Fachbereich Mathematik - GSI

3.3 Glättung der Zielfunktion
gezeigt werden muss3 . Bei hochgradig nichtlinearen Optimierungsproblemen ist dies
oft nicht möglich.
Ist die Zielfunktion nicht konvex, heißt es nicht notwendigerweise, dass mehrere
Minima existieren müssen. Funktionen, die nicht konvex sind, können ein eindeutiges
Minimum haben, der Nachweis davon ist allerdings noch schwieriger als im strikt
konvexen Fall. Dies ist jedoch die Situation bei der χ2 Bio(ana) -Funktion. Im OAR-Term
ist die Heaviside-Funktion enthalten, diese ist nicht konvex und damit ist dann auch
im Optimierungsproblem die Zielfunktion χ 2 Bio(ana)
nicht konvex. Aufgrund dieser
komplexen Situation wird auf den Nachweis der Eindeutigkeit eines Minimums im
weiteren verzichtet.
In [Sch06] konnte gezeigt werden, dass ein iteratives Verfahren bei unterschiedlichen
Sartwerten in das gleiche Minimum läuft. Dies ist zwar kein mathematischer
Nachweis der Eindeutigkiet eines Minimums, lässt dies aber vermuten.
3.3 Glättung der Zielfunktion
Im nächsten Abschnitt soll für das Optimierungsproblem (2.8)-(2.9) die notwendige
Optimalitätsbedingung erster Ordnung hergeleitet werden. Bei einem restringierten
Optimierungsproblem sind das die bekannten Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen
(KKT-Bedingungen). Diese besitzen jedoch nur ihre Gültigkeit, wenn die Zielfunktion
stetig differenzierbar4 , also eine C1-Funktion, ist [GK02].
Betrachtung der Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften der χ2 Bio(ana) -
Funktion fand in Abschnitt 3.1 statt, mit dem Resultat, dass der Target-Term und
der OAR-Term, ohne die Heaviside-Funktion Θ, stetig ist. Bei genauerem hinsehen
erkennt man schnell, dass diese beiden Objekte auch stetig-differenzierbar sind,
da sie sich ausschließlich aus stetig-differenzierbaren Teilen zusammensetzen. Lediglich
die Heaviside-Funktion Θ ist nicht stetig, da diese eine Sprungfunktion ist. In
diesem Abschnitt soll diese adäquat geglättet, also mit einer glatten Funktion approximiert,
werden. Mit einer hinreichend5 guten Glättung der Heaviside-Funktion
Θ kann eine hinreichend gute Approximation der χ2 Bio(ana) -Funktion erreicht werden,
die stetig-differenzierbar ist. Für die geglättete Zielfunktion können dann anschließend
im folgenden Abschnitt die KKT-Bedingungen hergeleitet werden.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Heaviside-Funktion Θ hinreichend gut zu glätten.
Eine Möglichkeit wäre, sie mit einem Polynom, z.B. einem Polynom dritten Grades,
zu glätten. In dieser Arbeit soll die Heaviside-Funktion Θ mit einer angepassten Tangens
Hyperbolicus-Funktion geglättet werden, da sich diese dafür relativ gut eignet.
Eine Tangens Hyperbolicus-Funktion ist glatt und damit stetig-differenzierbar.
3 Der Nachweis der positiven Definitheit einer Matrix kann oft nur über die Eigenwerte gezeigt
werden. Bei großen Matrizen ist die Eigenwertberechnung extrem aufwendig.
4 Eine stetig differenzierbare Funktion besitzt die Eigenschaft, dass ihre Ableitung mindestens
stetig ist.
5 Mit hinreichend glatt ist gemeint, dass eine Funktion hinreichend oft differenzierbar ist.
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