Fachbereich Mathematik - GSI

Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis 7
Abkürzungsverzeichnis 8
1 Einleitung 10
1.1 Die Krankheit Krebs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Strahlentherapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Physikalische Grundlagen ionisierender Strahlung . . . . . . . . . . . 12
1.4 Strahlenbiologische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Das Kohlenstoff-Therapieprojekt der GSI . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Technik der Therapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Ablauf der Therapie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie 22
2.1 Bestrahlungsplanung mit TRiP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Berechnung der Dosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Berechnung der physikalischen Dosis . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Berechnung der RBW-gewichteten Dosis . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Mathematische Formulierung der Optimierung . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Physikalische und technische Betrachtung . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Mathematische Betrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Experimentelle Verifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems 36
3.1 Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften der Zielfunktion . . 36
3.2 Existenz und Eindeutigkeit eines Minimums . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Existenz eines Minimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1.1 Unterhalbstetigkeit der Zielfunktion . . . . . . . . . 38
3.2.1.2 Radiale Unbeschränktheit der Zielfunktion . . . . . . 40
3.2.1.3 Anwendung auf den Extremwertsatz von Weierstraß 42
3.2.2 Eindeutigkeit eines Minimums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Glättung der Zielfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Nichtlineare Optimierung 49
4.1 Numerische Minimierung mit Linesearch-Verfahren . . . . . . . . . . 49
4.2 Schrittweitenstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
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