Fachbereich Mathematik - GSI

8.3 Gradient und Hesse-Matrix der Zielfunktion
8.2.3 Gradient und Hesse-Matrix des analytischen Ausdrucks
für die RBW-gewichtete Dosis
Hier werden die Ableitungen des analytischen Ausdrucks für die RBW-gewichtete
Dosis
D i Bio(ana)( N) =
αi · (c T i · N) + βi · (c T i · N) 2
mit Di Bio(ana)
obere Ausdruck ist stetig differenzierbar.
Der Gradient ist
βx
+
2 αx
2βx
− αx
2βx
, (8.6)
: Rp
≥0 → R≥0 ∀ i, angegeben. Wie bereits in 2.2.2 erwähnt wurde, der
∇D i Bio(ana)(
αi · (c
N) = 0.5 ·
T i · N) + βi · (c T i · N) 2
βx
αi + βi · 2 · (c T i ·
N)
·
βx
mit ∇Di Bio(ana)
Gradient komponentenweise stetig.
· ci ,
+
αx
2βx
2 −0.5
(8.7)
: Rp
≥0 → Rp ∀ i. Da (8.6) stetig differenzierbar ist, so ist der obere
Aus Platzgründen wird die Hesse-Matrix ∇ 2 D i Bio(ana) ( N) hier nicht angegeben.
8.3 Gradient und Hesse-Matrix der Zielfunktion
In diesem Abschnitt wird der Gradient und die Hesse-Matrix der Zielfunktion angegeben.
Die Zielfunktion wurde in Abschnitt 2.3 eingeführt und dort physikalisch,
technisch und mathematisch diskutiert. Gradient und Hesse-Matrix der Zielfunktion
werden jeweils für den Fall, dass mit der physikalischen, der RBW-gewichteten
und mit dem analytischen Ausdruck für die RBW-gewichtete Dosis optimiert wird,
angegeben. Gradient und Hesse-Matrix spielen bei den Verfahren zur Minimierung
als auch bei der theoretischen Diskussion der Zielfunktion eine tragende Rolle. Wie
bereits in 2.3.2 erwähnt wurde, beim Ableiten der Zielfunktion wird die Heaviside-
Funktion Θ als konstanter Faktor behandelt.
8.3.1 Gradient und Hesse-Matrix bei Optimierung der
physikalischen Dosis
Optimierung der physikalischen Dosis erfordert das Einsetzen von Di Phys für Di act in
die Zielfunktion. Die Zielfunktion wird in diesem Fall mit χ2 Phys bezeichnet und hat
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