Fachbereich Mathematik - GSI

5 Gradientenverfahren und
konjugiertes
Gradientenverfahren
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den Gradientenverfahren. Abschnitt 5.1 geht auf
das Gradientenverfahren ein und Abschnitt 5.2 auf das konjugierte Gradientenverfahren.
Dabei werden Bemerkungen, Vor- und Nachteile und die Iterationsvorschrift
der Verfahren angegeben. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels werden die Minimierungsergebnisse,
die mit beiden Verfahren erzielt werden, gezeigt und diskutiert.
Bemerkung: Als Schrittweite wird beim Gradientenverfahren als auch beim konjugierten
Gradientenverfahren die gedämpfte Physik-Schrittweite, also µBio, verwendet.
D.h., es wird ein µPhys berechnet (siehe Abschnitt 8.9) und dieses wird mit einem
Parameter fµ multipliziert. Genaueres zu dieser Schrittweitensteuerung findet sich
in Unterabschnitt 4.2.1. Da als vorgeschriebene Dosis 3Gy (RBW) verwendet wird,
so wird für den Dämpfungsfaktor fµ = 0.5 gewählt (siehe Abbildung 4.1). Eine Implementierung
der Armijo-Schrittweite in das Gradientenverfahren und konjugierte
Gradientenverfahren ist in naher Zukunft geplant.
5.1 Das Gradientenverfahren
Das Gradientenverfahren (GRV), auch Verfahren des steilsten Abstiegs genannt, ist
ein klassisches Verfahren der nichtlinearen Optimierung. Das GRV macht in jedem
Iterationsschritt einen Schritt in die Richtung des steilsten Abstiegs der Zielfunktion.
Die Richtung des steilsten Abstiegs einer Funktion ist der negative Gradient der
Funktion.
Algorithmus: Gradientenverfahren (GRV)
Da das GRV ein so einfacher und übersichtlicher Algorithmus ist, wird hier nicht die
ganze Verfahrensvorschrift angegeben. Das GRV kann sehr einfach in das allgemeine
Linesearch-Verfahren aus Abschnitt 4.1 eingebaut werden. Der einzige Punkt,
der beachtet werden muss, ist, dass in jedem Iterationsschritt die Suchrichtung
dk = −∇χ 2 ( Nk) verwendet wird.
58