sinne nicht differenzierbar.
Über die mathematische Theorie der Distributionen kann eine Ableitung
mit der Diracschen Delta-Funktion angegeben werden. Im Rahmen der
Optimierung wird dies nicht benötigt. Deshalb wird die Heaviside-Funktion
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