Fachbereich Mathematik - GSI

3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems
erfüllen müssen. Daher muss (3.27) geeignet erweitert werden, was zu den Karush-
Kuhn-Tucker-Bedingungen (KKT-Bedingungen) führt.
Bevor die KKT-Bedingungen hergeleitet werden, wird hier nochmals für eine bessere
Übersicht das Optimierungsproblem aufgeschrieben. Dabei wird als Zielfunktion
χ 2 Bio(glatt) betrachtet:
min χ 2 Bio(glatt)( N) , (3.28)
u. d. N. Nj ≥ 0 ⇔ −Nj ≤ 0 ∀ j = 1, . . . , p , (3.29)
p ist der größte/letzte Index eines Rasterpunktes.
Die KKT-Bedingungen lassen sich übersichtlicher mit der Lagrange-Funktion
aufstellen. Zu dem obigen Optimierungsproblem (3.28)-(3.29) sieht die Lagrange-
Funktion L wie folgt aus:
L( N, λ) = χ 2 Bio(glatt)( N) +
p
λj · (−Nj) , (3.30)
mit L : R p × R p → R. λ ist der sogenannte Lagrange-Multiplikator. Die Lagrange-
Funktion fasst somit ein allgemeines Optimierungsproblem (also Zielfunktion und
alle Nebenbedingungen) in einer Funktion L zusammen. Weiteres zur Lagrange-
Funktion findet sich z.B. in [Ulb07, GK02].
Mit Hilfe der Lagrange-Funktion L aus (3.30) können jetzt die KKT-Bedingungen
angegeben werden:
Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen zu (3.28)-(3.29)
Es existiert ein ¯ λ ∈ R p mit
1) −N Opt
j
j=1
≤ 0 ∀ j = 1, . . . , p (Zulässigkeit) , (3.31)
2) ∇ N L( NOpt, ¯ λ) = 0 (Multiplikatorregel) , (3.32)
3) ¯ λ ≥ 0 , ¯ λ T · (− NOpt) = 0 (Komplementaritätsbedingung) . (3.33)
1) ist offensichtlich und besagt nichts weiter, als dass alle Optimierungskomponenten
in der zulässigen Menge (3.29) liegen müssen. Die Ungleichung in 3) ist komponentenweise
zu verstehen. Der Ausdruck in 2)
∇ N L( NOpt, ¯ λ) (3.34)
ist der Gradient der Lagrange-Funktion bzgl. der Variablen N. Ausgeschrieben sieht
dieser folgendermaßen aus:
∇ N L( NOpt, ¯ λ) = ∇χ 2 Bio(glatt)( NOpt) − ¯ λ . (3.35)
Mit den obigen KKT-Bedingungen kann jetzt für das Optimierungsproblem (3.28)-
(3.29) die notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung angegeben werden:
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