Fachbereich Mathematik - GSI

3.2 Existenz und Eindeutigkeit eines Minimums
Θ
Abbildung 3.1: Graphische Veranschaulichung der Heaviside-Funktion aus (3.2) in Abhängigkeit
der Hilfsvariable ξ. Die Heaviside-Funktion in dieser Form ist unterhalbstetig. Die Unterhalbstetigkeit
ist unter anderem daran zu erkennen, dass die Funktion an keiner Stelle nach unten springt.
aüßere Funktion Θ gezeigt, dann bleibt diese mit der inneren Verkettung unterhalbstetig,
da der innere Teil D i Bio(ana) ( N) − D i max stetig ist. Eine unterhalbstetige
Funktion mit einer inneren verkettet, wobei die innere Funktion stetig ist, bleibt
unterhalbstetig. Die Heaviside-Funktion ist überall stetig mit Ausnahme der Stelle
ξ = 0. Diese Stelle wird mit ξ0 bezeichnet. Sie repräsentiert den Fall:
ξ0
ξ0 := 0 =⇒ D i Bio(ana)( N) = D i max . (3.4)
Wegen der Stetigkeit der Heaviside-Funktion außerhalb der Stelle ξ0 ist sie dort
auch unterhalbstetig (siehe Eigenschaften in Abschnitt 8.5). Jetzt muss nur noch
Unterhalbstetigkeit in ξ0 gezeigt werden und die Unterhalbstetigkeit der Heaviside-
Funktion ist bewiesen. Unterhalbstetigkeit in ξ0 lässt sich dann aus Definition 8.4
folgern. Für jedes ɛ > 0 existiert eine beliebige Umgebung U von ξ0, so dass
Θ(y) > Θ(ξ0) − ɛ (3.5)
für ein beliebiges y ∈ U gilt. Θ(y) kann nur die Werte 1 oder 0 annehmen und daraus
können sich in (3.5) lediglich die beiden folgenden Fälle ergeben:
1 > 0 − ɛ , (3.6)
0 > 0 − ɛ . (3.7)
Bei Betrachtung von Abbildung 3.1 sieht man, dass die Heaviside-Funktion aus
(3.2) an keiner Stelle nach unten springt, was die anschauliche Bedeutung einer unterhalbstetigen
Funktion ist.
Aus der Unterhalbstetigkeit der Heaviside-Funktion in jedem OAR-Voxel i folgt:
ξ
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