Fachbereich Mathematik - GSI
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8 Anhang<br />
mit χ 2 Phys : R p<br />
≥0 → R≥0. In diesem Fall kann die exakte Schrittweite µPhys (siehe<br />
Abschnitt 4.2) analytisch berechnet werden. Dafür ergibt sich ein streng konvexes<br />
quadratisches Optimierungsproblem. Das eindeutige µPhys muss dann die folgende<br />
notwendige Optimalitätsbedingung erster Ordnung erfüllen:<br />
dχ 2 Phys ( N + µPhys d)<br />
dµPhys<br />
= −2 <br />
i∈Target<br />
<br />
D i pre − c T i · ( N + µPhys d)<br />
∆D 2 pre<br />
<br />
·<br />
<br />
c T i · <br />
d = 0 .<br />
(8.21)<br />
Nach einigen analytischen Operationen kann nach dem µPhys eindeutig umgestellt<br />
werden:<br />
µPhys =<br />
⎛<br />
⎝ <br />
i∈Target<br />
<br />
Di pre − c T i · <br />
N · c T i · ⎞<br />
⎛<br />
d<br />
⎠ ⎜<br />
/ ⎝<br />
∆D 2 pre<br />
<br />
i∈Target<br />
<br />
c T i · d<br />
∆D 2 pre<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ . (8.22)<br />
Der Nenner in (8.22) darf nicht 0 werden.<br />
Diese Prozedur muss bei einem Linesearch-Verfahren in jedem Iterationsschritt<br />
k wiederholt werden. D.h., der Iterationsindex k wurde hier für µk, Nk und dk<br />
unterschlagen. Der genaue Rechenweg von (8.21) nach (8.22) findet sich in [Hor08].<br />
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