Fachbereich Mathematik - GSI

2 Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie
Den beiden letzten Punkten ist jeweils ein eigener Unterabschnitt gewidmet.
Die Zielfunktion hat folgende Gestalt:
χ 2 ( N) =
mit χ2 : R p
≥0 → R≥0.
Bezeichnungen:
Di pre − Di act( 2 N)
∆D
i∈Target
2 pre
Di max − Di act( 2 N)
+
i∈OAR
χ 2
∆D 2 max
· Θ D i act( N) − D i
max
,
(2.7)
: Bezeichnung der Zielfunktion
N ∈ R p
≥0 : Vektor, dessen j-te Komponente die Teilchenzahl
für den j-ten Rasterpunkt enthält
i ∈ Target/OAR, i = 1, . . . , q : Voxel aus dem Target/OAR-Volumen
Bemerkungen:
D i pre ∈ R≥0 : Vorgeschriebene Dosis im i-ten Target-Voxel
D i max ∈ R≥0 : Maximale Dosisgrenze im i-ten OAR-Voxel
D i act : R p
≥0 → R≥0 : Tatsächlich erzeugte Dosis im Voxel i
∆Dpre/max ∈ R>0 : Gewichtungsfaktor
Θ : Heaviside-Funktion
• Bei D i act handelt es sich um einen Platzhalter für eine Dosisfunktion aus Abschnitt
2.2. "act" ist eine Abkürzung für das englische Wort "actual", mit D i act
ist also die tatsächlich erzeugte Dosis gemeint.
• Die genaue Definition der Heaviside-Funktion Θ wird im folgenden Unterabschnitt
angegeben.
• Die obigen Bezeichnungen für die Parameter der Zielfunktion gelten für den
Rest dieser Master-Thesis. Die mathematischen Forderungen an die Parameter
werden im weiteren Verlauf nicht mehr explizit angegeben.
Das Optimierungsproblem lautet dann:
min χ 2 ( N) , (2.8)
u. d. N. Nj ≥ 0 ⇔ −Nj ≤ 0 ∀ j = 1, . . . , p . (2.9)
Bemerkung: Mit "min" ist "minimiere" gemeint und "u. d. N." bedeutet "unter der
Nebenbedingung".
30