Fachbereich Mathematik - GSI

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3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems Damit ist in jedem Target-Voxel i eine radial unbeschränkte Funktion vorhanden. Die Summe von radial unbeschränkten Funktionen ist wiederum radial unbeschränkt (siehe Bemerkungen in Abschnitt 8.6) und somit folgt: lim || χ N||→∞ 2 Bio(ana)( N) = +∞ . (3.17) Da aus der radialen Unbeschränktheit von χ2 Bio(ana) die radiale Unbeschränktheit von χ2 Bio(ana) folgt, ist der Satz bewiesen. 3.2.1.3 Anwendung auf den Extremwertsatz von Weierstraß Mit dem Ergebnis, dass die χ2 Bio(ana) -Funktion unterhalbstetig und radial unbeschränkt ist, kann folgende Existenzaussage getroffen und bewiesen werden: Satz 3.5 Das Optimierungsproblem min χ 2 Bio(ana)( N) , (3.18) u. d. N. N ∈ Z = R p ≥0 , (3.19) besitzt mindestens ein globales Minimum auf der zulässigen Menge Z. Beweis: Hier kann der erweiterte Satz von Weierstraß (Satz 8.8) aus dem Anhang angewendet werden. Die zulässige Menge Z ist nichtleer und abgeschlossen. Des Weiteren ist die Zielfunktion χ2 Bio(ana) unterhalbstetig (Satz 3.2) und radial unbeschränkt (Satz 3.4) auf Z. Dies sind alle Forderungen, die in Satz 8.8 gestellt werden. Damit besitzt die χ2 Bio(ana) -Funktion mindestens ein globales Minimum auf Z. 3.2.2 Eindeutigkeit eines Minimums Die iterativen Verfahren, die zur numerischen Lösung des Optimierungsproblems verwendet werden (siehe Abschnitt 4.1), können nur lokale Minima ermitteln. Da die Existenz mindestens eines Minimums gezeigt ist, ist es von großer Bedeutung, ob das Minimum eindeutig ist oder ob noch andere existieren können. Dies ist wichtig, denn bei mehreren Minima könnte der entsprechende Algorithmus bei unterschiedlichen Startpunkten gegen unterschiedliche Lösungen konvergieren. Ob ein lokales Minimum gleichzeitig globales Minimum ist, wird in der Regel über die Konvexität der Zielfunktion gezeigt. Für den Nachweis der Eindeutigkeit des Minimums wird die strengere Bedingung der strikten Konvexität benötigt. Der entsprechene Satz dazu befindet sich im Anhang in Abschnitt 8.8. Der Nachweis der strikten Konvexität einer Zielfunktion ist alles andere als trivial, da zum Beispiel die positive Definitheit der Hesse-Matrix der Zielfunktion auf der zulässigen Menge 42
3.3 Glättung der Zielfunktion gezeigt werden muss3 . Bei hochgradig nichtlinearen Optimierungsproblemen ist dies oft nicht möglich. Ist die Zielfunktion nicht konvex, heißt es nicht notwendigerweise, dass mehrere Minima existieren müssen. Funktionen, die nicht konvex sind, können ein eindeutiges Minimum haben, der Nachweis davon ist allerdings noch schwieriger als im strikt konvexen Fall. Dies ist jedoch die Situation bei der χ2 Bio(ana) -Funktion. Im OAR-Term ist die Heaviside-Funktion enthalten, diese ist nicht konvex und damit ist dann auch im Optimierungsproblem die Zielfunktion χ 2 Bio(ana) nicht konvex. Aufgrund dieser komplexen Situation wird auf den Nachweis der Eindeutigkeit eines Minimums im weiteren verzichtet. In [Sch06] konnte gezeigt werden, dass ein iteratives Verfahren bei unterschiedlichen Sartwerten in das gleiche Minimum läuft. Dies ist zwar kein mathematischer Nachweis der Eindeutigkiet eines Minimums, lässt dies aber vermuten. 3.3 Glättung der Zielfunktion Im nächsten Abschnitt soll für das Optimierungsproblem (2.8)-(2.9) die notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung hergeleitet werden. Bei einem restringierten Optimierungsproblem sind das die bekannten Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen (KKT-Bedingungen). Diese besitzen jedoch nur ihre Gültigkeit, wenn die Zielfunktion stetig differenzierbar4 , also eine C1-Funktion, ist [GK02]. Betrachtung der Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften der χ2 Bio(ana) - Funktion fand in Abschnitt 3.1 statt, mit dem Resultat, dass der Target-Term und der OAR-Term, ohne die Heaviside-Funktion Θ, stetig ist. Bei genauerem hinsehen erkennt man schnell, dass diese beiden Objekte auch stetig-differenzierbar sind, da sie sich ausschließlich aus stetig-differenzierbaren Teilen zusammensetzen. Lediglich die Heaviside-Funktion Θ ist nicht stetig, da diese eine Sprungfunktion ist. In diesem Abschnitt soll diese adäquat geglättet, also mit einer glatten Funktion approximiert, werden. Mit einer hinreichend5 guten Glättung der Heaviside-Funktion Θ kann eine hinreichend gute Approximation der χ2 Bio(ana) -Funktion erreicht werden, die stetig-differenzierbar ist. Für die geglättete Zielfunktion können dann anschließend im folgenden Abschnitt die KKT-Bedingungen hergeleitet werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Heaviside-Funktion Θ hinreichend gut zu glätten. Eine Möglichkeit wäre, sie mit einem Polynom, z.B. einem Polynom dritten Grades, zu glätten. In dieser Arbeit soll die Heaviside-Funktion Θ mit einer angepassten Tangens Hyperbolicus-Funktion geglättet werden, da sich diese dafür relativ gut eignet. Eine Tangens Hyperbolicus-Funktion ist glatt und damit stetig-differenzierbar. 3 Der Nachweis der positiven Definitheit einer Matrix kann oft nur über die Eigenwerte gezeigt werden. Bei großen Matrizen ist die Eigenwertberechnung extrem aufwendig. 4 Eine stetig differenzierbare Funktion besitzt die Eigenschaft, dass ihre Ableitung mindestens stetig ist. 5 Mit hinreichend glatt ist gemeint, dass eine Funktion hinreichend oft differenzierbar ist. 43
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Literaturverzeichnis [K + 00] Micha
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Literaturverzeichnis [vN + 06] Clä
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