Fachbereich Mathematik - GSI

4 Nichtlineare Optimierung
folgende Ungleichung erfüllt ist:
Bemerkungen:
χ 2 ( Nk) − χ 2 ( Nk + µk dk) ≥ −γµk∇χ 2 ( Nk) T · dk . (4.11)
• Häufig wird für die Parameter δ = 0.5 und γ = 10 −2 gewählt [Alt02]. Beide
Konstanten sind unabhängig von Nk und dk.
• Bei bestimmten Voraussetzungen ist das Armijo-Verfahren wohldefiniert und
liefert nach endlich vielen Schritten eine effiziente Schrittweite.
• Die Startschrittweite µmax sollte hinreichend groß gewählt werden, da das
Armijo-Verfahren die Schrittweite nur verkleinern kann.
• Das Armijo-Verfahren greift in der Regel schnell, wenn für µmax eine gute
Approximation der exakten Schrittweite gewählt wird.
• Als Startschrittweite kann zum Beispiel µPhys oder µBio (siehe vorherigen Unterabschnitt)
gewählt werden.
• Die Schrittweite
µmax,k = −
∇χ 2 ( Nk) T · dk
2(χ 2 ( Nk + dk) − χ 2 ( Nk) − ∇χ 2 ( Nk) T · dk)
(4.12)
ist eine Approximation der exakten Schrittweite und damit geeignet als Startschrittweite
für das Armijo-Verfahren. Setzt man
ϕk(µ) = χ 2 ( Nk + µ dk) , (4.13)
mit ϕk : R≥0 → R≥0 ∀k, so ist die Schrittweite (4.12) die exakte Schrittweite
des quadratischen Interpolationspolynomes von (4.13) durch die Punkte
ϕ(0) = χ 2 ( Nk) , ϕ ′ (0) = ∇χ 2 ( Nk) T · dk , ϕ(1) = χ 2 ( Nk + dk) . (4.14)
4.3 Voroptimierung
Linesearch-Verfahren arbeiten ausgehend von einem Startpunkt N0. Generell hat
die Wahl des Startvektors einen großen Einfluss auf das Konvergenzverhalten des
entsprechenden Verfahrens. Sind bei einer Zielfunktion mehrere Minima vorhanden,
dann läuft der Algorithmus in der Regel vom Startpunkt in das nächstgelegene Minimum.
Je näher der Startvektor an einem Minimum liegt, desto schneller konvergiert
in der Regel das Verfahren. Die besten Konvergenzergebnisse können erwartet werden,
wenn der Startvektor eine gute Approximation des gesuchten Minimums ist,
also:
N0 ≈ NOpt . (4.15)
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