Fachbereich Mathematik - GSI

3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems
a = 1
a = 2
a = 10
Θ(x)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
4 2 2 4
0
Abbildung 3.2: Graphische Veranschaulichung der Glättung der Heaviside-Funktion Θ(x). Die
Heaviside-Funktion ist die rote Funktion, die Tangens Hyperbolicus-Funktionen werden von den
anderen Farben repräsentiert. Es ist zu erkennen, dass die Heaviside-Funktion Θ(x) gut mit der
tanh-Funktion aus (3.20) im glatten Sinne approximiert werden kann. Je größer der Parameter
a > 0 gewählt wird, desto besser ist die Approximation der Heaviside-Funktion Θ(x). Bereits
mit a = 10 erhält man eine relativ gute Approximation, da der Sprung an der Stelle x = 0 gut
nachgestellt werden kann.
Eine Heaviside-Funktion Θ(x), x ∈ R, kann mit folgender Funktion im glatten
Sinne hinreichend gut approximiert werden:
Θ(x) ≈ 1 1
+ · tanh(a · x) =
2 2
1
1 + e −2a·x , x ∈ R , a ∈ R>0 . (3.20)
Je größer der Parameter a, desto besser ist diese Approximation, da der vertikale
Sprung an der Stelle x = 0 besser nachgestellt werden kann (siehe Abbildung 3.2).
Des weiteren gilt, wenn x = 0 vorausgesetzt wird:
1 1
Θ(x) = lim + · tanh(a · x) . (3.21)
a→∞ 2 2
Die Konvergenzgeschwindigkeit in (3.21) hängt von der Variablen x ab.
Obiges kann dann einfach auf die Heaviside-Funktion Θ in der Zielfunktion
aus (3.1) folgendermaßen übertragen werden:
χ 2 Bio(ana)
Θ D i Bio(ana)( N) − D i
max ≈ 1 1
+ · tanh a · D
2 2 i Bio(ana)( N) − D i
max
x
, (3.22)
mit einem hinreichend großen a > 0. Jetzt ist es möglich eine hinreichend gute
Approximation der Zielfunktion χ2 Bio(ana) mit einer stetig-differenzierbaren Funktion
anzugeben. Die Approximierende wird mit χ2 Bio(glatt) bezeichnet und hat folgende
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