Fachbereich Mathematik - GSI

7 Zusammenfassung und Ausblick
halbstetigkeit und radiale Unbeschränktheit der Zielfunktion voraussetzt. Nach dem
diese beiden Eigenschaften für das Zielfunktional bewiesen werden konnten, konnte
die Existenz mindestens eines globalen Minimums des Optimierungsproblemes bewiesen
werden. Die Eindeutigkeit eines globalen Minimums konnte nicht nachgewiesen
werden, da die Zielfunktion nicht konvex ist. Damit können Standardtechniken,
mit denen Eindeutigkeitsbeweise für Minima geführt werden, nicht angewendet werden.
Des Weiteren wurde die Zielfunktion in dieser Arbeit mit einer angepassten
Tangens Hyperbolicus-Funktion geglättet. Dies war notwendig, damit die Karush-
Kuhn-Tucker-Bedingungen zu dem Optimierungsproblem angegeben werden konnten.
Diese sind die notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung und besitzen
nur bei einer stetig-differenzierbaren Zielfunktion ihre Gültigkeit.
Für die numerische Lösung des Optimierungsproblemes wurden Linesearch-Verfahren
verwendet. Als erstes wurden diese allgemein eingeführt und deren Arbeitsweise
geschildert. Als Schrittweitensteurung wurden in dieser Arbeit zwei Techniken
verwendet. Bei der einen Technik wird eine skalierte Schrittweite von einem
einfacheren linearen Optimierungsproblem verwendet, bei dem die biologischen
Effekte vernachlässigt werden und die andere Technik ist die bekannte Armijo-
Schrittweitensteuerung. Bei der Armijo-Schrittweite wurden unterschiedliche Startschrittweiten
verwendet. Als Linesearch-Verfahren wurden in dieser Arbeit das Gradientenverfahren,
das konjugierte Gradientenverfahren und das inverse BFGS-Verfahren
in TRiP implementiert und ausgewertet. Deren Arbeitsweise, Vor- und Nachteile
als auch diverse Varianten dieser Verfahren wurden diskutiert. Die besten Minimierungsergebnisse
von den Varianten dieser Verfahren wurden bei Verwendung
des Patientenplanes #135 bzgl. der Iterationsschritte als auch der Rechenzeit gegenübergestellt.
Das Gradientenverfahren schneidet dabei am schlechtesten ab. Bzgl. der
Iterationsschritte arbeiten das inverse BFGS-Verfahren und das konjugierte Gradientenverfahren
ähnlich effizient. Wegen den benötigten Matrixupdates braucht jedoch
das inverse BFGS-Verfahren ca. um einen Faktor von 1.5 mehr Rechenzeit als das
konjugierte Gradientenverfahren. Obwohl beim inversen BFGS-Verfahren viele Varianten
versucht wurden, konnten mit diesem keine besseren Konvergenzergebnisse
als mit dem konjugierten Gradientenverfahren erzielt werden.
In [Hor08] wurde die Levenberg-Marquardt-Minimierung [Lev44, Mar63] für die numerische
Lösung des Optimierungsproblemes untersucht. Dabei konnte beobachtet
werden, das dass Minimierungsergebnis bzgl. der Iterationsschritte sehr gut ist (sogar
deutlich besser als beim konjugierten Gradientenverfahren). Da die auftretenden
Gleichungssysteme in jedem Iterationsschritt mit dem Cholesky-Verfahren gelöst
wurden, ist die Levenberg-Marquardt-Minimierung in dieser Variante extrem zeitaufwendig.
Damit ist das konjugierte Gradientenverfahren im Gesamturteil immer
noch geeigneter für die Optimierung in der Bestrahlungsplanung als diese Variante
der Levenberg-Marquardt-Minimierung.
In der Arbeit [Bus09] wurden die auftretenden linearen Gleichungssysteme in
der Levenberg-Marquardt-Minimierung mit den Krylov-Unterraum-Verfahren gelöst.
Dabei konnten die Rechenzeiten zwar signifikant verringert werden, die Ge-
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