Fachbereich Mathematik - GSI

2 Optimierung der Dosis in der Schwerionentherapie
wird angenommen, dass der Strahl lateral ein gaußförmiges Profil besitzt. Die eindimensionale
Tiefendosisverteilung d(ES, z) beschreibt, welche Dosis ein Strahl der
Anfangsenergie ES in Abhängigkeit der Tiefe z deponiert. Die Berechnung erfolgt
nach dem YIELD-Transportmodell. Dies wird detailiert in [K + 00] geschildert und
ist vollständiger Bestandteil von TRiP.
Die Gesamtdosis in einem CT-Voxel resultiert aus der Superposition von vielen
Dosisbeiträgen, die sich aus den jeweiligen Einzelstrahlen gemäß (2.1) ergeben. Dabei
repräsentiert jeder Rasterpunkt des Bestrahlungsplanes einen Einzelstrahl. In
TRiP werden prinzipiell in jedem Voxel die Dosisbeiträge der Strahlenbündel aller
Rasterpunkte aufsummiert. Dafür wird zu jedem Voxel i, von jedem Rasterpunkt j,
ein Lateral- und ein Tiefenbeitrag berechnet. Der Wert, der die Stärke dieser Dosis-Korrelation
angibt, wird mit cij bezeichnet. Mathematisch gesehen werden alle
Korrelationen, zwischen allen Voxeln und Rasterpunkten, in einer Dosis-Korrelations-Matrix
C zusammengefasst und cij sind dann dementsprechend die Matrixelemente:
C ∈ R q×p
≥0 , (cij)i=1,...,q ; j=1,...,p , (2.2)
wobei q der größte Voxelindex und p der größte Rasterpunktindex ist. Diese Definition
von q und p bleibt für den Rest dieser Master-Thesis bestehen. Die Zeilenanzahl
der Dosis-Korrelations-Matrix ist also gleich der Anzahl der Voxel und die Spaltenanzahl
ist gleich der Anzahl der Rasterpunkte im Bestrahlungsplan. Die Voxelanzahl
q setzt sich hier aus allen Target- und OAR-Voxeln zusammen, denn nur diese gehen
später in die Optimierung ein.
Mit der Dosis-Korrelations-Matrix C kann dann die gesamte physikalische Dosis
D i Phys , für alle Voxel i, als Funktion der Teilchenzahlen N aller Rasterpunkte, wie
folgt berechnet werden:
mit D i Phys
D i Phys( N)[Gy] =
p
j=1
cijNj = c T i · N , ci ∈ R p
≥0 , N ∈ R p
≥0 1 , (2.3)
: Rp
≥0 → R≥0 ∀ i. Die physikalische Dosis für ein Voxel i ergibt sich somit
aus dem kanonischen Skalarprodukt der i-ten Zeile von C mit dem Teilchenzahlvektor
N. Die Funktionalanalysis zeigt, dass ein Skalarprodukt stetig ist. 2 D.h., das
Funktional D i Phys ist stetig für alle i. Linearität der physikalischen Dosis in N ist offensichtlich.
Die Berechnung des Gradienten von (2.3), der später in der Optimierung
benötigt wird, befindet sich im Anhang in Unterabschnitt 8.2.1.
Da ein typischer Bestrahlungsplan mehrere zehntausend Rasterpunkte sowie Voxel
beinhaltet, würde die Implementation der vollständigen Dosis-Korrelations-Matrix
C zu einem großen Speicheraufwand führen. Ein Voxel i, welches lateral und in
der Tiefe von einem Rasterpunkt j weit entfernt liegt, erhält von diesem einen vernachlässigbaren
oder sogar gar keinen Beitrag. TRiP erlaubt die Einstellung eines
1In Abschnitt 2.3 wird erklärt, warum der Teilchenzahlvektor N p
im Raum R≥0 betrachtet wird.
2Die Stetigkeit des Skalarproduktes folgt aus dem Folgenkriterium und kann mit der Cauchy-
Schwarzschen-Ungleichung bewiesen werden [Heu92, Kre07].
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