Fachbereich Mathematik - GSI

3 Theoretische Betrachtung des Optimierungsproblems
3.2 Existenz und Eindeutigkeit eines Minimums
3.2.1 Existenz eines Minimums
In diesem Unterabschnitt soll die Existenz eines globalen Minimums von dem Optimierungsproblem
(2.8)-(2.9) gezeigt werden. Dabei wird die χ2 Bio(ana) -Funktion als
Zielfunktion verwendet. Das Standardargument für die Existenz eines Minimums ist
der Extremwertsatz von Weierstraß (siehe Satz 8.1 im Anhang). Dieser setzt die Stetigkeit
der Funktion und Kompaktheit der Menge, auf der die Funktion betrachtet
wird, voraus. Da die χ2 Bio(ana) -Funktion unstetig und die zulässige Menge (2.9) nicht
kompakt ist, so kann nicht der Extremwertsatz von Weierstraß, weder in der Form
in Satz 8.1 noch mit Betrachtung von Niveau-Mengen wie in Satz 8.3, als Existenzkriterium
verwendet werden. Ist jedoch die Zielfunktion unterhalbstetig und radial
unbeschränkt, kann die erweiterte Version des Extremwertsatzes von Weierstraß aus
Abschnitt 8.7 angewendet werden. Dies ist das Ziel in diesem Unterabschnitt.
Im Weiteren wird in 3.2.1.1 die Unterhalbstetigkeit und in 3.2.1.2 die radiale
Unbeschränktheit der χ2 Bio(ana) -Funktion bewiesen. Mit diesen Ergebnissen wird dann
in 3.2.1.3 die Existenz mindestens eines globalen Minimums gezeigt.
3.2.1.1 Unterhalbstetigkeit der Zielfunktion
An dieser Stelle soll gezeigt werden, dass die χ2 Bio(ana) -Funktion unterhalbstetig ist.
Die dafür benötigten Definitionen, Eigenschaften und Veranschaulichungen zu unterhalbstetigen
Funktionen befinden sich im Anhang in Abschnitt 8.5.
Als erstes wird gezeigt, dass die Heaviside-Funktion Θ unterhalbstetig ist. Dabei
genügt es, die Unterhalbstetigkeit für ein beliebiges OAR-Voxel i zu zeigen, denn
die Struktur der Heaviside-Funktion ist in jedem OAR-Voxel die Gleiche. Für eine
bessere Übersicht wird die Heaviside-Funktion hier nochmals angegeben:
Θ D i Bio(ana)( N) − D i
max =
1 : D i Bio(ana) ( N) > D i max ,
0 : D i Bio(ana) ( N) ≤ D i max .
(3.2)
Eine graphische Veranschaulichung der obigen Heaviside-Funktion zeigt Abbildung
3.1.
Satz 3.1
Die äußere Heaviside-Funktion Θ mit der inneren Verkettung D i Bio(ana) ( N) − D i max
in (3.2) ist unterhalbstetig.
Beweis: Für das Argument der Heaviside-Funktion wird die Hilfsvariable ξ eingeführt,
also:
ξ := D i Bio(ana)( N) − D i max . (3.3)
In diesem Beweis wird dann Θ(ξ) betrachtet. Man kann im weiteren Verlauf dieses
Beweises mit der Substitution (3.3) arbeiten. Ist die Unterhalbstetigkeit für die
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